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人教版 九年级上册
第二十四章 圆
单元测试·培优卷 试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题
1 0.94 求过圆内一点的最长弦
2 0.94 圆的周长和面积问题
3 0.85 三角形的外角的定义及性质；圆周角定理
4 0.85 利用弧、弦、圆心角的关系求解
5 0.75 利用垂径定理求值；用勾股定理解三角形
6 0.75 圆的基本概念辨析；判断确定圆的条件；正多边形和圆的综合
7 0.65 求扇形面积；求其他不规则图形的面积
8 0.65 根据矩形的性质与判定求线段长；切线的性质定理；用勾股定理解三角形
9 0.64 三角形外接圆的概念辨析；三角形内心有关应用；三角形内角和定理的应用；圆周角定理
10 0.55 斜边的中线等于斜边的一半；点与圆上一点的最值问题
二、知识点分布
二、填空题
11 0.95 利用弧、弦、圆心角的关系求解
12 0.85 等边对等角；圆的基本概念辨析；三角形内角和定理的应用
13 0.75 用勾股定理解三角形；切线的性质定理；利用垂径定理求同心圆问题
14 0.65 半圆（直径）所对的圆周角是直角；点与圆上一点的最值问题；用勾股定理解三角形
15 0.4 正多边形和圆的综合
16 0.15 全等的性质和SAS综合（SAS）；圆周角定理；三角形内心有关应用；求某点的弧形运动路径长度
二、知识点分布
三、解答题
17 0.85 利用垂径定理求值；圆周角定理；用勾股定理解三角形
18 0.75 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项；含30度角的直角三角形；圆和圆的位置关系；已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离
19 0.65 圆周角定理；切线的性质定理；根据平行线判定与性质证明；求正多边形的中心角
20 0.65 证明某直线是圆的切线；正多边形和圆的综合；含30度角的直角三角形；半圆（直径）所对的圆周角是直角
21 0.64 含30度角的直角三角形；证明某直线是圆的切线；用勾股定理解三角形
22 0.55 全等的性质和SAS综合（SAS）；用反证法证明命题；等腰三角形的性质和判定
23 0.4 证明某直线是圆的切线；求其他不规则图形的面积；等边三角形的判定和性质；切线的性质定理
24 0.15 圆与四边形的综合(圆的综合问题)；求扇形面积2025—2026学年九年级数学上学期单元测试卷
第二十四章 圆 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．已知、为上的两点，若的半径为，则的长不可能是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，小明顺着大半圆从地到地，小红顺着两个小半圆从地到地，设小明，小红走过的路程分别为，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
3．如图，中，弦相交于点，，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是的直径，，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是的直径，弦于点E，，，则的长为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1.5
6．下列说法：①直径是弦；②弧是半圆；③平面上任意三点能确定一个圆；④圆的内接正六边形的中心角为其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，由四段相等的圆弧组成的双叶花，每段圆弧都是四分之一圆周，，则这朵双叶花的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．小明同学响应学习号召，在实际生活中发现问题，并利用所学的数学知识解决问题，他将汽车轮胎如图放置在地面台阶直角处，他测量了台阶高a为，直角顶点到轮胎与底面接触点长为，请帮小明计算轮胎的直径为（ ）．
A．350 B．700 C．800 D．400
9．如图点为的外心，点为的内心，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，半径为5的圆心的坐标为，点是上任意一点，，与轴分别交于，两点，且，若点，点关于原点对称，则的最大值为（ ）
A．60 B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，是的直径，，，则的度数为 ．
12．如图，已知是的外接圆，，则 ．
13．如图，两个同心圆，大圆半径为，小圆的半径为，若大圆的弦与小圆有两个公共点，则的取值范围是 ．
14．如图，在中，，，，D是上一个动点，以为直径的圆O交于E，则线段的最小值是 ．
15．如图，点P从正八边形的顶点A出发，沿着正八边形的边顺时针方向走，第1次走1条边长到点H，第2次走2条边长到点F，3次走3条边长到点C……以此类推，第50次走到顶点 ．
16．如图，为的直径，且，点在半圆上，，垂足为点，为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，连接、．当点在半圆上从点运动到点时，内心所经过的路径长为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．如图，是的直径，弦于点E，点M在上，恰好经过圆心O，连接．
