(共6张PPT)
人教版 九年级上册
九年级数学上册第一次月考卷
试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题 1 0.94 一元二次方程的定义
2 0.85 根据一元二次方程根的情况求参数
3 0.85 由一元二次方程的解求参数
4 0.75 y=ax +bx+c的图象与性质；二次函数图象与各项系数符号；根据二次函数的图象判断式子符号；抛物线与x轴的交点问题
5 0.65 y=ax 的图象和性质
6 0.65 动点问题的函数图象；y=ax +bx+c的图象与性质；用勾股定理解三角形
7 0.64 增长率问题(一元二次方程的应用)
8 0.64 分式化简求值；一元二次方程的根与系数的关系
9 0.55 因式分解法解一元二次方程；由一元二次方程的定义求参数；一元二次方程的定义
10 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；二次函数图象与各项系数符号；根据二次函数的图象判断式子符号；抛物线与x轴的交点问题
二、知识点分布
二、填空题 11 0.94 化成一元二次方程的一般式
12 0.85 y=ax +bx+c的图象与性质；根据交点确定不等式的解集；根据二次函数的对称性求函数值
13 0.85 根据一元二次方程根的情况求参数
14 0.75 y=ax 的图象和性质
15 0.65 传播问题(一元二次方程的应用)
16 0.15 图形运动问题(实际问题与二次函数)；其他问题(实际问题与二次函数)
二、知识点分布
三、解答题 17 0.85 分式化简求值；分式加减乘除混合运算；由一元二次方程的解求参数
18 0.75 y=a（x-h） +k的图象和性质；根据二次函数的对称性求函数值；把y=ax +bx+c化成顶点式
19 0.65 特殊四边形(二次函数综合)；待定系数法求二次函数解析式；用勾股定理解三角形
20 0.65 y=a（x-h） +k的图象和性质；根据交点确定不等式的解集；画y=ax +bx+c的图象
21 0.64 待定系数法求二次函数解析式；面积问题(二次函数综合)；求一次函数解析式；y=ax +bx+c的最值
22 0.4 根据判别式判断一元二次方程根的情况；一元二次方程的根与系数的关系；解一元二次方程——直接开平方法；用勾股定理解三角形
23 0.65 求抛物线与x轴的交点坐标；线段周长问题(二次函数综合)；把y=ax +bx+c化成顶点式；待定系数法求二次函数解析式
24 0.4 营销问题(一元二次方程的应用)；列代数式2025—2026学年九年级数学上学期第一次月考卷
（测试范围：九年级上册人教版，第21-22章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知二次函数的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若关于x的一元二次方程的一个根是，则k的值为（ ）．
A．2 B． C．2或 D．
4．二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
5．已知点，都在抛物线上，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图甲，在中，点从点出发向点运动，设线段的长为，线段的长为与的函数图象如图乙所示，点是图象上的最低点，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．的最小值为1 D．
7．某超市1月份的营业额为200万元，3月份的营业额为450万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A． B．
C． D．
8．若、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（ ）
A． B．3 C．或3 D．1或
10．对称轴为直线的抛物线（为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：当时，随的增大而减小，其中结论正确为（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．把一元二次方程化成一般形式： ．
12．如图，二次函数的图象经过点且与y轴交点C，点B和点C关于该二次函数图象的对称轴对称，一次函数的图象经过点A及点B，则不等式的解集为 ．
13．关于x的一元二次方程没有实数根，写出一个符合条件的整数m的值为 ．
14．如图是函数的图象，则k的取值范围是 ．
15．“水是生命之源，树是水的卫士．”为了更好地让大家珍惜树木，小红将宣传语转发给若干人，收到的人再把这条宣传语转发给相同的人数，若在这个过程中包括小红一共有157人收到了这条宣传语，则小红将这条宣传语转发给了 人．
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为2，∠AOC＝60°，点D为AB边上的一点，经过O，A，D三点的抛物线与x轴的正半轴交于点E，连结AE交BC于点F，当DF⊥AB时，CE的长为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．已知．
(1)化简A；
(2)若a为方程的一个解，求A的值．
18．已知抛物线．
(1)求该抛物线的对称轴．
(2)若点和在该抛物线上，试比较和的大小．
19．已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若将抛物线沿轴向右平移得到抛物线，平移后点的对应点为点，点是平面内任意一点，是否存在以、、、四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．在平面直角坐标系中，二次函数图象顶点为A，与x轴正半轴交于点B．
(1)求点B的坐标，并画出这个二次函数的图象；
(2)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围；
(3)一次函数的图象过A，B两点，结合图象，直接写出关于x的不等式的解集．
21．如图，已知抛物线经过，两点.
