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人教版 九年级上册
九年级数学上册第一次月考卷02
试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题 1 0.94 解一元二次方程——配方法
2 0.85 y=a（x-h） +k的图象和性质；求抛物线与y轴的交点坐标
3 0.85 二次函数图象的平移
4 0.75 y=ax +bx+c的图象与性质
5 0.75 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
6 0.85 由一元二次方程的定义求参数
7 0.64 动点问题的函数图象；图形运动问题(实际问题与二次函数)；待定系数法求二次函数解析式；用勾股定理解三角形
8 0.64 图象法解一元二次不等式；抛物线与x轴的交点问题；y=ax +bx+c的图象与性质；根据二次函数的图象判断式子符号
9 0.65 根据二次函数图象确定相应方程根的情况
10 0.55 y=ax +bx+c的图象与性质；已知二次函数的函数值求自变量的值
二、知识点分布
二、填空题 11 0.85 y=a（x-h） +k的图象和性质
12 0.85 已知式子的值，求代数式的值；由一元二次方程的解求参数
13 0.65 图形问题(实际问题与二次函数)
14 0.65 求抛物线与x轴的交点坐标；求抛物线与y轴的交点坐标；等腰三角形的性质和判定
15 0.65 公式法解一元二次方程；一元二次方程的定义
16 0.4 换元法解一元二次方程；解分式方程（化为一元二次）
二、知识点分布
三、解答题 17 0.85 y=ax +bx+c的图象与性质；y=ax +bx+c的最值；把y=ax +bx+c化成顶点式
18 0.75 待定系数法求二次函数解析式；特殊三角形问题(二次函数综合)；三线合一
19 0.75 动点问题（一元一次方程的应用）；图形运动问题(实际问题与二次函数)
20 0.65 待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点问题；y=ax +bx+c的最值
21 0.65 动态几何问题(一元二次方程的应用)；用勾股定理解三角形
22 0.64 增长率问题(一元二次方程的应用)
23 0.64 因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系；根据判别式判断一元二次方程根的情况
24 0.4 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)；面积问题(二次函数综合)；y=ax +bx+c的图象与性质；待定系数法求二次函数解析式2025—2026学年九年级数学上学期第一次月考卷02
（测试范围：九年级上册人教版，第21-22章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B B A B D D B A
1．D
本题考查了配方法，熟练掌握配方法的概念是解决本题的关键．
移项，配方，根据完全平方公式变形，即可得出选项．
解：将常数项移到等式右边，得到．
取一次项系数4的一半，平方后得4，
将4加到等式两边：．
由此可得：．
因此，方程配方后为选项D．
故选：D ．
2．C
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．由抛物线解析式可求得其顶点坐标、对称轴、开口方向，进一步可求得其最值及增减性．
解：，
抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为，当时，，
A、B、D不正确；
对称轴为，且开口向上，
当时随的增大而增大，
故选：C．
3．B
本题考查二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的根据．根据“左加右减，上加下减”的二次函数的平移规律即可解答．
解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的函数表达式为，即．
故选：B．
4．B
本题考查了二次函数的图像和性质．
根据图像可判断时，y随x的增大而增大，分析每个选项即可．
解：由图像可得当时，y随x的增大而增大，所以当时，．
故选：B．
5．A
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设这块矩形田地的长为x步，再由矩形田地的长与宽的和是60步，可得出矩形田地的宽为步，根据矩形田地的面积是864平方步，即可得出关于x的一元二次方程．
解：根据题意设这块矩形田地的长为x步，则宽为步，
依题意得．
故选A．
6．B
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．根据一元二次方程的二次项系数不等于零列出关于a的不等式，通过解不等式即可求得a的取值范围．
解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴
∴，即．
故选：B．
7．D
本题主要考查了函数图象、二次函数的应用、求二次函数解析式、勾股定理等知识点，求得抛物线的解析式成为解题的关键．
