2025—2026学年九年级数学上学期单元测试卷
第二十二章 二次函数 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D D C D C C C B
1．A
本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键．
解：∵是关于x的二次函数，
∴，
∴，
故选：A．
2．A
本题考查一元二次函数的定义，形如的函数是二次函数，据此即可解答．
解：A：y是x的二次函数；
B：，y是x的一次函数；
C：，x的次数是，y不是x的二次函数；
D：若，则，y不是x的二次函数；
故选：A．
3．D
本题考查二次函数的定义及图象的性质，根据二次函数的定义和开口方向的条件，即可确定k的值．
解：∵是二次函数，且函数图象有最高点，
∴二次函数图象开口向下，
∴，且，
解得：，且 或，
∴，
则的值为．
故选：D．
4．D
本题主要考查了二次函数的性质，掌握并灵活运用二次函数的性质是解题的关键．
根据二次函数顶点式的性质逐项分析即可解答．
解：①由抛物线的开口方向由系数a决定．若，开口向上；若，开口向下．因a的正负未知，故①错误．
②顶点式为，对称轴为．此处，对称轴为，故②正确．
③当时，函数有最小值2；当时，有最大值2．因未明确a的正负，无法确定是否有最小值，故③错误．
④由题意可得顶点坐标为，无论a为何值，抛物线必过顶点，故④正确．
⑤当时，时y随x增大而减小；当时，时y随x增大而增大．因a的正负未知，无法确定增减性，故⑤错误．
综上，正确的说法为②和④，共2个．
故选：D．
5．C
本题主要考查二次函数与一次函数的图象，依据题意，本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
解：A．观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意；
B、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意；
C、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，有可能，故本选项符合题意；
D、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意；
故选：C．
6．D
本题考查二次函数的图象和性质，从函数图象中获取信息，求出函数解析式，逐一进行判断即可．
解：由图象可知：抛物线的对称轴为直线，
∴；故A选项错误；
∴，
把代入，得：，
∴，
∴，
∴当时，，
∴该函数图象与轴的交点的纵坐标是，当时，，故B，C选项错误；
由图象可知，当时，随的增大而增大；故D选项错误；
故选D．
7．C
本题主要考查了二次函数的图象与系数之间的关系，解答此题的关键是熟练掌握二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标．
根据二次函数图象的开口方向，顶点的位置、与轴交点的位置可对的符号进行判断，进而可对结论进行判断；根据抛物线的对称轴及与x轴的交点可对二次函数图象上的点的位置进行判定，进而可对结论进行判断；根据二次函数的图象与轴的两个交点坐标可对结论，结论进行判断，据此可得出此题的答案．
解：二次函数图象的开口向上，
，
二次函数图象的顶点在第三象限，
，
，
，
二次函数图象与轴的交点在轴的负半轴上，
，
，故结论正确，符合题意；
对于，当时，，
点在二次函数的图象上，
二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为，
二次函数的图象与轴的另一个交点为，
点在轴下方的抛物线上，
，故结论正确，符合题意；
二次函数的图象与轴的两个交点坐标分别为，，
，消去得：，故结论正确，符合题意；
二次函数图象的开口向上，与轴的两个交点坐标分别为，，
当时，二次函数图象的在轴的下方，
，即：，故结论错误，不符合题意；
综上所述：结论正确，
故选：．
8．C
由题意，，，可判断错误；观察对称轴即可判断正确；根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点是可判断④错误；抛物线 图象与直线只有一个交点，方程有两个相等的实数根，故⑤正确．
∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线交轴于负半轴，
∴，
∵对称轴在轴右边，
∴，
∴，
∴，故错误，
∵顶点坐标为，
∴，
∴，故②正确；
∵，对称轴为直线，
∴抛物线与轴的另一个交点是，故错误，
由题意：图象与直线交于，两点，
∴当时，即不等式的解集为，故④正确，
∵抛物线 图象与直线只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，故⑤正确，
故选C．
此题考查了二次函数的性质、二次函数与不等式，二次函数与一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题．
9．C
本题考查的是求二次函数的自变量，一元二次方程．把代入，化为一元二次方程，求解即可．
解：将代入，得
，
即
，
解得（不符合题意，舍去），或．
故选C．
10．B
本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键．由，，且为直角三角形，运用勾股定理得出y与x的关系，再判断出函数图象即可．
解：如图，连接．
∵在矩形中，，，
∴，，
∵，，则，，
∴，，，
又∵为直角三角形，
∴，即，
整理得，
该函数图象是开口向下、顶点坐标是的抛物线，
∵点在边上移动（不与点B，C重合），