(1)若，，求的直径；
(2)若，求的度数．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=10cm，P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t秒．
（1）当t=2.5s时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由．
（2）已知⊙O为Rt△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．
19．如图，正方形内接于，连接，点F是的中点，过点D作的切线与的延长线相交于点G．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由．
(2)求的度数．
20．如图，是的直径，，是的弦，，延长到，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)求以为边的圆内接正多边形的周长．
21．如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
22．如图，在中，，点，，分别在，，上，且，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)用反证法证明不可能是直角三角形．
23．如图，在中，，以为直径的分别交于点D，G，过点D作于点E，交的延长线于点F．
(1)求证：与相切；
(2)当时，求阴影部分的面积．
24．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点．AE与过点C的切线垂直，垂足为E，直线EC与直径AB的延长线相交于点P，弦CD交AB于点F，连接AC、AD、BC、BD．
（1）若∠ABC＝∠ABD＝60°，判断△ACD的形状，并证明你的结论；
（2）若CD平分∠ACB，求证：PC＝PF；
（3）在（2）的条件下，若AD＝5，PF＝5，求由线段PC、和线段BP所围成的图形（阴影部分）的面积．2025—2026学年九年级数学上学期单元测试卷
第二十四章 圆 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C D C B B C C B
1．D
本题考查圆的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，根据题意，可得圆的直径为，直径是圆上最长的弦，即，即可得到答案．
解：∵、为上的两点，若的半径为，
∴，
∴D不符合题意．
故选：D．
2．A
根据图形，得两个小半圆的直径之和等于大半圆的直径之和，则根据圆周长公式，得二人所走的路程相等．
解：设小明走的半圆的半径是．
则小明所走的路程是．
设小红所走的两个半圆的半径分别是与，
则，
小红所走的路程是，
∴，
故选：A．
本题考查了圆的认识，注意计算两个小半圆的直径之和是大于半圆的直径．
3．C
本题考查了圆周角定理，三角形外角性质，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而根据三角形的外角的性质，进行列式计算，即可求解．
解：∵，
，
∵，，
，
故选C．
4．D
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握定理以及推论是解题的关键．根据在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对应的圆心角相等，解答即可．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
5．C
本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出的长度是解题的关键．由垂径定理可得的长度，再由勾股定理可得的长度，然后由即可得出答案．
解：∵于点E，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
故选：C．
6．B
本题考查的是正多边形与圆，圆的认识，正确记忆相关知识点是解题关键．根据等圆、等弧和半圆的定义以及确定圆的条件，分别进行判断．
根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是弦，故①正确，
弧是圆上任意两点间的部分，半圆是弧的一种特殊情况，但弧不一定是半圆，故②错误，
当平面上的三点在同一条直线上时，不能确定一个圆，只有不在同一直线上的三点才能确定一个圆，故③错误，
根据圆内接正多边形中心角公式：(n为边数)，可知圆的内接正六边形的中心角为，故④正确，
正确的个数为，
故选：．
7．B
本题主要考查了扇形面积计算，连接，根据，求出，再求出，得出，即可得出答案．
解：如图，是周长的四分之一，连接，
由题意知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
8．C
本题考查的是矩形的判定与性质及勾股定理的应用，掌握勾股定理及矩形的判定与性质是解题关键，连接，作于D．设半径为，在中根据勾股定理列方程解决即可．
解：如图，连接，作于D．
由题意得：，
则四边形是矩形，
∴，
