24.1.2 垂直于弦的直径 同步练习（含解析）2025-2026学年人教版数学九年级上册

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24.1.2 垂直于弦的直径
一．选择题（共7小题）
1．（2025 岳麓区校级三模）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，BC∥OA，若BC＝6，则OD的长为（　　）
A． B．3 C． D．4
2．（2025 天心区校级一模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H．若AB＝10，CD＝8，则OH的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2025 湖北模拟）如图，已知矩形ABCD的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径EF上．若ED＝2，则矩形ABCD的面积等于（　　）
A．21 B．22 C．23 D．24
4．（2025 东莞市校级三模）如图是某座桥的设计图，设计数据如图所示，桥拱是圆弧形，则桥拱的半径为（　　）
A．13m B．15m C．20 m D．26m
5．（2025 西宁一模）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接BO并延长交⊙O于点E，连接AE，若AB＝6，CD＝1，则AE的长为（　　）
A．3 B．8 C．12 D．8
6．（2025 玉林三模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝10寸，则直径AB长为（　　）
A．6.5寸 B．12寸 C．13寸 D．26寸
7．（2025 江阳区校级二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（　　）
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
二．填空题（共5小题）
8．（2025 嵊州市模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE＝CD＝8，连结OC，则OC的长为 　 　 ．
9．（2025 惠山区三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AC＝CD，如果，则AE的长为 　 　 ．
10．（2025 东营模拟）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为 　 　 ．
11．（2025 深圳校级三模）如图某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，并在门洞外侧沿圆弧形边缘装一条灯带．如图，已知矩形的宽为2m，高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则需要的灯带的长度至少是 　 　 m．（结果保留π）
12．（2025 雨花区校级三模）圆底烧瓶是化学实验中常用的反应容器，图1是一个装有液体的圆底烧瓶（厚度忽略不计），图2是它的侧面示意图，若烧瓶中液体水平宽度AB为12cm，竖直高度CD为3cm，则⊙O的半径为 　 　 cm．
三．解答题（共3小题）
13．（2025 迎江区三模）如图，在⊙O中，AB、AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G．
（1）求证：ED＝EG；
（2）若，OG＝2，求⊙O的半径．
14．（2024秋 阜平县期末）中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是⊙O上一点，EM经过圆心O，且EM⊥弦CD，垂足为M，已知CD＝2m，EM＝3m．
（1）不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段；
（2）求这个月亮门的最大宽度（⊙O的直径）．
15．（2024秋 清苑区期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．
（1）求该圆的半径；
（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？
24.1.2 垂直于弦的直径
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 岳麓区校级三模）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，BC∥OA，若BC＝6，则OD的长为（　　）
A． B．3 C． D．4
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】图形的全等；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】B
【分析】由垂径定理得到AD＝BD，由平行线的性质推出∠A＝∠B，∠O＝∠C，判定△AOD≌△BCD（AAS），推出OD＝CD，OA＝BC＝6，即可求出OD的长．
【解答】解：∵半径OC⊥AB，
∴AD＝BD，
∵BC∥OA，
∴∠A＝∠B，∠O＝∠C，
∴△AOD≌△BCD（AAS），
∴OD＝CD，OA＝BC＝6，
∴ODOCOA＝3．
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质，关键是判定△AOD≌△BCD（AAS）．
2．（2025 天心区校级一模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H．若AB＝10，CD＝8，则OH的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】根据垂径定理由CD⊥AB得到CH＝CD＝4，再根据勾股定理计算出OH＝3．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴CH＝DHCD8＝4，
∵直径AB＝10，
∴OC＝5，
在Rt△OCH中，OH3，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理，熟练掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
3．（2025 湖北模拟）如图，已知矩形ABCD的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径EF上．若ED＝2，则矩形ABCD的面积等于（　　）
A．21 B．22 C．23 D．24
【考点】垂径定理；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】过O作OH⊥BC于H，连接OC，由垂径定理得到BC＝2CH，求出OD＝OE﹣DE＝3，判定四边形OHCD是矩形，得到CH＝OD＝3，求出BC＝6，由勾股定理求出CD＝4，即可得到矩形ABCD的面积．
【解答】解：过O作OH⊥BC于H，连接OC，
