22.1.4 二次函数y=ax2+bx +c的图象和性质 同步练习（含解析）2025-2026学年人教版数学九年级上册

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22.1.4 二次函数y=ax +bx +c的图象和性质的图象和性质
一．选择题（共7小题）
1．（2024秋 淮阳区期末）平移二次函数y＝x2的图象，其顶点刚好经过点（2，3），则平移后的函数解析式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2+3 B．y＝（x+2）2﹣3
C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x+2）2+3
2．（2024秋 滨江区期末）设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 …
当x＝3时，y＝（　　）
A．5 B．﹣4 C．﹣3 D．0
3．（2024秋 盐山县期末）把抛物线y＝2（x﹣1）2+3先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式是（　　）
A．y＝2（x+2）2+5 B．y＝2（x+2）2+1
C．y＝2（x﹣4）2+1 D．y＝2（x﹣4）2+5
4．（2025 淅川县二模）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝x+b的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2024秋 子洲县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表．则这条抛物线的对称轴是（　　）
x … ﹣1 0 1 3 …
y … ﹣3 1 3 1 …
A．直线x＝﹣1 B．直线 C．直线y＝3 D．y轴
6．（2024秋 雨花区期末）一次函数y＝kx+b与二次函数y＝kx2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024秋 克州期末）抛物线y＝x2+2x+c+1与直线y＝1只有一个公共点，则c的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 崇川区校级月考）已知二次函数y＝ax2﹣3的图象经过点A（1，﹣1），当﹣1≤x≤2时，y的取值范围为　 　 ．
9．（2025 惠城区二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，顶点D在x轴负半轴上．若抛物线y＝ax2+2ax+4（a＜0）经过点B，C，则点D的坐标为 　 　 ．
10．（2025春 盱眙县期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表．则a+b+c的值是 　 　 ．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …
y … ﹣2 ﹣5 ﹣6 ﹣5 …
11．（2025 滨城区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c关于x＝1对称，其部分图象如图所示，则3a+c＝　 　 ．
12．（2025 惠州一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y经过平移得到抛物线y，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为　 　 ．
三．解答题（共2小题）
13．（2025 绍兴二模）已知二次函数y＝x2﹣tx﹣3．
（1）若二次函数经过（1，0），求二次函数的解析式；
（2）当﹣1≤x≤5时，函数有最大值为6，求t的值；
（3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当t≤x1＜x2≤t+3时，总有y1＞y2，求t的取值范围．
14．（2025 温州模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），（0，3）．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）当﹣1≤x≤2时，函数的最大值为m，最小值为n，求m﹣n．
22.1.4 二次函数y=ax +bx +c的图象和性质的图象和性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2024秋 淮阳区期末）平移二次函数y＝x2的图象，其顶点刚好经过点（2，3），则平移后的函数解析式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2+3 B．y＝（x+2）2﹣3
C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x+2）2+3
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】A
【分析】根据二次函数的顶点式即可得到答案．
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣2）2+3的顶点为（2，3），
∴平移二次函数y＝x2的图象，其顶点刚好经过点（2，3），则平移后的函数解析式为y＝（x﹣2）2+3．
故选：A．
【点评】此题考查了二次函数的平移．由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
2．（2024秋 滨江区期末）设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 …
当x＝3时，y＝（　　）
A．5 B．﹣4 C．﹣3 D．0
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以求出该函数图象的对称轴，然后根据二次函数图象具有对称性，即可求得当x＝3对应的函数值．
【解答】解：由表格可得，
该函数的对称轴为直线x1，
∴x＝3和x＝﹣1对应的函数值相等，
∵当x＝﹣1时，y＝0，
∴当x＝3时，y＝0，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3．（2024秋 盐山县期末）把抛物线y＝2（x﹣1）2+3先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式是（　　）
A．y＝2（x+2）2+5 B．y＝2（x+2）2+1
C．y＝2（x﹣4）2+1 D．y＝2（x﹣4）2+5
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】D