∴该函数图象不包含原点和x轴的交点，
故选：B．
11．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较函数值的大小，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．直接将点代入求出函数值，比较即可．
解：∵点是函数图象上两点，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
12．5
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
根据题意，可以得到，设点C的坐标为，则点D的坐标为，得到h的值，然后将点C的坐标代入抛物线的解析式，即可得到k的值，本题得以解决．
解：∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴．
∵抛物线(h，k为常数)与线段交于C，D两点，且，
，
∴设点C的坐标为，
则点D的坐标为，
，
∴抛物线为，
把点代入，得，
解得：．
故答案为：5．
13．①②④⑤
本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的相关性质并能结合图象进行分析判断．
通过分析二次函数图象的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点等，结合二次函数的性质，对每个结论进行逐一判断．
解：①由图象可知，抛物线开口向下，所以；对称轴为直线，根据对称轴公式，得，即，因为，所以；抛物线与轴的交点在轴正半轴，所以．那么，故①正确；
②由①得，即，故②正确；
③因为当时，，且对称轴为直线，所以当时，，故③不正确；
④因为对称轴为直线，且抛物线开口向下，所以当时，取得最大值，最大值为．对于任意实数，都有，两边同时减去，得，故④正确；
⑤点关于直线的对称点为．
因为抛物线开口向下，在对称轴右侧随的增大而减小，
又，所以，故⑤正确．
故答案为：①②④⑤．
14．②③⑤
本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是灵活应用图中信息解决问题．利用抛物线的开口方向得到，根据对称轴方程得到，则可对①进行判断；利用抛物线与轴有两个交点，对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点为，则，把代入得到，则可对③进行判断；利用二次函数的性质对④进行判断；利用抛物线在轴上方对应的自变量范围可对⑤进行判断．
解：由图象可知，，，，
，故①错误．
抛物线与x轴有两个交点，
，故②正确．
抛物线对称轴为，与x轴交于，
抛物线与x轴的另一个交点为，
，，
，，
，故③正确．
，为函数图象上的两点，
，即点C离对称轴近，
，故④错误，
抛物线对称轴为，与轴交于，
抛物线与轴另一个交点是
由图象可知，时，，故⑤正确．
综上，正确的有②③⑤，
故答案是：②③⑤．
15．
本题考查了二次函数的应用，以为轴，为轴建立平面直角坐标系，将点代入二次函数中求解，即可解题．
解：如图，以为轴，为轴建立平面直角坐标系，
由题知，二次函数过点，
，
解得，
二次函数解析式为，
，
故答案为：．
16．/
本题考查了根据等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，二次函数的性质，过点分别作的垂线，垂足分别为，根据等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，分别表示出，进而根据二次函数的性质，求得取得最小值，最小值为，进而即可求解．
解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为
设，
∵已知为等边三角形，边长为，
∴，
∴
∵，则
∴，
∴
∴
∴
当时，取得最小值，最小值为
∴的最小值为
故答案为：．
17．(1)
(2)
(3)
本题考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，利用增减性判断函数值的大小．
（1）由点坐标求出，进一步得到点坐标，再利用待定系数法求解；
（2）将代入，即可求出值；
（3）根据对称轴和开口方向判断增减性，再结合，两点的横坐标判断即可．
（1）解：∵抛物线的顶点为A，
∴，则，
∵，
∴，代入中，
得：，
解得：，
∴；
（2）将代入中，
得：，
解得：；
（3）∵抛物线的对称轴为直线，且开口向下，
∴当时，随的增大而减小，
∵，
∴．
18．(1)
(2)见解析
(3)
本题考查了配方法确定二次函数的顶点式，画出二次函数的图象以及最值的问题．
（1）用配方法配方成顶点式即可；
（2）写出顶点坐标，计算其与轴的交点和与轴的交点，列表、描点，画出图象；
（3）由图象判断时抛物线的增减性，进而可求的取值范围．
（1）解：，
即；
（2）解：二次函数图象的顶点坐标为，
令，
解得，，
抛物线与x轴的交点坐标为，，
当时，，
抛物线与y轴的交点坐标为，
点关于对称轴的对称点为，
抛物线经过点，，，，，
图象如图所示：
（3）解：由图象可得，当时，随x的增大而减小，
当时，，
当时，，
当时，的取值范围为，
故答案为：．
19．(1)，
(2)或
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标与二次函数解析式的关系.抛物线上的点的坐标，满足解析式方程.抛物线上纵坐标相等的不同的点是对称的；
（1）可直接将两个点的坐标代入解析式建立方程组求解，也可以根据两点的对称性先求出对称轴，进而求出a的值，再求出m；
（2）由题意得点P的纵坐标为，代入解析式中求出横坐标即可.
