2025—2026学年九年级数学上学期单元测试卷
第二十二章 二次函数 单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是二次函数的图象，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．
3．如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知直线交抛物线于点，交抛物线于点，下列结论：①若，则，②若，则，③若，则，④若，则；其中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知函数，则下列表述错误的为（ ）
A．顶点为 B．对称轴为直线
C．开口向下 D．当，y随x的增大而增大
6．将二次函数的图象向右平移3个单位，再向上平移4个单位，那么所得的解析式为（ ）．
A． B．
C． D．
7．二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为任意实数）；⑤方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
8．如图，抛物线与抛物线交于点，且分别与轴交于点D，E．过点作轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论：
①抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
②无论x取何值，总是负数；
③当时，随着x的增大，的值先增大后减小；
④四边形为正方形．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与的一个交点为A.已知点A的横坐标为1，过点A作x轴的平行线，分别交这两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则的值为（ ）
A．9 B． C．10 D．
10．如图，正方形的边长为，动点从点向点运动，到点时停止运动；同时，动点从点出发，沿运动，到点时停止运动．点的运动速度是点的运动速度的倍，设点E的运动路程为，的面积为，能大致刻画与的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若将二次函数配方为的形式，则 ．
12．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②（m为任意实数）；③若是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有 ．（填序号）
13．已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是 ．
14．已知抛物线为常数，经过点，其对称轴在轴左侧．有下列结论：①；②方程有两个不相等的实数根；③．
其中，正确结论的序号为 ．
15．如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在轴上，平行于轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若，则PQ的长为 ．
16． 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．已知函数是关于的二次函数．
(1)求满足条件的的值；
(2)当为何值时，抛物线有最低点？求出此最低点的坐标．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标．
19．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且过点．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)求将抛物线只向左平移几个单位，可使得平移后所得抛物线经过原点．
(3)当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？
20．二次函数部分图象如图所示：
(1)该抛物线的对称轴是______．
(2)求抛物线的解析式．
(3)求抛物线与轴的左交点的坐标以及关于抛物线对称轴对称的点的坐标．
21．已知函数．
(1)若此函数与x轴只有一个公共点且过点，求函数的解析式；
(2)若，将此抛物线向上平移c个单位得到新的抛物线，当时，；当时，．试比较与1的大小，并说明理由．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将原抛物线向上平移个单位长度，当平移后的抛物线与轴有且只有一个交点时，求的值；
(3)点，在原抛物线上，若，，求的取值范围．
23．在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，的长度等于？
(2)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
(3)是否存在t的值，使的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由．
24．如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．
(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求面积的最大值，
(3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：若不存在，请说明理由．(共6张PPT)