在中，，，则，再求得的长，然后用待定系数法求得函数解析式，易得，最后根据勾股定理解答即可．
解：在中，，，则．
当时，，解得∶（负值已舍去），
，
抛物线经过点．由图象知抛物线顶点为．
设抛物线解析式为，
将代入，得，解得，
．
当时，，解得或（舍去），
．
在中，由勾股定理得．
故选D．
8．D
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是要掌握抛物线顶点、对称轴、与x（y）轴交点等知识．根据二次函数的图象及性质，逐个判断即可．
解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，即，①正确；
∵对称轴为，
∴，
∴，
∴，
∴②不正确；
∵图象过点，
∴图象与x轴左侧的交点为，
将代入得：
，③正确；
由图象知顶点在x轴下方，
∴，即，
而开口向上，，
∴，
∴，④正确；
∵抛物线与x轴两个交点分别为，，且开口向上，
∴时，，⑤正确；
∴正确的有①③④⑤，
故选：D．
9．B
本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，先估计出对称轴右侧图象与x轴交点的横坐标，再利用对称轴，可以估算出左侧交点横坐标．
解：依题意得二次函数的抛物线开口向下，图象的对称轴为，
而对称轴右侧图象与x轴交点在0与1之间，即
又∵对称轴为，
则抛物线与轴的另一个交点在与之间，即一元二次方程的其中一个解的范围是，
故选：B．
10．A
本题考查二次函数的性质，根据直线解析式为，根据选项令和，结合抛物线与线段有且只有一个交点利用排除法判断即可．
解：∵，
∴抛物线顶点坐标，与轴交点坐标，，
∵点，点，
∴直线解析式为，
当时，点，点，此时点即为抛物线与线段唯一交点，符合题意，故排除选项C、D；
当时，点，点，
联立，解得或，则抛物线与线段有两个交点和，不合题意，故排除选项B；
故选：A．
11．
本题考查了二次函数的性质，根据得对称轴为直线，结合，则与关于直线对称，进行列式计算，即可作答．
解：∵，
∴对称轴为直线，
∵点，都在二次函数的图象上，且，
∴与关于直线对称，
∴，
∴．
故答案为：
12．
本题考查了一元二次方程的解．
先根据一元二次方程的解的定义得到，再利用整体代入的方法计算．
解：将代入方程，得，
，
，
，
故答案为：．
13．
本题考查二次函数的应用．
根据函数解析式可得点的坐标，由二次函数图象的对称性，结合的长度，可得点的横坐标，代入解析式，可得点的纵坐标，从而可得，与相加，即可得杯子的高．
解：∵，
∴，
∵二次函数的图象关于对称，，
∴点的横坐标为，
当时，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
14．1
本题考查了抛物线与坐标轴的交点，求出A、B的坐标，从而求出，根据是等腰直角三角形即可求出a．
解：由图象可知，抛物线的开口向上，则中的，
令，则，
∴，，
令，则，
∴，则，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
故答案为：1．
15．
本题考查的是根与系数的关系，根的判别式，公式法求一元二次方程，解题的关键是熟知一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．
先根据题意可得求出k的值，再运用公式法求解即可．
解：∵是一元二次方程，
∴，
∴，
∴
，
∴
，
∴方程有两个不同的实数根，
∴
，
解得．
故答案为：．
16．
本题考查了解分式方程、换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键．设，将原方程转化为关于的方程，再对关于的方程去分母整理即可得出答案．
解：，
，
方程，
方程转化为关于的方程为，
整理得：，
原方程转化为关于的整式方程为．
故答案为：．
17．(1)，顶点坐标为
(2)
(3)或
本题考查了二次函数的图像和性质．
（1）根据对称轴公式求出a的值，将原抛物线化为顶点式，即可求出顶点坐标；
（2）分别求出的最大值与最小值，相减即可；
（3）根据二次函数的图像作答即可．
（1）解：∵抛物线关于直线对称，
∴，
解得：，
∴抛物线，
即顶点坐标为；
（2）解：当时，，
当时，，
当时，，
∴当时，的最大值为，最小值，
最大值与最小值的差为；
（3）解：∵，顶点坐标为，
∴在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，当时，，点的横坐标越接近对称轴纵坐标越小，
当在对称轴同侧时，
∵点都在此抛物线上，且，
∴，
解得，
当在对称轴异侧时，，，
∴，，
即
∵点都在此抛物线上，且，
∴，
即，
∴，
综上所述，的取值范围是或，
故答案为：或．
18．(1)
(2)或或
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，运用分类讨论思想是解题的关键；
（1）由抛物线与x轴的交点可设交点式，再对比原解析式，即可得解；
（2）根据勾股定理求出，再根据等腰三角形的性质，分类讨论，即可得解．
（1）解：抛物线与x轴相交于、两点，
设抛物线的解析式为，即，
，，
解得，，
抛物线的解析式为；
（2）解：存在．理由如下：
