24.2.2 直线和圆的位置关系 同步练习（含解析）2025-2026学年人教版数学九年级上册

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24.2.2 直线和圆的位置关系
一．选择题（共7小题）
1．（2025 南岗区校级三模）如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PO的延长线交⊙O于点B，连接AB．若∠P＝26°，则∠B的度数为（　　）
A．64° B．52° C．42° D．32°
2．（2025 富阳区三模）如图，⊙O是△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点D，E，F，∠B＝42°，P是上一点，则∠DPE的度数是（　　）
A．42° B．48° C．58° D．69°
3．（2025 江口县三模）如图描绘的是“日头欲出未出时，雾失江城雨脚微”这一美景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．平行
4．（2025 二道区校级四模）堆雪人是下雪天才能享受的一项有趣的活动，既可以放松心情，又可以锻炼身体．如图1是某同学在课余时间堆的雪人，其头部可抽象成如图2所示的图形，点A表示鼻子，帽子与雪人头部的交点分别为点B、D，连接OD、BD、AB，AB过圆心O，CD与⊙O相切，BC⊥BD．若∠BCD＝25°，则∠ABD的度数是（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
5．（2025 海珠区校级二模）如图，点P为⊙O外一定点，连接OP，作以OP为直径的⊙A，与⊙O交于两点Q和R，根据切线的判断，直线PQ和PR是⊙O的两条切线．由△OQP≌△ORP得，PQ＝PR，∠OPQ＝∠OPR，即切线长定理．上述过程中，可以判定△OQP≌△ORP的定理是（　　）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
6．（2025 太康县三模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙O与矩形ABCD的边AB，BC都相切，且经过顶点D，与边CD相交于点E．若点A的坐标是（﹣5，3），则点E的坐标是（　　）
A．（4，﹣3） B．（5，﹣3） C．（3，﹣4） D．（3，﹣3）
7．（2025 福建模拟）如图，在△ABC中，AC，BC分别是⊙O的切线，A，D为切点，AB经过圆心O交⊙O于点E，连接AD，若∠B＝28°，则∠DAC＝（　　）
A．28° B．45° C．52° D．59°
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 东城区校级期末）如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为10，则PA的长为 　 　 ；
9．（2025 泗洪县三模）如图，⊙O为△ABC的内切圆，AB＝7，BC＝12，AC＝10，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为　 　 ．
10．（2025 浙江三模）如图，经过A，B两点的⊙O与AC相切于点A，与边BC相交于点E，AD为⊙O的直径，AB＝AC，连结DE，若∠C＝36°，则∠BED的度数为　 　 ．
11．（2025 宁海县二模）如图，AB是⊙O的切线，OB为半径，连结AO交圆于点C，点D在优弧CDB上．已知∠A＝40°，则∠D的度数为 　 　 ．
12．（2025 黑龙江）如图，PA、PB是圆O的切线，A、B为切点，AC是直径，∠BAC＝35°，∠P＝　 　 ．
三．解答题（共2小题）
13．（2025 新城区校级模拟）如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，与AB、AD分别相交于E、F．
（1）求证：CD与⊙O相切．
（2）若正方形ABCD边长为1，求⊙O的半径．
14．（2025 湖北）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°．过点O作DF⊥AB，垂足为E，交AC于点D，交⊙O于点F．过点F作⊙O的切线，交CA的延长线于点G．
（1）求证：FD＝FG；
（2）若AB＝12，FG＝10，求⊙O的半径．
24.2.2 直线和圆的位置关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 南岗区校级三模）如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PO的延长线交⊙O于点B，连接AB．若∠P＝26°，则∠B的度数为（　　）
A．64° B．52° C．42° D．32°
【考点】切线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】D
【分析】连接OA，根据切线的性质得到OA⊥PA，根据直角三角形的性质求出∠POA，再根据圆周角定理求出∠B．
【解答】解：如图，连接OA，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∵∠P＝26°，
∴∠POA＝90°﹣26°＝64°，
由圆周角定理得：∠B∠POA64°＝32°，
故选：D．
【点评】本题考查的是切线的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