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第二十二章 二次函数
单元测试·基础卷 试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题 1 0.94 二次函数的识别
2 0.85 y=ax 的图象和性质
3 0.75 y=ax +k的图象和性质；求一次函数解析式
4 0.65 不等式的性质；y=a（x-h） 的图象和性质；平方差公式分解因式
5 0.65 y=a（x-h） +k的图象和性质
6 0.64 二次函数图象的平移
7 0.4 根据二次函数的图象判断式子符号
8 0.15 y=ax +bx+c的图象与性质；证明四边形是正方形；判断一次函数的增减性；二次函数图象的平移
9 0.65 y=a（x-h） +k的图象和性质；根据二次函数的对称性求函数值
10 0.64 动点问题的函数图象；图形运动问题(实际问题与二次函数)
二、知识点分布
二、填空题 11 0.85 把y=ax +bx+c化成顶点式
12 0.75 根据二次函数的图象判断式子符号；y=ax +bx+c的最值；二次函数图象与各项系数符号
13 0.75 根据交点确定不等式的解集；图象法解一元二次不等式
14 0.65 二次函数图象与各项系数符号；根据二次函数图象确定相应方程根的情况；y=ax +bx+c的图象与性质；根据二次函数的图象判断式子符号
15 0.64 图形问题(实际问题与二次函数)
16 0.55 增长率问题(实际问题与二次函数)
二、知识点分布
三、解答题 17 0.85 根据二次函数的定义求参数；y=ax 的图象和性质
18 0.75 待定系数法求二次函数解析式；特殊三角形问题(二次函数综合)
19 0.75 y=a（x-h） +k的图象和性质；二次函数图象的平移；待定系数法求二次函数解析式
20 0.65 待定系数法求二次函数解析式；求抛物线与x轴的交点坐标；y=ax +bx+c的图象与性质
21 0.64 图象法解一元二次不等式；抛物线与x轴的交点问题；y=ax +bx+c的图象与性质
22 0.64 利用不等式求自变量或函数值的范围；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移
23 0.65 图形运动问题(实际问题与二次函数)；动态几何问题(一元二次方程的应用)
24 0.4 面积问题(二次函数综合)；特殊四边形(二次函数综合)；待定系数法求二次函数解析式；根据菱形的性质与判定求线段长2025—2026学年九年级数学上学期单元测试卷
第二十二章 二次函数 单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B B D B C C C B
1．C
本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如的函数叫做二次函数，据此求解即可．
解：A、中，当时，原函数不是二次函数，不符合题意；
B、中，等式右边不是整式，原函数不是二次函数，不符合题意；
C、是二次函数，符合题意；
D、中，未知数的最高次为1，原函数不是二次函数，不符合题意；
故选；C．
2．A
本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象和性质．
根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系直接得出即可．
解：由函数图象可知，的图象开口更小，
根据系数越大，开口越小，
；
故选：A．
3．B
此题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象和性质．根据一次函数、的图象都经过，求出、，求出，根据二次函数的性质即可得到答案．
解：∵一次函数、的图象都经过，
∴，，
解得，，
∴、，
∴，
抛物线对称轴为y轴，开口向下，顶点为；
故选：B．
4．B
本题考查了二次函数的图象与性质、因式分解、不等式的性质，利用作差法比较的大小关系是解题的关键．由抛物线经过点可得，同理可得，利用因式分解的知识得到，再利用不等式的性质逐个分析判断即可得出结论．
解：抛物线经过点，
，
同理可得：，
，
若，则，，
，即，故①正确；
若，则，，
，即，故②不正确；
若，则，，
，即，故③正确；
若，则，而无法判断的正负性，故无法判断与的大小关系，故④不正确；
综上所述，其中正确的是①③，有2个．
故选：B．
5．D
本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
当时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．
根据二次函数的性质逐一判断即可．
解：二次函数，
A．顶点为，
所以A选项正确，不符合题意；
B．对称轴是直线，
所以B选项正确，不符合题意；
C．因为，
抛物线开口向下，
所以C选项正确，不符合题意；
D．因为抛物线开口向下，对称轴为直线，
所以当，y随x的增大而减小，
所以D选项错误，符合题意;
故选：D．
6．B
本题主要考查了二次函数的图象平移变换，掌握二次函数的平移规律“上加下减、左加右减”是解题的关键．
根据二次函数的平移变换的规律求解即可．
解：根据二次函数的平移变换的规律可得：将二次函数的图象向右平移3个单位，再向上平移4个单位，那么所得的解析式为．
故选B．
7．C
本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴的交点位置可判断①②，由时及与的数量关系可判断③，由时函数取最小值可判断④；根据一元二次方程根与系数的关系，结合与的数量关系可判断⑤．