(1)求此抛物线的解析式和直线的解析式；
(2)如图，动点P在直线上方，且在抛物线上，求出的最大面积，并指出此时点P的坐标.
22．综合与实践
已知关于的一元二次方程（），且方程的两根为，．
(1)当时，求方程的根．
(2)若，，，且，恰好的两条直角边的长，求此的斜边的长．
(3)若，且，求的值．
（温馨提示：若一元二次方程的两个根为、，则有，）
23．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且．
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)判断的形状，证明你的结论；
(3)点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标．
24．小琴的父母承包了一块荒山种植一批梨树，今年收获一批蜜梨．他们打算以每千克元的零售价销售5000kg蜜梨，剩余的蜜梨以每千克比零售价低1元的批发价批发给外地客商，预计总共可获得145000元收入．
(1)小琴的父母今年共收获蜜梨多少千克？
(2)若以零售价销售蜜梨，平均每天可售出200kg，每千克盈利2元．为了加快销售速度，小琴的父母采取了降价措施，并发现每千克零售价降低0.1元，平均每天可多售出40kg．每千克零售价应降价多少元，才能使得每天的销售利润为600元？2025—2026学年九年级数学上学期第一次月考卷
（测试范围：九年级上册人教版，第21-22章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C A B C A D B D
1．B
本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可．
解：A、中，未知数的最高次为1，不是一元二次方程，不符合题意；
B、是一元二次方程，符合题意；
C、中，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：B．
2．A
本题考查二次函数图象与x轴的交点个数与二次函数系数之间的关系，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．
根据当图象与x轴有两个交点时，，当图象与x轴有一个交点时；，当图象与x轴没有交点时，，同时不要遗漏二次函数二次项系数不为零进行求解即可．
解：∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴判别式，
在函数中，令，则，，
∴
，
∴
解得，
故选：A．
3．C
本题考查了一元二次方程解的定义，把代入，据此解答即可．
解：把代入，得：
，
解得，，
故选：C．
4．A
本题主要考查了二次函数的图象，与系数有关的代数式的符号的判定，熟记各系数符号与函数图象的关系是解题的关键．
由二次函数图象可得：，，，可判断①；由对称轴，可判断②；将代入函数，求得y值，判断③；抛物线与x轴有两个交点，可判断④．
解：∵二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧，即，与y轴交在负半轴上，
∴，，，即，故①错误；
∵对称轴为直线，即，
∴，故②正确；
结合图象，当时，，故③正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，即，故④正确，
∴正确的共有3个．
故选：A．
5．B
本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
比较抛物线上点的纵坐标大小，根据开口方向及对称轴分析函数值变化趋势即可求解．
解：∵抛物线顶点为坐标原点，开口向下，对称轴为y轴．
∴ 当时，函数图象在第三象限，y随x增大而增大，当时，函数图象在第四象限，y随x增大而减小，
∵
∴．
故选：B．
6．C
本题考查了函数图象的应用以及三角形的相关性质，解题的关键是结合函数图象分析三角形的边长和角度等性质．
通过分析点运动时函数图象的变化，结合三角形的性质，对每个选项进行判断．
解：∵点从点出发向点运动，
∴当时，与点重合，结合图象可知，A选项正确，不符合题意；
当时，点与点重合时，最长，此时，即，B选项正确，不符合题意；
从图乙可以看出当时，最短，即，此时，在中利用勾股定理求出，故C选项错误，符合题意；
当时，由中，可知，所以，D选项正确，不符合题意．
故选：C．
7．A
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识，如果平均每月增长率为x，根据某超市1月份的营业额为200万元，则2月份的营业额为万元，3月份的营业额为万元，即可列方程．
解：根据题意，得，
故选：A．
8．D
本题考查了一元二次方程根与系数的关系、分式的求值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
由根与系数的关系可得，，根据分式的运算法则得到，再整体代入数据即可求解．
解：∵、是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴．
故选：D．
9．B
本题考查了一元二次方程的定义与因式分解法解一元二次方程．此题难度不大，注意二次项系数不等于零，这是易错点．根据题意可得且，继而求得答案．