【分析】直接根据抛物线的平移规律作答即可．
【解答】解：将抛物线y＝2（x﹣1）2+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y＝2（x﹣1﹣3）2+3+2，
即y＝2（x﹣4）2+5，
故选：D．
【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
4．（2025 淅川县二模）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝x+b的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】二次函数的图象；二次函数的性质；一次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】D
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出a、b的正负情况，再由一次函数的性质解答．
【解答】解：由图象开口向下可知a＜0，b＞0，
∴一次函数y＝x+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出a、b的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大．
5．（2024秋 子洲县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表．则这条抛物线的对称轴是（　　）
x … ﹣1 0 1 3 …
y … ﹣3 1 3 1 …
A．直线x＝﹣1 B．直线 C．直线y＝3 D．y轴
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】根据当x＝0、x＝3时的函数值都是1，结合二次函数的对称性求解即可．
【解答】解：∵当x＝0、x＝3时的函数值都是1，
∴这个二次函数图象的对称轴是直线，即，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
6．（2024秋 雨花区期末）一次函数y＝kx+b与二次函数y＝kx2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念．
【答案】B
【分析】先由二次函数y＝kx2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝kx+b的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，k＞0，b＜0，由直线可知，k＜0，b＞0，故本选项不合题意；
B、由抛物线可知，k＞0，b＞0，由直线可知，k＞0，b＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，k＜0，b＞0，由直线可知，k＜0，b＜0，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，k＜0，b＜0，由直线可知，k＞0，b＞0，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．
7．（2024秋 克州期末）抛物线y＝x2+2x+c+1与直线y＝1只有一个公共点，则c的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】D
【分析】当y＝1时，x2+2x+c+1＝1，由题意可得Δ＝0，可求c＝1．
【解答】解：当x2+2x+c+1＝1时，x2+2x+c＝0，
∵y＝x2+2x+c+1与直线y＝1只有一个公共点，
∴Δ＝4﹣4c＝0，
解得c＝1，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确地求出c的值是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 崇川区校级月考）已知二次函数y＝ax2﹣3的图象经过点A（1，﹣1），当﹣1≤x≤2时，y的取值范围为　﹣3≤y≤5　 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质．
【答案】﹣3≤y≤5．
【分析】首先将A（1，﹣1）代入求出二次函数解析式，确定最值，再分别讨论x＝﹣1，0，2时y的最值即可．
【解答】解：把A（1，﹣1）代入y＝ax2﹣3中，
解得a＝2，
故二次函数解析式为y＝2x2﹣3，
由y＝2x2﹣3可知顶点坐标为（0，﹣3），
∵﹣1≤x≤2，
∴当x＝﹣1时，y＝﹣1，
当x＝2时，y＝5，
当x＝0时，y＝﹣3
∴﹣3≤y≤5．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，掌握以上性质是解题的关键．
9．（2025 惠城区二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，顶点D在x轴负半轴上．若抛物线y＝ax2+2ax+4（a＜0）经过点B，C，则点D的坐标为 　（，0）　 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；菱形的性质．
【专题】数形结合；二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】
【分析】本题需要综合运用二次函数的性质、菱形的性质来求解点D的坐标．首先通过二次函数的对称轴公式求出对称轴，再结合抛物线经过B、C两点且BC平行于x轴，得出B、C关于对称轴对称，进而求出BC的长度，再根据抛物线与y轴交点求出B点坐标，最后利用菱形的性质求出D点坐标．
【解答】解：抛物线y＝ax2+2ax+4（a＜0）的对称轴为：，
∵抛物线经过B、C两点，令x ＝0，则y＝4，所以B点坐标为（0，4），
令y＝4，则x＝0或x，则C的坐标为（）．
∴BC．
作CE⊥x轴交x轴于点E，则CE＝4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD．
在Rt△CED中，
结合图象可知D在C点右侧，则D的坐标为．
故答案为：．
【点评】本题综合考查二次函数性质（对称轴求解、点关于对称轴对称）与菱形性质（对边相等、边长计算 ），需结合函数与几何图形的关联，通过坐标运算、勾股定理求解点的坐标，体现代数与几何的融合．难度适中．
10．（2025春 盱眙县期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表．则a+b+c的值是 　﹣2　 ．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …
y … ﹣2 ﹣5 ﹣6 ﹣5 …
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据表格可求出该二次函数的对称轴为x＝﹣1，然后求出（1，y）关于x＝﹣1的对称点坐标，即可求出a+b+c的值．