连接，如图，
当时， ，
，
，
，
，
，
当时，
，
，
点坐标为；
当时，
若点在B点左侧，点坐标为，若点在B点右侧，点坐标为，
综上所述，满足条件的P点坐标为或或．
19．(1)
(2)或6
(3)当时，；当时，；当时，
本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质与判定，掌握知识点是解题的关键．
（1）过点C作于点E，有，求出，可得，即此时P运动到点E，即可解答．
（2）分类讨论：当与当时，作出正确的图形，逐项分析，即可解答；
（3）分类讨论：当时，；当时，；当时，，作出正确的图形，逐项分析，即可解答．
（1）解：过点C作于点E，如图，
，
∵，，，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
即此时P运动到点E，
∴，
即．
（2）①当时，如图
由（1）可得
，
在矩形中，，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
解得．
②当时，如图
∵，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴
解得．
综上所述，t的值为2或6．
（3）①当时，矩形与重叠部分图形为，如图
；
②当时，矩形与重叠部分图形为四边形，如图
；
③当时，矩形与重叠部分图形为五边形，如图
有，，
，
∴，，
∴是等腰直角三角形，，
∴
∴，
∴，
∴
．
综上所述，当时，；当时，；当时，．
20．(1)
(2)见解析
(3)有最小值
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）依据题意，通过待定系数法即可计算得解；
（2）依据题意，由抛物线的顶点落在x轴上，则，又，且，可得，从而可以得解；
（3）依据题意，对称轴为直线，且，先求出，从而，再求出c的范围，然后根据，从而可以计算得解．
（1）解：图象过，
，
又图象过，，
，
，
；
（2）证明：顶点落在x轴上，
，
，且，
，
；
（3）解：抛物线的对称轴为直线，且，
，
，
，
，
又，
，
将，代入得，
当时，有最小值．
21．(1)，2s
(2)不能，理由见详解
本题考查了一元二次方程的应用和三角形面积的计算，主要运用了勾股定理和三角形面积公式．
（1）在中，根据勾股定理，，其中，，代入计算即可；
（2）要判断线段是否能将分成面积相等的两部分，即判断的面积是否等于面积的一半，先求出的面积，再设运动时间为x，表示出和，计算的面积，如果的面积等于面积的一半，则能分成面积相等的两部分，列方程求解即可．
（1）解：设运动时间为，则，，
当时，
在中，
∵，
∴，
，
，
，，
∴和时 ，的长度等于．
（2）解：线段不能将分成面积相等的两部分．
理由：设运动时间为，
则，，
依题意，得，
整理得：，
∵，
∴该方程无实数根，即线段不能将分成面积相等的两部分．
22．(1)
(2)没有突破175亩
本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设该合作社这两年种植生姜亩数的平均增长率为，根据增长率计算公式建立方程求解；
（2）由2024年种植生姜数量（增长率）求解2025年种植生姜数量，再与175比较即可．
（1）解：设该合作社这两年种植生姜亩数的平均增长率为，
由题意得：，
解得：，（舍），
答：该合作社这两年种植生姜亩数的平均增长率为；
（2）解：，
答：合作社种植生姜的亩数没有突破175亩．
23．(1)见解析
(2)k的值为0或
本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，解一元二次方程，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，根与系数的关系，是解题的关键：
（1）求出判别式的符号，即可得出结论；
（2）根据根与系数的关系，列出方程进行求解即可．
（1）证明：∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵方程的两根分别为，
∴
∴，
整理，得，
解得或．
24．(1)，
(2)或
(3)
本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、解一元二次方程等知识点，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
（1）先用待定系数法求出二次函数解析式，再令可求出点A，B的坐标；
（2）先求出点C的坐标，设，再根据面积相等利用三角形面积公式列方程求解即可；
（3）分两种情况利用二次函数的增减性求解即可．
（1）解：把代入，得：
，解得：，
∴，即，
令，可得，解得：，
∴．
（2）解：∵，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵点D异于点C，
∴，解得，
∴点D坐标为或．
（3）解：∵，
∴该抛物线的开口方向向下，对称轴为直线，
当时，，
∴．
当时，，
∴，
综上，当时，．2025—2026学年九年级数学上学期第一次月考卷02
（测试范围：九年级上册人教版，第21-22章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．一元二次方程配方后可化为（ ）