解：①对称轴在轴右侧，
、异号，
，
，
，故①正确；
②对称轴为直线，
，故②正确；
③，
，
当时，，
，
，故③正确；
④根据图象知，当时，有最小值；
当为实数时，有 ，
（为任意实数），故④正确；
⑤方程可转化为，
方程的两个之和为，
，
方程的两根之和为，故⑤错误；
故正确的由①有②③④，共个，
故选：C．
8．C
①先求抛物线的解析式，再根据抛物线的顶点坐标，判断平移方向和平移距离即可判断②；②根据非负数的相反数或者直接由图像判断即可；③先根据题意得出时，观察图像可知，然后计算，进而根据一次函数的性质即可判断；④分别计算出的坐标，根据正方形的判定定理进行判断即可．
①抛物线与抛物线交于点，
，
即，
解得，
抛物线，
抛物线的顶点，抛物线的顶点为，
将向右平移3个单位，再向下平移3个单位即为，
即抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到，
故①正确；
②，
，
，
无论取何值，总是负数，
故②正确；
③，
将代入抛物线，
解得，
，
将代入抛物线，
解得，
，
，从图像可知抛物线的图像在抛物线图像的上方，
当，随着的增大，的值减小，
故③不正确；
④设与轴交于点，
，
，
由③可知
，，
，，
当时，，
即，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是正方形，
故④正确，
综上所述，正确的有①②④，
故选：C．
本题考查了二次函数图像与性质，一次函数的性质，平移，正方形的判定定理，解题的关键是综合运用以上知识．
9．C
本题考查了抛物线的对称性．由两抛物线的解析式确定出两抛物线的对称轴，利用对称性确定出点B与C的横坐标，进而求出的长．
解：抛物线与的对称轴分别为直线与直线，
∵点A的横坐标为1，
∴点C的横坐标为5，点B的横坐标为，
∴，
故选：C．
10．B
本题考查了动点问题的函数图象，根据题意可将当时，，求得，是一个一次函数，当时，，，是一个二次函数，根据图形结合求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：当时，，
∴，
当时，，
，
∴，
即对称轴为，开口向下，如选项所示，
故选：．
11．
本题主要考查二次函数的一般式化为顶点式．根据二次函数由一般式化为顶点式的方法可进行求解．
解：将二次函数配方成的形式，则有：
；
故答案为：．
12．②
本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，二次函数的图象和性质，根据图象判断的符号，可判断①，最值判断②，对称性判断③．
解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴，
∴，
∴，故①错误；
当时，函数有最大值为，
∴，
∴（m为任意实数），故②正确；
若是抛物线上不同的两个点，则点关于对称轴对称，
∴，故③错误；
故答案为：②．
13．或
本题考查了抛物线与不等式的解集，熟练掌握二者的关系是解题的关键．
利用数形结合思想求解，符合条件的取值在x轴下方．
根据题意，得一元二次不等式的解集是：或，
故答案为：或．
14．①②③
先根据抛物线经过的点和对称轴位置确定、、的符号及关系，再分别分析三个结论．本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
解：∵ 抛物线经过点，
∴
∵ 抛物线经过点，
∴ ，即
∵ 对称轴在轴左侧，
∴
又，分情况讨论：
若，则可得，但，时，矛盾，
∴ ，则可得
∴ ，，，
∴ ，故①正确．
对于方程，即. ，
其判别式
把，代入，
∵ ，
∴ ，，
∴ ，
∴ 方程有两个不相等的实数根，故②正确．
由，且，
解，得，
又. ，
∴ ，故③正确．
故选：①②③．
15．
本题考查了抛物线的性质，矩形的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
分别作出两条抛物线的对称轴，，交于点，，得四边形是矩形，利用抛物线的对称性计算即可．
解：通过点、分别作出两条抛物线的对称轴，，交于点，，如图所示，
四边形是矩形，
，
，
，
，
．
故答案为：．
16．
本题考查了二次函数的性质，用待定系数法求出二次函数解析式，再把代入解析式求出即可，掌握二次函数的性质是解题的关键．
解：根据题意得：二次函数经过，，
∴，
解得 ，
∴二次函数解析式为，
当时，，
∴第三年的增长率为，
故答案为：．
17．(1)或2
(2)当时，该抛物线有最低点，最低点的坐标为
本题考查了二次函数的二次函数的性质，以及二次函数的定义，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据二次函数的定义得到且，进而可得到满足条件的m的值；
（2）根据二次函数的性质得到当时，抛物线开口向上，函数有最小值，据此求解即可．
（1）解：根据题意得，且，
解得或；
∴的值为或2；
（2）解：当时，，抛物线开口向上，该抛物线有最低点，
此时抛物线解析式为，则最低点坐标为，
答：当时，该抛物线有最低点，最低点的坐标为．
18．(1)
(2)点B的坐标为或或
本题考查了利用待定系数法求解函数解析式，以及二次函数与等腰三角形的综合应用.
用待定系数法将两点代入表达式，求出未知系数a，c的值.
设，考虑等腰三角形存在的两种可能情况，利用等腰三角形的性质两腰相等建立等式求解B点坐标.
（1）解：抛物线经过点，且与y轴交于点.
解得
∴抛物线的函数解析式为．
（2）解：设．
是以为腰的等腰三角形，∴分以下两种情况讨论：
①当时，点B和点P关于y轴对称．
；
②当时，，
，
整理，得，
解得．
当时，；
.
当时，．
.