2．（2025 富阳区三模）如图，⊙O是△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点D，E，F，∠B＝42°，P是上一点，则∠DPE的度数是（　　）
A．42° B．48° C．58° D．69°
【考点】三角形的内切圆与内心；圆周角定理；切线的性质．
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】连接OD、OE，由切线的性质得∠ODB＝∠OEB＝90°，而∠B＝42°，所以∠DOE＝360°﹣∠ODB﹣∠OEB﹣∠B＝138°，则∠DPE∠DOE＝69°，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OD、OE，
∵⊙O与AB、BC分别相切于点D，E，
∴AB⊥OD，BC⊥OE，
∴∠ODB＝∠OEB＝90°，
∵∠B＝42°，
∴∠DOE＝360°﹣∠ODB﹣∠OEB﹣∠B＝138°，
∴∠DPE∠DOE＝69°，
故选：D．
【点评】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线的性质、圆周角定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
3．（2025 江口县三模）如图描绘的是“日头欲出未出时，雾失江城雨脚微”这一美景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．平行
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】C
【分析】由“日头欲出未出时”可知，直线与圆相交，于是得到问题的答案．
【解答】解：由诗句“日头欲出未出时”可知，直线与圆相交，
故选：C．
【点评】此题重点考查直线与圆的位置关系，根据诗句“日头欲出未出时”判断直线与圆相交是解题的关键．
4．（2025 二道区校级四模）堆雪人是下雪天才能享受的一项有趣的活动，既可以放松心情，又可以锻炼身体．如图1是某同学在课余时间堆的雪人，其头部可抽象成如图2所示的图形，点A表示鼻子，帽子与雪人头部的交点分别为点B、D，连接OD、BD、AB，AB过圆心O，CD与⊙O相切，BC⊥BD．若∠BCD＝25°，则∠ABD的度数是（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】由切线的性质得CD⊥OD，而BC⊥BD，则∠ODC＝∠CBD＝90°，根据同角的余角相等推导出∠ODB＝∠BCD＝25°，因为OD＝OB，所以∠ABD＝∠ODB＝25°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵CD与⊙O相切于点D，
∵CD⊥OD，
∵BC⊥BD，
∴∠ODC＝∠CBD＝90°，
∴∠ODB+∠BDC＝90°，∠BCD+∠BDC＝90°，
∴∠ODB＝∠BCD＝25°，
∵OD＝OB，
∴∠ABD＝∠ODB＝25°，
故选：A．
【点评】此题重点考查切线的性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、等腰三角形的性质等知识，推导出∠ODC＝∠CBD＝90°是解题的关键．
5．（2025 海珠区校级二模）如图，点P为⊙O外一定点，连接OP，作以OP为直径的⊙A，与⊙O交于两点Q和R，根据切线的判断，直线PQ和PR是⊙O的两条切线．由△OQP≌△ORP得，PQ＝PR，∠OPQ＝∠OPR，即切线长定理．上述过程中，可以判定△OQP≌△ORP的定理是（　　）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
【考点】切线的判定与性质；全等三角形的性质；全等三角形的判定；角平分线的性质；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】D
【分析】根据圆周角定理得到∠OQP＝∠ORP＝90°，根据切线的判定定理得到直线PQ和PR是⊙O的两条切线，利用HL证明Rt△OQP≌Rt△ORP，得到答案．
【解答】解：∵OP是⊙A的直径，
∴∠OQP＝∠ORP＝90°，
∴OQ⊥PQ，OR⊥PR，
∴直线PQ和PR是⊙O的两条切线，
在Rt△OQP和Rt△ORP中，
，
∴Rt△OQP≌Rt△ORP（HL），
∴PQ＝PR，∠OPQ＝∠OPR，
∴判定△OQP≌△ORP的定理是HL，
故选：D．
【点评】本题考查的是切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握直角三角形全等的判定定理是解题的关键．
6．（2025 太康县三模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙O与矩形ABCD的边AB，BC都相切，且经过顶点D，与边CD相交于点E．若点A的坐标是（﹣5，3），则点E的坐标是（　　）
A．（4，﹣3） B．（5，﹣3） C．（3，﹣4） D．（3，﹣3）
【考点】切线的性质；坐标与图形性质；矩形的性质．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】A
【分析】连接OE，根据切线的性质得到OG⊥AB，进而求出AG，根据垂径定理求出EF，根据勾股定理求出OF，得到答案．
【解答】解：如图，连接OE，
∵⊙O与矩形ABCD的边AB，BC都相切，
∴OG⊥AB，OH⊥BC，
∵点A的坐标是（﹣5，3），
∴AG＝3，
∴DF＝3，
∵OF⊥DE，
∴FE＝DF＝3，
在Rt△OEF中，OF4，
∴点E的坐标为（4，﹣3），
故选：A．