【解答】解：由表格可知：（﹣2，﹣5）与（0，﹣5）是关于对称轴对称的，
∴该二次函数的对称轴为x＝﹣1，
设二次函数图象上的点为（1，y），（x，y），
由对称性可知：1，
∴x＝﹣3，
∴（1，y）与（﹣3，y）关于x＝﹣1对称，
由表格可知：x＝﹣3时，y＝﹣2，
令x＝1代入y＝ax2+bx+c，
∴y＝a+b+c＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查二次函数的性质和二次函数图象上点的特征，解题的关键是求出该二次函数的对称轴，本题属于中等题型．
11．（2025 滨城区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c关于x＝1对称，其部分图象如图所示，则3a+c＝　0　 ．
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】0．
【分析】由函数图象可知，抛物线与坐标轴的交点为（0，﹣2），（3，0），再由抛物线y＝ax2+bx+c关于x＝1对称可知1，据此可得出a、c的值，进而得出结论．
【解答】解：由函数图象可知，抛物线与坐标轴的交点为（0，﹣2），（3，0），
∴c＝﹣2①，9a+3b+c＝0③，
∵抛物线y＝ax2+bx+c关于x＝1对称，
∴1③，
①②③联立得，
解得a，
∴3a+c＝32＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，熟知以上知识是解题的关键．
12．（2025 惠州一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y经过平移得到抛物线y，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为　4　 ．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【答案】见试题解答内容
【分析】确定出抛物线yx2﹣2x的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：如图，∵yx2﹣2x（x﹣2）2﹣2，
∴平移后抛物线的顶点坐标为（2，﹣2），对称轴为直线x＝2，
当x＝2时，y22＝2，
∴平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积，
（2+2）×2＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出与阴影部分面积相等的三角形是解题的关键．
三．解答题（共2小题）
13．（2025 绍兴二模）已知二次函数y＝x2﹣tx﹣3．
（1）若二次函数经过（1，0），求二次函数的解析式；
（2）当﹣1≤x≤5时，函数有最大值为6，求t的值；
（3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当t≤x1＜x2≤t+3时，总有y1＞y2，求t的取值范围．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式．
【专题】待定系数法；二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；
（2）t的值为8或；
（3）t≤﹣6．
【分析】（1）把（1，0）点的坐标代入函数解析式中求出即可；
（2）根据二次函数解析式得抛物线开口向上，进而得x＝﹣1或x＝5时，函数有最大值6，分别代入x＝﹣1、x＝5，得到关于t的方程，解方程求出t的值，并验证此时最大值为6即可；
（3）抛物线开口向上，得出称轴为直线，根据二次函数图象的增减性结合题意可得关于t的不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）把（1，0）代入函数解析式得，1﹣t﹣3＝0，
∴t＝﹣2，
∴函数解析式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
当﹣1≤x≤5时，x＝﹣1或x＝5时，函数有最大值6，
若当x＝﹣1时，y＝1+t﹣3＝6，
解得t＝8，
当t＝8时，y＝x2﹣8x﹣3，
将x＝5代入得，y＝25﹣8×5﹣3＝﹣18＜6，符合题意；
若当x＝5时，y＝25﹣5t﹣3＝6，
解得，
当时，，
将x＝﹣1代入得，，符合题意；
综上，t的值为8或；
（3）∵二次函数y＝x2﹣tx﹣3，
∴二次函数图象的对称轴为，
∵当t≤x1＜x2≤t+3时，总有y1＞y2，开口向上，
∴当点（x1，y1）（x2，y2）在对称轴同侧时，y随x的增大而减小，则都在对称轴的左侧，即t+3，
解得t≤﹣6；
当点（x1，y1）（x2，y2）在对称轴异侧时，则对称轴左右两端存在函数值的相等的两段范围，无法保证左边的函数值一定比右边大，即不合题意，
综上所述，t≤﹣6．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质及待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握二次函数的相关性质．
14．（2025 温州模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），（0，3）．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）当﹣1≤x≤2时，函数的最大值为m，最小值为n，求m﹣n．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）4．
【分析】（1）把两个已知点的坐标代入y＝ax2﹣2ax+c得a、c的方程组，然后解方程组即可；
（2）先利用配方法得到顶点式y＝﹣（x﹣1）2+4，则当x＝1时，y有最大值4，再计算出x＝0和x＝2时对应的函数值，从而得到当﹣1≤x≤2时函数值的取值范围，然后确定m、n的值，最后进行m﹣n的值．
【解答】解：（1）把（﹣1，0），（0，3）分别代入y＝ax2﹣2ax+c得，
解得，
∴这个二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴当x＝1时，y有最大值4，
当x＝﹣1时，y＝﹣x2+2x+3＝0，
当x＝2时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣4+4+3＝3，
∴﹣1≤x≤2时，0≤y≤4，
∴m＝4，n＝0，
∴m﹣n＝4﹣0＝4．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征．
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