∴BC＝2CH，
∵圆O的半径长是5，
∴OC＝OE＝5，
∵ED＝2，
∴OD＝OE﹣DE＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CDO＝∠DCH＝90°，
∵∠CHO＝90°，
∴四边形OHCD是矩形，
∴CH＝OD＝3，
∴BC＝2CH＝6，
∵CD4，
∴矩形ABCD的面积＝BC CD＝6×4＝24．
故选：D．
【点评】本题考查矩形的性质，垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理得到BC＝2CH，判定四边形OHCD是矩形，得到CH＝OD．
4．（2025 东莞市校级三模）如图是某座桥的设计图，设计数据如图所示，桥拱是圆弧形，则桥拱的半径为（　　）
A．13m B．15m C．20 m D．26m
【考点】垂径定理的应用．
【答案】A
【分析】如图，桥拱所在圆心为E，作EF⊥AB，垂足为F，并延长交圆于点H．
根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：如图，桥拱所在圆心为E，作EF⊥AB，垂足为F，并延长交圆于点H．
由垂径定理知，点F是AB的中点．由题意知，FH＝10﹣2＝8，则AE＝EH，EF＝EH﹣HF．
由勾股定理知，AE2＝AF2+EF2＝AF2+（AE﹣HF）2，解得AE＝13m．
故选：A．
【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解．渗透数学建模思想．
5．（2025 西宁一模）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接BO并延长交⊙O于点E，连接AE，若AB＝6，CD＝1，则AE的长为（　　）
A．3 B．8 C．12 D．8
【考点】垂径定理．
【专题】常规题型．
【答案】B
【分析】设⊙O的半径为R，由OD⊥AB，根据垂径定理得AC＝BCAB＝4，在Rt△AOC中，OA＝R，OC＝R﹣CD＝R﹣1，根据勾股定理得到（R﹣1）2+32＝R2，解得R＝5，则OC＝1，由于OC为△ABE的中位线，即可求出AE的长度．
【解答】解：设⊙O的半径为R，如图，
∵OD⊥AB，
∴AC＝BCAB6＝3，
在Rt△AOC中，OA＝R，OC＝R﹣CD＝R﹣1，
∵OC2+AC2＝OA2，
∴（R﹣1）2+32＝R2，解得R＝5，
∴OC＝5﹣1＝4，
∴AE＝2OC＝8，
故选：B．
【点评】本题主要考查了垂径定理以及三角形中位线定理的知识，解题的关键是利用勾股定理求出OC的长度，此题难度不大．
6．（2025 玉林三模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝10寸，则直径AB长为（　　）
A．6.5寸 B．12寸 C．13寸 D．26寸
【考点】垂径定理的应用；勾股定理的应用．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】D
【分析】先根据垂径定理得出EC＝ED＝5寸，再由勾股定理得出r的值，进而可得出结论．
【解答】解：设OA＝OB＝r寸，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝10寸，
∴EC＝ED＝5寸，
∵OC2＝CE2+OE2，
∴r2＝52+（r﹣1）2，
∴r＝13，
∴AB＝2×13＝26（寸）．
故选：D．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
7．（2025 江阳区校级二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（　　）
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
【考点】垂径定理的应用．
【专题】与圆有关的位置关系；运算能力．
【答案】B
【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，由垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE，然后即可计算出DE的长．
【解答】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，
∴AE＝BEAB8＝4，
在Rt△AEO中，OE3，
∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练应用垂径定理是解决问题的关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2025 嵊州市模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE＝CD＝8，连结OC，则OC的长为 　5　 ．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】5．
【分析】设圆的半径是r，由垂径定理得到CECD＝4，由勾股定理得到r2＝（8﹣r）2+42，求出r＝5，即可得到OC的长．
【解答】解：设圆的半径是r，则OC＝OA＝r，
∴OE＝AE﹣AO＝8﹣r，
∵直径AB⊥CD，
∴CECD8＝4，
∵OC2＝OE2+CE2，
∴r2＝（8﹣r）2+42，
∴r＝5，
∴OC＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由以上知识点得到关于r的方程．
9．（2025 惠山区三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AC＝CD，如果，则AE的长为 　3　 ．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】3．
【分析】先根据垂径定理得到CE＝DE，然后在Rt△ACE中利用勾股定理可计算出AE的长．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴CE＝DECD2，
∵AC＝CD＝2，
∴AE3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
10．（2025 东营模拟）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为 　14　 ．
【考点】垂径定理；关于原点对称的点的坐标．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】14．
【分析】连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OPAB，即AB＝2OP，当OP取得最大时，AB有最大值，当点P在OM的延长线上与⊙M交于点P时，OP最大，即可求出AB的最大值．
【解答】解：连接OP，如图：
∵点A、点B关于原点O对称，
∴OA＝OB，
∵PA⊥PB，
∴OPAB，即AB＝2OP，
当OP取得最大时，AB有最大值，
∵点P是⊙M上的任意一点，
∴当点P在OM的延长线上与⊙M交于点P时，OP最大，如图：