【点评】本题考查的是切线的性质、坐标与图形性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
7．（2025 福建模拟）如图，在△ABC中，AC，BC分别是⊙O的切线，A，D为切点，AB经过圆心O交⊙O于点E，连接AD，若∠B＝28°，则∠DAC＝（　　）
A．28° B．45° C．52° D．59°
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】由AC，BC分别是⊙O的切线，A，D为切点，根据切线长定理得AC＝DC，得∠ADC＝∠DAC，由切线的性质得∠BAC＝90°，则∠DAB＝90°﹣∠DAC，因为∠ADC＝∠DAB+∠B，且∠B＝28°，所以∠DAC＝90°﹣∠DAC+28°，求得∠DAC＝59°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AC，BC分别是⊙O的切线，A，D为切点，
∴AC＝DC，
∴∠ADC＝∠DAC，
∵AB经过圆心O交⊙O于点E，
∴OA是⊙O的半径，
∴AC⊥OA，
∴∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝90°﹣∠DAC，
∵∠ADC＝∠DAB+∠B，且∠B＝28°，
∴∠DAC＝90°﹣∠DAC+28°，
∴∠DAC＝59°，
故选：D．
【点评】此题重点考查切线长定理、切线的性质定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出∠ADC＝∠DAC及∠BAC＝90°是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 东城区校级期末）如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为10，则PA的长为 　5　 ；
【考点】切线的性质；垂径定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】5．
【分析】根据切线长定理得到PA＝PB，DA＝DC，EB＝EC，再根据三角形周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，
∴PA＝PB，
∵DA，DC分别和⊙O切于A，C两点，
∴DA＝DC，
同理可得：EB＝EC，
∵△PDE的周长为10，
∴PD+DE+PE＝10，
∴PD+DC+CE+PE＝10，
∴PD+DA+EB+PE＝10，
∴PA+PB＝10，
∴PA＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是切线的性质，熟记切线长定理是解题的关键．
9．（2025 泗洪县三模）如图，⊙O为△ABC的内切圆，AB＝7，BC＝12，AC＝10，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为　15　 ．
【考点】三角形的内切圆与内心；切线的性质．
【专题】三角形；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】15．
【分析】设⊙O与AB、BC、AC分别相切于点M、F、N，DE与⊙O相切于点Q，由切线长定理得AM＝AN，BM＝BF，CN＝CF，则CN+CF＝AC+BC﹣AB＝15，而EQ＝EN，DQ＝DF，所以CE+ED+CD＝CN+CF＝15，于是得到问题的答案．
【解答】解：设⊙O与AB、BC、AC分别相切于点M、F、N，DE与⊙O相切于点Q，
∵AM＝AN，BM＝BF，CN＝CF，AB＝7，BC＝12，AC＝10，
∴CN+CF＝AC+BC﹣AN﹣BF＝AC+BC﹣AM﹣BM＝AC+BC﹣AB＝10+12﹣7＝15，
∵EQ＝EN，DQ＝DF，
∴CE+ED+CD＝CE+EQ+DQ+CD＝CE+EN+DF+CD＝CN+CF＝15，
∴△CDE的周长为15，
故答案为：15．
【点评】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出CN+CF＝AC+BC﹣AB＝15是解题的关键．
10．（2025 浙江三模）如图，经过A，B两点的⊙O与AC相切于点A，与边BC相交于点E，AD为⊙O的直径，AB＝AC，连结DE，若∠C＝36°，则∠BED的度数为　18°　 ．
【考点】切线的性质；垂径定理；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】18°．
【分析】由AB＝AC，得∠B＝∠C＝36°，则∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝108°，由切线的性质得∠CAD＝90°，则∠BED＝∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝18°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝36°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝108°，
∵AD为⊙O的直径，⊙O与AC相切于点A，
∴AC⊥AD，
∴∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝18°，
∴∠BED＝∠BAD＝18°，
故答案为：18°．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的性质、圆周角定理等知识，推导出∠B＝∠C＝36°及∠CAD＝90°是解题的关键．