综上所述，点B的坐标为或或．
19．(1)
(2)将抛物线向左平移3个单位，可使得平移后所得抛物线经过原点．
(3)当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．
本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数得平移变换、二次函数的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）设顶点式为，然后把代入求出a即可；
（2）设将抛物线向左平移个单位，可使得平移后所得抛物线经过原点，利用抛物线平移的规律得到平移后的抛物线解析式为，然后把原点坐标代入求出m即可；
（3）根据二次函数的性质求解即可．
（1）解：设抛物线的解析式为，
把代入可得：，解得：，
所以抛物线的解析式为，即．
（2）解：设将抛物线向左平移个单位，可使得平移后所得抛物线经过原点，则平移后的抛物线解析式为，
把代入得，解得（舍去）
所以将抛物线向左平移3个单位，可使得平移后所得抛物线经过原点．
（3）解：由可得抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．
20．(1)
(2)
(3)，
本题考查二次函数的图象和性质，求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）直接根据图象作答即可；
（2）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可；
（3）令函数值等于0，求出抛物线与轴的交点坐标，对称性求出关于抛物线对称轴对称的点的坐标即可．
（1）解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线；
（2）由图象可知二次函数的顶点坐标为，抛物线过点，
∴设抛物线的解析式为，把点代入，得：，
解得：，
∴；
（3）当时，解得，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴点关于对称轴的对称点为．
21．(1)
(2)
本题考查二次函数与x轴的交点问题、二次函数与不等式的关系、二次函数的图象与性质，
（1）令得，，由题意得根的判别式为0求得，再把点代入求得，即可求解；
（2）由题意得，把代入得，利用函数图象可得，进而求解即可．
（1）解：令得，，
∵此函数与x轴只有一个公共点，
∴，
∴，
∵此函数图象过点，
把点代入得，，
∴函数的解析式为；
（2）解：，理由如下：由题意得，，
∵时，；
∴，
∴，即，
∵，
∴抛物线开口向上，，
∴
∵对称轴，画草图如下：
∵当时，，
∴，即，
∴，
∴．
22．(1)
(2)
(3)
本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，解题的关键是掌握相关知识．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据二次函数的平移性质求解即可；
（3）点，在原抛物线上，可得，，结合，即可求解．
（1）解：在抛物线上，
，
解得：，
抛物线的表达式为；
（2），
平移后抛物线与轴有且只有一个交点，
；
（3）点，在原抛物线上，
，，
，
，
，即，
当，时，
解得：，
当，时，无解，
综上的取值范围是．
23．(1)或2时，；
(2)存在秒，能够使得五边形的面积等于．理由见解析
(3)
本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，正确的列出方程和二次函数的解析式是解题的关键：
（1）表示出的长，根据勾股定理，列出方程进行求解即可；
（2）分割法求五边形的面积，列出方程进行求解即可；
（3）将的面积转化为二次函数求最值即可．
（1）解：由题意，得：，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴当时，，
解得：或；
（2）存在，理由如下：
∵五边形的面积，
∴当五边形的面积等于时，，
解得：或，
∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，
∴当点到达点时，，
∴，
∴当时，五边形的面积等于；
（3）存在，
∵，
∵，
∴当时，的面积最大为．
24．(1)
(2)最大值为
(3)Q的坐标为或或
（1）由抛物线对称轴是直线，点B的坐标为，得点A的坐标为，故二次函数解析式为；
（2）连接，设，则，得，根据二次函数的性质可得答案；
（3）由，得直线解析式为，设，则，，由，知是一组对边；分两种情况：①当为对角线时，的中点重合，且，②当为对角线时，的中点重合，且，分别列出方程组，即可解得答案．
（1）解：抛物线对称轴是直线，点B的坐标为，
点A的坐标为，
二次函数解析式为；
（2）解：连接，如图：
设，则，
在中，令得，
，
，
，
，
当时，取得最大值，且最大值为；
（3）解：在y轴上存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下：
由，得直线解析式为，
设，则，，
，
当M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形时，是一组对边；
当为对角线时，的中点重合，且，
，
解得：（此时M，N与C重合，舍去）或，
；
②当为对角线时，的中点重合，且，
，
解得：（舍去）或或，
或；
综上所述，Q的坐标为或或．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形，四边形面积，菱形性质及应用，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