解：由题意，得且，
∴且，
∴．
解得．
故选：B．
10．D
本题考查了二次函数图象的性质，根据图象依次判断．看懂函数图象是解题的关键．
图像开头向上，
对称轴，得
当时，，观察图象与轴交于负半轴可知
故正确；
图象与轴有两个不相等的交点
故错误；
当时，
故错误；
当时，
观察图象可知，此时，即
故正确；
观察图象，当时，随的增大而减小
故正确；
故选：D．
11．
本题考查了一元二次方程的一般形式，解决本题的关键是熟知一元二次方程的一般形式．
根据一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且），可得答案．
解：
．
故答案为：．
12．
本题主要考查了二次函数与不等式、二次函数的性质等知识点，灵活运用数形结合思想解决问题是解题的关键．
先求出点C的坐标，根据点B和点C关于该二次函数图象的对称轴对称，得到点B的坐标，然后根据图象解答即可．
解：∵二次函数的图象与y轴交于点C，
∴，即，
∵点C和点B关于该二次函数图象的对称轴直线对称，
∴，
∵二次函数与一次函数的图象经过点和点，
∴不等式的解集为二次函数在一次函数的图象下方时，自变量x的取值范围，即．
故答案为：．
13．（答案不唯一）
本题考查了一元二次方程根的判别式，先根据根的判别式得出，求出，再找出一个符合的数即可．
解：关于x的一元二次方程没有实数根，
，
∴，
∴可取．
故答案为：（答案不唯一）．
14．
本题考查了二次函数的性质．抛物线是最简单二次函数形式．顶点是原点，对称轴是y轴，时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．开口大小与有关，越大图象开口越小，越小图象开口越大．其顶点是，对称轴是y轴．
由图可知开口最小，其次，开口最大，根据开口大小与的关系计算即可．
由图可知开口最小，其次，开口最大，
∴，
∵，开口向下，
∴，，
即，且，，
解得：且，
即，
故答案为：．
15．12
本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握根据实际问题列一元二次方程并求解是解题的关键．设小红转发给人，根据传播过程中收到宣传语的总人数关系列方程求解．
解：设小红将这条宣传语转发给了人．依题意得
，
，
，
∴或
解得或（舍去）
故答案为：．
16．．
设BF=x，则CF=2-x，先确定A、B的坐标，然后再由菱形的性质确定D的坐标，由于抛物线经过O、A、D、E，根据抛物线的对称性可知点A与点D的中点横坐标与点O与点E的中点横坐标相同，可求E，再由平行线等分线段定理列方程求得x，进而求得CE．
解：∵菱形OABC的边长为2，∠AOC＝60°，
∴OA＝2，
∴A（1，），
∵菱形OABC，
∴AB＝OC＝2，AB∥OC，
∴B（3，），
设BF＝x，则CF＝2﹣x，
在菱形OABC中，∠B＝∠AOC＝60°，
∵DF⊥AB，
∴D（3﹣x，），
∴点A与点D的中点为（2﹣x，），
∵抛物线经过O，A，D、E，
∴点O与点E的中点为（2﹣x，0），
∴E（4﹣x，0），
∴CE＝4﹣x﹣2＝2﹣x，
∵AB∥CE，
∴＝，
∴＝，
∴x＝4+2（舍）或x＝4﹣2，
∴CE＝．
故答案为．
本题考查菱形与二次函数的综合应用，考查了菱形的性质、根据抛物线的对称性确定点的坐标、平行线分线段成比例等知识点，根据平行线等分线段定理的等量关系列方程是解答本题的关键．
17．(1)
(2)
本题主要考查了分式化简求值，一元二次方程的解，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．
（1）根据分式四则混合运算法则，进行计算即可；
（2）根据a为方程的一个解得出，整理得出，最后整体代入求值即可．
（1）解：
；
（2）解：∵a为方程的一个解，
，
，
，
．
18．(1)
(2)
本题主要考查了二次函数的图象和性质：
（1）把解析式化为顶点式，即可求解；
（2）求出点关于对称轴的对称点为，再根据二次函数的性质，即可求解．
（1）解：，
∴该抛物线的对称轴为直线；
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴点关于对称轴的对称点为，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴．
19．(1)抛物线的表达式为
(2)存在，点的坐标为或或或
本题考查了二次函数的图象与性质，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是分类讨论．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点，点，得到，过点作轴于点，根据菱形的性质求解即可．
（1）解：将点代入抛物线得：，
解得：，
抛物线的表达式为；
（2）解：存在以、、、四个点为顶点的四边形是菱形，理由如下：
，
令，则，
解得：，，
点，点．
，
如图，当四边形为菱形时，，过点作轴于点，
四边形为菱形，
，
，
，
，
同理，如图，当四边形为菱形时，，，
．
同理，如图，当四边形为菱形时，，，
，
当四边形为菱形时，设交于点，则，
，
；
综上所述，点的坐标为或或或．
20．(1)，图象见解析