设半径为，
在中，
由勾股定理得，，
解得，，
∴，
答：车轱辘的直径为．
故选：C．
9．C
本题考查了外心和内心的概念，圆周角定理，三角形内角和定理，由点为的外心，，则，故有，然后通过角平分线定义和三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：∵点为的外心，，
∴，
∴，
∵点为的内心，
∴，
∴，
故选：．
10．B
本题考查点与圆的位置关系，直角三角形斜边的中线，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，由直角三角形斜边中线的性质推出，当在的延长线上时，最大，此时最大，由勾股定理求出，得到，即可求出的最大值．
解：过作，连接，
的坐标是，在中，由勾股定理得：
，
，，
，
当取最大值时，的值最大，当在的延长线上时，最大，
圆的半径是5，
，
，
，
的最大值是40．
故选：B．
11．
根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用平角的定义得到的度数，然后根据弧的度数等于它所对的圆心角的度数求解．
解：∵，
∴，
而为直径，
∴，
∴的度数为．
12．/25度
本题考查了圆的基本概念，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由题意可得，推出，利用三角形内角和定理求出，进而得到，再根据，利用三角形内角和定理即可求解．
解：由题意可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
13．
本题考查了直线和圆的位置关系，熟练掌握圆的直径性质，切线性质，垂径定理，勾股定理，是解题的关键．
根据已知条件和图形分析可得当是大圆直径时，的值最大，从而可得的最大值；进一步分析可得当与小圆相切的时，最小，利用勾股定理可得的最小值．若大圆的弦与小圆有两个公共点，即与小圆相交，再结合上面分析即得答案．
解：设圆心为O，大圆的弦与小圆相交，如图．
当是大圆直径时，的值最大，
∵大圆半径为5，
∴最大值为．
当与小圆相切时，最小．
设切点为C，连接，
则，
∴，
∵小圆的半径为4，
∴，
∴．
∵大圆的弦与小圆有两个公共点，即相交，
∴．
故答案：．
14．/
本题考查了圆周角定理和勾股定理的综合应用，解决本题的关键是确定E点运动的轨迹，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．连接，取的中点，以为直径作，由直径可得，进而可得点在以为直径的上运动，当点、、三点共线时，有最小值，此时，利用勾股定理求出，即可得解．
解：如图，连接，取的中点，以为直径作，
是直径，
，
，
点在以为直径的上运动，
，
，
，
当点、、三点共线时，有最小值，此时，
，
，
，
线段的最小值是
故答案为：．
15．
本题考查了正多边形的性质，正确理解题意，找出规律是解题的关键．
当第50次时，共计走了条边，由题意得，从点A出发，走8条边即可回到点A，故，因此第50次时，相当于绕八边形159圈后回到点A，再顺时针走3条边，即到达顶点F，故第50次走到顶点F．
解：第1次走1条边长到点H，第2次走2条边长到点F，3次走3条边长到点C……以此类推，第50次走50条边长，故当第50次时，共计走了条边，
由题意得，从点A出发，走8条边即可回到点A，
∴，
∴第50次时，相当于绕八边形159圈后回到点A，再顺时针走3条边，即到达顶点F，
∴第50次走到顶点F，
故答案为：F．
16．
过、、三点作，连，，在优弧取点，连，，点在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上和，当点在扇形和扇形内，先求出，进而判断出点的轨迹，再求出，最后用弧长公式即可得出结论．
解：的内心为，
，，
，
，即，
，
，，
而，
，
，
所以点在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上和；
点在扇形内时，
如图，过、、三点作，连，，在优弧取点，连，，
，
，
，而，
，
弧的长，
同理：点在扇形内时，同①的方法得，弧的长为，
所以内心所经过的路径长为．
故答案为：．
本题考查了弧长的计算公式：，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，属于中考压轴题．
17．(1)
(2)
本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．
（1）先根据，得出的长，进而得出的长，进而得出结论；
（2）由，结合直角三角形可以求得结果；
（1）解：∵，
，
设，
又 ∵，
，
，
解得：，
∴的直径是 20 ．
（2）解：，
，
，
∴，
，
．
18．（1）相切，证明见解析；（2）t为s或s
（1）直线AB与⊙P关系，要考虑圆心到直线AB的距离与⊙P的半径的大小关系，作PH⊥AB于H点，PH为圆心P到AB的距离，在Rt△PHB中，由勾股定理PH，当t=2.5s时，求出PQ的长，比较PH、PQ 大小即可，
（2）OP为两圆的连心线，圆P与圆O内切rO-rP=OP, 圆O与圆P内切，rP-rO=OP即可．
（1）直线AB与⊙P相切．理由：作PH⊥AB于H点，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=10，
∴AB=2AC=20，BC=，
∵P为BC的中点
∴BP=
∴PH=BP=，