A． B． C． D．
2．关于的图象，下列叙述正确的是（ ）
A．顶点坐标为 B．对称轴为直线
C．当时，随增大而增大 D．与轴交于点
3．将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
4．二次函数的图象如图所示：若点在此函数图象上，，与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长及阔各几步”译文：一块矩形田地的面积是864平方步，它的长和宽共60步，问它的长和宽各是多少步？设这块矩形田地的长为x步，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．若是关于x的一元二次方程，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图1，在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿的方向匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点A时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段的长为（ ）
A．7 B． C． D．
8．如图是二次函数的部分图象，图象过点，对称轴为直线，给出下面五个结论：①；②；③；④；⑤若，则.其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的其中一个解的范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知抛物线，点，点，若抛物线与线段有且只有一个交点，则的取值范围为（ ）
A．4或 B．4或
C．4或 D．4或
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知点，都在二次函数的图象上．若，则m的值为 ．
12．若是关于的一元二次方程的一个实数根，则代数式的值为
13．如图，小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为 ．
14．如图，抛物线与轴交于点A，顶点B在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为 ．
15．若关于的方程是一元二次方程，则该一元二次方程的根是 ．
16．已知方程，如果设，那么原方程转化为关于的整式方程为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．已知抛物线关于直线对称．
(1)求a的值和顶点坐标；
(2)若点在此抛物线上，当时，求的最大值与最小值的差；
(3)若点都在此抛物线上，且，请直接写出的取值范围__________．
18．如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C点，已知点A、B的坐标分别是、．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
19．如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动．过点作与的直角边相交于点，延长至点，使得，以为边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒．
(1)当时，求的值；
(2)当时，求的值；
(3)求与之间的函数关系式．
20．已知二次函数（是常数，）的图象经过．
(1)若二次函数图象经过，，求该二次函数解析式；
(2)若二次函数图象的顶点落在x轴上，求证：；
(3)若二次函数图象的对称轴为直线，当时，求的最小值．
21．如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动．
(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于cm？
(2)如果P，Q分别从A，B 同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
22．沛县某村民合作社2022年种植生姜100亩，2024年该合作社扩大了生姜的种植面积，共种植144亩．
(1)求该合作社这两年种植生姜亩数的平均增长率．
(2)假定该合作社种植生姜亩数的平均增长率保持不变，预计2025年底，该合作社种植生姜的亩数可否突破175亩？
23．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两根分别为，且，求k的值．
24．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，C为抛物线顶点，点在抛物线上．
(1)请求出这个抛物线的解析式及点A，B的坐标
(2)该抛物线上是否存在异于点C的点D使得？若存在，请求出点D坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若，为抛物线上两点，且，求出，的大小关系．