∵⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），
∴OP'2＝7，
∴AB的最大值为14．
故答案为：14．
【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，关于原点对称的点，勾股定理，确定何时AB有最大值是解题关键．
11．（2025 深圳校级三模）如图某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，并在门洞外侧沿圆弧形边缘装一条灯带．如图，已知矩形的宽为2m，高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则需要的灯带的长度至少是 　　 m．（结果保留π）
【考点】垂径定理的应用；矩形的性质．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】．
【分析】利用勾股定理先求得圆弧形的门洞的直径BC，再利用矩形的性质证得△COD是等边三角形，得到∠COD＝60°，进而求得门洞的圆弧所对的圆心角为360°﹣60°＝300°，利用弧长公式即可求解．
【解答】解：如图，连接AD，BC，交于O点，
由条件可知BC是直径，
∴BC4，
∵四边形ABDC是矩形，
∴OC＝ODBC＝2，
∵CD＝2，
∴OC＝OD＝CD，
∴∠COD＝60°，
∴门洞的圆弧所对的圆心角为360°﹣60°＝300°，
∴改建后门洞的圆弧长是（m），
故答案为：．
【点评】本题考查了弧长公式，矩形的性质以及垂径定理的应用，从实际问题转化为数学模型是解题的关键．
12．（2025 雨花区校级三模）圆底烧瓶是化学实验中常用的反应容器，图1是一个装有液体的圆底烧瓶（厚度忽略不计），图2是它的侧面示意图，若烧瓶中液体水平宽度AB为12cm，竖直高度CD为3cm，则⊙O的半径为 　　 cm．
【考点】垂径定理的应用．
【专题】圆的有关概念及性质；应用意识．
【答案】．
【分析】由垂径定理得到ADAB＝6cm，设⊙O的半径为x cm，则OA＝OC＝x cm，OD＝OC﹣CD＝x﹣3（cm），在△AOD中，根据勾股定理有AD2+OD2＝OA2，代入即可解答．
【解答】解：连接AO，
∵OC⊥AB，AB＝12cm，
∴ADAB＝6cm，
设⊙O的半径为x cm，则OA＝OC＝x cm，
∴OD＝OC﹣CD＝（x﹣3）（cm），
在△AOD中，AD2+OD2＝OA2，
即62+（x﹣3）2＝x2，
解得：x，
∴⊙O的半径为cm．
故答案为：．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理以及勾股定理的运用．
三．解答题（共3小题）
13．（2025 迎江区三模）如图，在⊙O中，AB、AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G．
（1）求证：ED＝EG；
（2）若，OG＝2，求⊙O的半径．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先证明∠C＝∠GBE，根据，得出∠C＝∠DBE，证明∠GBE＝∠DBE，根据∠GEB＝∠DEB＝90°，得出∠BGE＝∠BDE，得出BD＝BG，根据等腰三角形的性质即可得出答案；
（2）连接OA，设OA＝r，得出DG＝r+2，求出，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出OE2+AE2＝OA2，即，求出r的值即可．
【解答】（1）证明：如图，连接BD，
∵AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，
∴∠CFG＝∠GEB＝90°
又∵∠CGF＝∠BGE，
∴∠C＝∠GBE，
∵，
∴∠C＝∠DBE，
∴∠GBE＝∠DBE，
∵AB⊥CD，
∴∠GEB＝∠DEB＝90°，
∴∠BGE＝∠BDE，
∴BD＝BG，
又∵BE⊥DG，
∴ED＝EG；
（2）解：如图，连接OA，设OA＝r，则DG＝r+2，
∴，
∴，
∵AB⊥CD于E，，
∴，
在Rt△OEA中，OE2+AE2＝OA2，
即，
解得或r＝﹣6（舍）．
即⊙O的半径为．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
14．（2024秋 阜平县期末）中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是⊙O上一点，EM经过圆心O，且EM⊥弦CD，垂足为M，已知CD＝2m，EM＝3m．
（1）不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段；
（2）求这个月亮门的最大宽度（⊙O的直径）．
【考点】垂径定理；勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）CM＝DM；
（2）m．
【分析】（1）由垂径定理，即可得到答案；
（2）由勾股定理得到r2＝（3﹣r）2+12，求出r，即可得到这个月亮门的最大宽度．
【解答】解：（1）∵EM经过圆心O，且EM⊥弦CD，
∴CM＝DM；
（2）连接OC，设⊙O的半径是r m，
∴OM＝EM＝OE＝（3﹣r）m，
由（1）知CMCD2＝1（m），
∵OC2＝OM2+CM2，
∴r2＝（3﹣r）2+12，
∴r，
∴这个月亮门的最大宽度是2r＝2（m）．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理的应用，关键是由垂径定理得到CM＝DM，由垂径定理、勾股定理列出关于r的方程．
15．（2024秋 清苑区期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．
（1）求该圆的半径；
（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？
【考点】垂径定理的应用．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】（1）5米；
（2）2米．
【分析】（1）作OD⊥AB于点E，根据垂径定理得AE＝3米，设圆的半径为r米，根据勾股定理得AE2+OE2＝OA2，即可求出答案；
（2）当AB＝8米时，AE＝4，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）如图，作OD⊥AB于点E，交圆于点D，
则AEAB＝3米，DE＝1米，
设圆的半径为r米，
在Rt△AOE中，AE2+OE2＝OA2，
∴32+（r﹣1）2＝r2，
解得r＝5，
∴该圆的半径为5米；
（2）如图，当AB＝8米时，AEAB＝4，
在Rt△AOE中，AE2+OE2＝OA2，
∴42+OE2＝52，
∴OE＝3米，
∴DE＝5﹣3＝2（米），
答：水面下盛水筒的最大深度为2米．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，垂径定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
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