当t=2.5s时，PQ= ，
∴PH=PQ= ∴直线AB与⊙P相切 ，
（2）连结OP，
∵O为AB的中点，P为BC的中点，
∴OP=AC=5，
∵⊙O为Rt△ABC的外接圆，
∴AB为⊙O的直径，
∴⊙O的半径OB=10 ，
∵⊙P与⊙O相切 ，
∴ PQ-OB=OP或OB-PQ=OP 即t-10=5或10-t =5，
∴ t=或t= ，
故当t为s或s时，⊙P与⊙O相切．
本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆相切时求运动时间t问题，关键点到直线的距离与半径是否相等，会求点到直线的距离，会用t表示半径与点到直线的距离，抓住两圆相切分清情况，由圆心在圆O内，没有外切，只有内切，要会分类讨论，掌握圆P与圆O内切rO-rP=OP, 圆O与圆P内切，rP-rO=OP．
19．(1),理由见解析
(2)
（1）连接，可得，根据切线的定义可得，即可得出结论．
（2）根据正方形的性质可得，，，则．根据点F是的中点，可得．最后根据平行线的性质可得．
（1）解：．
理由：如图，连接，
∵正方形内接于，
∴．
∵与相切于点D，
∴，即．
∴，
∴．
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴．
∵点F是的中点，
∴，
∴．
∵，
∴．
本题主要考查了圆的内接正多边形，平行线的判定和性质，圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接正多边形的中心角，同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，以及平行线的判定和性质．
20．(1)见解析
(2)
（1）连接，根据等边对等角可得，，根据三角形的内角和定理求得，即可证明；
（2）根据，推得以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，根据直角三角形中，所对的边是斜边的一半求得，即可求解．
（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
又∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，
∵，，，
∴，
∴以为边的圆内接正六边形的周长为．
本题考查了等边对等角，三角形的内角和定理，圆内接正六边形的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)
本题主要考查了切线的判定，直角三角形的性质：
（1）连接，证明，即可求证；
（2）在和中，根据直角三角形的性质可得，，即可求解．
（1）证明：连接，如图，
为的直径，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
又为的半径，
是的切线；
（2）解：，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
．
22．(1)见解析
(2)见解析
本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，证明≌是解题的关键．
（1）根据，可知，再利用证明≌，得，即可证明结论；
（2）假设是等腰直角三角形，则，由知≌，则，可可得到，则假设不成立．
（1）证明：，
，
又，
，
在与中，
，
≌，
，
是等腰三角形；
（2）解：假设是等腰直角三角形，
则，
，
由（1）可知：≌，
∴，
，
，
，
不可能是等腰直角三角形．
23．(1)见解析
(2)
（1）由可得，再由可得，等量代换可得，根据同位角相等两条直线平行可得，又因为，根据垂直于两条平行线中的一条，与另一条也垂直，得到即可证明结论；
（2）先证明可得是等边三角形，即、，进而得到、，最后结合即可解答．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的半径，
∴与相切．
（2）解：∵，
∴，
∵，
，
，
，
，
，
∴是等边三角形，
，，
，
，
．
本题主要考查的是等腰三角形的性质、平行线的判定、切线的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理的应用、求解扇形的面积等知识点，熟练的证明圆的切线是解本题的关键．
24．（1）△ACD是等边三角形，证明见解析；（2）证明见解析；（3）
（1）在同一个圆中，根据同弦对的圆周角相等及条件，
可推导出，根据等角对等边可得出，即可证明；
（2）连接，根据切线的性质及角平分线，可推导出，，进一步得到，再根据等角对等边即可证明；
（3）根据（2）中结论先证是等腰直角三角形，通过在等腰直角三角形中边之间的关系及勾股定理推导出，再利用转化思想将间接求解．
解：（1）证明：△ACD是等边三角形，证明如下：
，
，
，
，
，
是等边三角形．
（2）连接，如下图，
是的直径，
，
平分，
，
与相切于点，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）由（2）知，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．
本题考查了圆的综合运用、等边三角形的判定、切线的性质、等角对等边、等腰直角三角形的判定、勾股定理、扇形的面积，涉及知识点较多、综合性强、难度较大，解得的关键是掌握相关知识点后，利用数形结合、等量代换、转化的思想进行解答．