11．（2025 宁海县二模）如图，AB是⊙O的切线，OB为半径，连结AO交圆于点C，点D在优弧CDB上．已知∠A＝40°，则∠D的度数为 　25°　 ．
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由切线的性质得∠ABO＝90°，则∠AOB＝90°﹣∠A＝50°，由圆周角定理得∠D∠AOB＝25°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AB是⊙O的切线，OB为半径，
∴AB⊥OB，
∴∠ABO＝90°，
∵∠A＝40°，
∴∠AOB＝90°﹣∠A＝50°，
∴∠D∠AOB＝25°，
故答案为：25°．
【点评】此题重点考查切线的性质、直角三角的两个锐角互余、圆周角定理等知识，推导出∠ABO＝90°，进而求得∠AOB＝50°是解题的关键．
12．（2025 黑龙江）如图，PA、PB是圆O的切线，A、B为切点，AC是直径，∠BAC＝35°，∠P＝　70°　 ．
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】70°．
【分析】由PA、PB是圆O的切线，得PA＝PB，PA⊥AC，则∠PAC＝90°，而∠BAC＝35°，则∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠BAC＝55°，所以∠P＝180°﹣∠PBA﹣∠PAB＝70°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵PA、PB是圆O的切线，
∴PA＝PB，
∵AC是⊙O的直径，∠BAC＝35°，
∴PA⊥AC，
∴∠PAC＝90°，
∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°，
∴∠P＝180°﹣∠PBA﹣∠PAB＝180°﹣55°﹣55°＝70°，
故答案为：70°．
【点评】此题重点考查切线的性质、切线长定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，推导出PA＝PB及PA⊥AC是解题的关键．
三．解答题（共2小题）
13．（2025 新城区校级模拟）如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，与AB、AD分别相交于E、F．
（1）求证：CD与⊙O相切．
（2）若正方形ABCD边长为1，求⊙O的半径．
【考点】切线的判定与性质；正方形的性质；直线与圆的位置关系．
【专题】矩形 菱形 正方形；与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】（1）见解析；（2）2．
【分析】（1）连接OM，过点O作ON⊥CD，垂足为N，根据正方形性质推出∠ACB＝∠ACD，根据角平分线性质推出OM＝ON即可；
（2）若正方形的边长为1，则对角线AC的长为，可用⊙O的半径表示出OA、OM、OC的长，然后根据AC的长度求出⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OM，过点O作ON⊥CD，垂足为N，
∵⊙O与BC相切于M，
∴OM⊥BC，
∵正方形ABCD中，AC平分∠BCD，
又∵ON⊥CD，OM⊥BC
∴OM＝ON
∴CD与⊙O相切．
（2）解：设⊙O的半径为R，则OM＝R．
∵正方形ABCD的边长为1，
∴AC＝1，OCR．
在Rt△OMC中，
∵sin∠OCM，
∴sin45°，
解之，得R＝2．
【点评】本题考查了正方形性质、切线的判定和性质、等膘直角三角形的性质、锐角三角函数等知识点的应用，正确作出辅助线是解题的关键．
14．（2025 湖北）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°．过点O作DF⊥AB，垂足为E，交AC于点D，交⊙O于点F．过点F作⊙O的切线，交CA的延长线于点G．
（1）求证：FD＝FG；
（2）若AB＝12，FG＝10，求⊙O的半径．
【考点】切线的性质；三角形的外接圆与外心．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）根据垂直，切线的性质得到AB∥GF，可得△DFG是等腰直角三角形，由此即可求解；
（2）根据垂径定理得到AE＝BE＝6，△ADE是等腰直角三角形，由（1）得到FD＝10，则EF＝4，如图所示，连接OA，设OE＝x，则OF＝OE+EF＝x+4＝OA，由此勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：∵DF⊥AB，GF是⊙O的切线，即DF⊥GF，
∴AB∥GF，
∴∠BAC＝∠G＝45°，
∴∠FDG＝90°﹣45°＝45°，即△DFG是等腰直角三角形，
∴FD＝FG；
（2）解：∵DF⊥AB，
∴，
∵∠BAC＝45°，
∴∠ADE＝90°﹣45°＝45°，即△ADE是等腰直角三角形，
∴EA＝ED＝6．
由（1）得FD＝FG＝10，
∴EF＝DF﹣DE＝10﹣6＝4，
如图所示，连接OA，设OE＝x，则OF＝OE+EF＝x+4＝OA，
∴在Rt△AOE中，OA2＝AE2+OE2，
∴（x+4）2＝62+x2，
解得，，
∴，
∴⊙O的半径为．
【点评】本题主要考查圆内接三角形的综合，掌握垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，切线的性质等周四，数形结合分析是关键．
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