(2)
(3)
本题主要考查了二次函数的图象和性质，描点法画函数图象，利用二次函数图象与直线的交点确定不等式的解集，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
（1）利用二次函数的性质求出图象与横轴的交点坐标即可，利用描点法画出函数图象；
（2）利用二次函数图象和坐标轴的交点确定不等式的解集即可；
（3）利用利用二次函数图象与直线的交点坐标确定不等式的解集即可．
（1）解：当时，得或，
∵点位于x轴正半轴，
∴；
列表得：
0 1 2 3
3 0 0 3
描点，画出函数图象如下：
（2）解：由图象得，当时，；
（3）解：如图所示，
当时，．
21．(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为
(2)的面积的最大值为，此时点P的坐标为
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质．
（1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程组，然后可求得b、c的值，于是可得到抛物线的解析式，设直线的解析式为，将点A、B的坐标代入可求得k、n的值，可得到直线的解析式；
（2）过点P作轴，垂足为C，交与点D．设点P的坐标为，则，然后列出的长与a的函数关系式，利用配方法可求得的最大值，以及点P的坐标，然后依据的面积可求得的面积的最大值．
（1）解：∵抛物线经过，两点，
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
设直线的解析式为，将点A和点B的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：如图所示：过点P作轴，垂足为C，交于点D．
设点P的坐标为，则，
∴，
∴当时，有最大值，即的面积有最大值，的最大值为，
∴，
∵的面积，
∴当的最大值为时，的面积最大，最大面积为，
∴的面积的最大值为，此时点P的坐标为．
22．(1)
(2)
(3)
本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理；
（1）根据题意得原方程为：，解方程，即可求解；
（2）根据题意得出原方程为：，根据一元二次方程根与系数的关系可得，根据勾股定理即可求解；
（3）根据题意得出原方程为：，设得出，根与系数的关系：根据已知，得出或，再求得原方程的判别式，进而求得的值，即可求解．
（1）解：∵
∴原方程为：，
可得：
（2）解：∵，，，
∴原方程为：
∵方程的两根为，，且，恰好的两条直角边的长，
∴
∴此的斜边的长为
（3）解：∵，
∴
∴原方程为：
∴
设
∴
由根与系数的关系：
∵，代入得：.
∴即
解得：或
∵中，
当时，
∴当时，，
当时，，原方程无实根，舍去，
综上所述，
23．(1)，顶点的坐标为
(2)是直角三角形，理由见解析
(3)
（1）把点的坐标代入抛物线解析式，列出关于系数的方程，通过解方程求得的值；利用配方法把抛物线解析式转化为顶点式方程，根据该解析式直接写出顶点的坐标；
（2）利用点、、的坐标来求线段、、的长度，得到，则由勾股定理的逆定理推知是直角三角形；
（3）作出点关于轴的对称点，则，连接，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，当的值最小，即当三点共线时，的周长最小．利用待定系数法求得直线的解析式，然后把代入直线方程，求得．
本题综合考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，抛物线的性质，勾股定理的逆定理以及轴对称--最短路线等重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生数形结合的数学思想方法．
（1）解：∵点在抛物线上，
，
∴，
抛物线的解析式为，
顶点的坐标为；
（2）解：是直角三角形，证明如下：
在中，当时，，
，
∴；
在中，当时，，
解得，，
∴，
，，
∵，，，
，
是直角三角形；
（3）解：如图所示，作点关于轴的对称点，连接，则，
由轴对称的性质可得，
∴的周长，
∵点C和点D都是定点，
∴的长为定值，
∴当有最小值时，的周长有最小值，
∵两点之间线段最短，
∴当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，解得，
∴．
24．(1)小琴的父母今年共收获蜜梨35000kg
(2)每千克零售价应降低1元，才能使得每天的销售利润为600元
根据销售毛利润与单价、数量之间的关系可列方程，求出的值，进而求出总产量；
由于降价，日销售量增加，用含有的代数式表示每斤的销售利润和日销售量，根据日销售利润可列方程求解，注意结果的合理性.
解：由题意，得，
解得（不合题意，舍去）．
当时，．
故小琴的父母今年共收获蜜梨kg．
设每千克零售价应降价元，才能使得每天的销售利润为元．
由题意，得，
解得．
为了加快销售速度， 应该舍去0.5，选降价1 元。
故每千克零售价应降低1元，才能使得每天的销售利润为元．
一元二次方程及应用，列出合理的方程是解题的关键，分析数量关系则显得尤其重要，降价使日销售量和每斤的销售利润发生变化，尤为注意.