（1）解：∵点和点的纵坐标相等，
∴两个点关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
将代入，得：.
故答案为：，.
（2）解：∵点P在x轴下方的抛物线上的点且到x轴的距离为2，
∴点P的纵坐标为
代入解析式得：，
解得：，，
∴或.
20．(1)
(2)，
(3)
本题考查了求二次函数解析式，求抛物线与坐标轴的交点，根据函数图象求不等式的解集，掌握二次函数的性质是解题的关键；
（1）设抛物线解析式为，代入，求得的值，即可求解；
（2）令，解方程即可求得、点坐标；
（3）根据函数图象以及、点的横坐标，即可求解．
（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，且图象经过点，
∴设抛物线解析式为
代入，得
解得：
∴
（2）解：当时，
解得：
∴，
（3）解：∵，
根据函数图象可得，当函数值时，自变量的取值范围为．
21．(1)
(2)
(3)
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键．
（1）把点代入二次函数求解即可；
（2）由（1）知，二次函数为，点和点代入二次函数，对作差比较即可；
（3）由可得二次函数为，且，当，最小值为，即可得到的取值范围．
（1）解：二次函数的图象经过点，
，
解得：；
（2）解：由（1）知，二次函数为，
，，
，
，
，
，
即；
（3）解：，
二次函数为，
点在该抛物线上，若点到轴的距离小于2，
，
当时，，
当时，，
当时，最小值，
的取值范围．
22．(1)
(2)
(3)
本题考查了二次函数的图象与性质，正确求得函数关系式是解答的关键．
（1）选择表格中两组数据，代入中求解即可；
（2）根据该函数图象与x轴的交点坐标，以及开口方向即可求解；
（3）先求得，再根据已知得到，进而可得．
（1）解：由表格数据知，当时，，当时，，
∴，解得，
∴这个二次函数的关系式为
（2）解：由得，，
∴该函数的图象与x轴的交点坐标为，，
∵该二次函数图象开口向下，
∴若，则的取值范围为；
（3）解：∵、两点均在该函数的图象上，
∴，，
∴，
∵，
∴，则，
∴．
23．(1)
(2)点M的坐标为或或
本题考查了二次函数的综合运用，掌握菱形的性质、平行四边形的性质是解决本题的关键．
（1）把、代入，转化为解方程组即可；
（2）当以为对角线，利用和四边形为平行四边形得到四边形为菱形，则点也在对称轴上，即点为抛物线的顶点；当以为边时，根据平行四边形的性质得到，则可确定M的横坐标，然后代入抛物线解析式得到M点的纵坐标．
（1）解：把、代入，
则有，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：存在，点M的坐标为；
当以为对角线，
∵四边形为平行四边形，
而，
∴四边形为菱形，
∴与互相垂直平分，
∴点也在对称轴上，即点为抛物线的顶点，
∴点坐标为；
当以为边时，
∵四边形为平行四边形，
∴，即，
∴的横坐标为，
当时，，
同理当四边形是平行四边形时，可得点的横坐标为5，
当时，，
∴，
综上所述，点M的坐标为或或．
24．(1)①；②P点横坐标为6或；
(2)证明见解析，定点的坐标．
（1）①用待定系数法求解即可；
②用待定系数法求出直线的解析式为，根据点B、点C到直线距离相等，则或经过线段的中点，分别用待定系数法求出直线的解析式，然后联立求点P坐标．
（2）根据抛物线的平移求得抛物线的解析式为，联立，，则，所以，，设直线的解析式为，则，所以，所以；设直线的解析式为，则，所以，所以；所以，则，所以；设直线的解析式为，则，所以，，所以，则，当时，，所以直线过定点．
（1）解：①∵抛物线与x轴交于、两点，
∴设抛物线的解析式为，
把代入，得
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
②设直线的解析式为，
把，代入，得
，解得：，
∴直线的解析式为，
∵点B、点C到直线距离相等，
∴或经过线段的中点，
I．当时，
设直线的解析式为，
把代入，得
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立，，解得：，，
∴．
∴P点横坐标为6；
II．当经过线段的中点时，
∵，，
∴的中点坐标为：，
设直线的解析式为，则
，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，，
∴P点横坐标为．
综上可得，P点横坐标为6或；
（2）证明：∵将抛物线：平移得到抛物线，的顶点为原点．
∴抛物线的解析式为，
联立，，则，
∵点P、Q是直线与抛物线的交点，
∴，，
∵
∴设直线的解析式为，
联立，，则，
∵M、P是直线与抛物线的交点，
∴，
∴，
设直线的解析式为
联立，，则，
∴
∴，
∴，
∴，
∴
设直线的解析式为，
联立，得，
∴，，
∴
∴，
当时， ，
∴直线过定点．
本题考查待定系数法求一次函数与二次函数解析式，抛物线平移，抛物线与一次函数交点问题，根与系数关系，综合性较强，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．(共6张PPT)
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第二十二章 二次函数
单元测试·培优卷 试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题 1 0.94 根据二次函数的定义求参数
2 0.75 二次函数的识别
3 0.85 根据二次函数的定义求参数；y=ax 的图象和性质
4 0.65 y=a（x-h） +k的图象和性质
5 0.64 一次函数、二次函数图象综合判断
6 0.65 y=ax +bx+c的图象与性质；待定系数法求二次函数解析式；求抛物线与y轴的交点坐标
7 0.4 二次函数图象与各项系数符号；根据二次函数的图象判断式子符号；抛物线与x轴的交点问题
8 0.65 y=ax +bx+c的图象与性质；图象法解一元二次不等式；根据二次函数的图象判断式子符号
9 0.55 因式分解法解一元二次方程；其他问题(实际问题与二次函数)
10 0.64 动点问题的函数图象；图形运动问题(实际问题与二次函数)
二、知识点分布
二、填空题 11 0.85 y=ax 的图象和性质
12 0.85 y=a（x-h） +k的图象和性质；已知抛物线上对称的两点求对称轴
13 0.75 根据二次函数的图象判断式子符号；抛物线与x轴的交点问题；y=ax +bx+c的图象与性质
14 0.65 y=ax +bx+c的图象与性质；二次函数图象与各项系数符号；根据二次函数的图象判断式子符号；抛物线与x轴的交点问题
15 0.64 拱桥问题(实际问题与二次函数)
16 0.4 图形运动问题(实际问题与二次函数)；等边三角形的性质；用勾股定理解三角形
二、知识点分布
三、解答题 17 0.85 y=a（x-h） 的图象和性质；待定系数法求二次函数解析式
18 0.75 把y=ax +bx+c化成顶点式；画y=ax +bx+c的图象；y=a（x-h） +k的图象和性质
19 0.75 待定系数法求二次函数解析式；已知二次函数的函数值求自变量的值；y=ax +bx+c的图象与性质
20 0.65 待定系数法求二次函数解析式；图象法解一元二次不等式；求抛物线与x轴的交点坐标
21 0.65 y=ax +bx+c的图象与性质；利用不等式求自变量或函数值的范围；待定系数法求二次函数解析式
22 0.64 待定系数法求二次函数解析式；根据交点确定不等式的解集；y=ax +bx+c的图象与性质
23 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；特殊四边形(二次函数综合)；利用平行四边形的性质求解；利用菱形的性质求线段长
24 0.15 二次函数图象的平移；其他问题(二次函数综合)；求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式2025—2026学年九年级数学上学期单元测试卷
第二十二章 二次函数 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．若是关于的二次函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数表达式中，y是x的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知是二次函数，且函数图象有最高点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．关于二次函数，①抛物线的开口向上；②其图象的对称轴为直线；③其最小值为2；④其图像一定过点；⑤当时，随的增大而增大．以上说法正确的个数是（ ）．
A．5 B．4 C．3 D．2
5．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
6．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，下列结论正确的是（ ）
A． B．该函数图象与轴的交点的纵坐标是
C．当时，函数值 D．当时，随的增大而增大
7．如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图是抛物线图象的一部分，其顶点坐标为，与x轴的一个交点为，直线与抛物线交于A，B两点，下列结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点是；④不等式的解集为；⑤方程有两个相等的实数根；其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）满足的关系为．若“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（ ）
A． B． C． D．或
10．如图，在矩形中，，，点在边上移动（不与点B，C重合），连接，过点E作交于点F，设，，则与之间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知点是函数图象上两点，则 （填“>”“=”或“<”）．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．若抛物线(h，k为常数)与线段交于C，D两点，且，则k的值为 ．
13．二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④若m为任意实数且，则；⑤若是抛物线上的两点，则，其中结论正确的有 ．（填序号）
14．如图是二次函数图像的一部分，图像过点，对称轴为直线，给出以下五个结论：
①；
②；
③；
④若，，，为函数图像上的两点，则；
⑤当时，；
其中正确的结论是(填写代表正确结论的序号) ．
15．某桥梁建筑公司需在两山之间的峡谷上架设一座公路桥，桥下是一条宽 200的河流，根据各方面的条件分析，专家认为抛物线型拱桥是最好的选择，设计组根据专家的建议，以二次函数的图像为设计稿进行设计（如图所示），要求在桥两侧距河面高32处各设计一个桥孔，两桥孔的水平距离为60，求河面距公路桥的最大高度 ．
16．如图，已知为等边三角形，边长为，，分别为边，上的动点，且满足，连接，，则的最小值为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．如图，抛物线的顶点为，与轴的负半轴交于点，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在该抛物线上，求的值；
(3)若点，在此抛物线上，比较与大小，并说明理由．
18．已知二次函数．
(1)用配方法化为的形式；
(2)请你在所给的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；
(3)根据图象，求当时，的取值范围为_____．
19．已知抛物线经过点和点．
(1)求和的值；
(2)若在x轴下方的抛物线上有一点P，点P到x轴的距离为2，求点P的坐标．
20．已知抛物线的顶点坐标为，且图象经过点，交轴于、两点，
(1)求此二次函数的解析式；
(2)求、点坐标，
(3)根据图象，当函数值时，写出自变量的取值范围．
21．已知二次函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)若点和点均在该抛物线上，当时，请你比较的大小关系；
(3)若，点在该抛物线上，若点到轴的距离小于2，请直接写出的取值范围．
22．已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如下表：
… 0 1 2 …
… 0 3 4 3 …
(1)求这个二次函数的关系式；
(2)若，求的取值范围：
(3)若、两点均在该函数的图象上，当时，试比较与的大小．
23．如图，抛物线与轴交、两点，与轴交于点，顶点为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上有一动点，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，若存在直接写出点的坐标．
24．抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．
(1)如图1，若．
①求抛物线的解析式；
②点P为抛物线上一点，若点B、点C到直线距离相等，求P点横坐标；
(2)如图2，将抛物线平移得到抛物线，的顶点为原点．直线（s，t为常数，）交抛物线于点P、点Q．已知点，交抛物线于点M，交抛物线于点N，连接．求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标．
