24.1.3 弧、弦、圆心角 同步练习（含解析）2025-2026学年人教版数学九年级上册

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24.1.3 弧、弦、圆心角
一．选择题（共7小题）
1．（2024秋 南关区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，，若∠AOC＝130°，则∠BOD的大小为（　　）
A．130° B．80° C．65° D．50°
2．（2025 项城市三模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点E，C是的中点，连接AF．若⊙O的半径为5，且AF＝8，则AE的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2025 湖里区校级模拟）如图已知过⊙O外一点A向⊙O作两条割线分别交⊙O于点D，B和点E，C，其中AB＞AD，AC＞AE，经测量得知∠A＝30°30′3″，则弧BC的度数不可能是（　　）
A．61° B．62° C．63° D．64°
4．（2025 武汉模拟）如图，在⊙O中，点C是的中点，CD垂直平分半径OA，，则该圆的半径为（　　）
A．4 B．2 C． D．
5．（2024秋 临海市期末）如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB，垂足为E，下列结论不一定成立的是（　　）
A．AE＝BE B． C．AC＝BC D．OE＝CE
6．（2025 沈阳模拟）如图，⊙O中，点A、B、C在圆上，且弧AB长等于弧AC长的2倍，则下列结论正确的是（　　）
A．AB＝2AC B．AB＞2AC
C．AB＜2AC D．以上结论都不对
7．（2024秋 石狮市校级期末）如图所示，在⊙O中，点B是弧AC的中点，若∠D＝30°，则∠BOC＝（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 江苏校级期中）如图，A、B、C、D在⊙O上，AB＝BC＝DA，AD、BC的延长线交于点P，且∠P＝40°，则弧CD的度数为 　 　 ．
9．（2025 凉州区三模）如图，点C，D在以AB为直径的半圆O上，且OD∥BC，若的度数为43°，则的度数为　 　 °．
10．（2025 桑植县三模）如图，已知AB是⊙O的直径，，∠BOC＝42°，那么弧AE度数等于 　 　 ．
11．（2025 泌阳县一模）如图，在半径为10的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为　 　 ．
12．（2025春 新吴区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，∠E＝35°，则∠BOD＝　 　 ．
三．解答题（共2小题）
13．（2025春 青浦区期末）右图是我区某一路口“右转危险区”的示意图，经过测量后内轮转弯半径O1A＝O1D＝10米，前内轮转弯半径O2B＝O2C＝4米，圆心角∠DO1A＝∠CO2B＝90°，求此“右转危险区”的面积和周长．
14．（2025 雷州市校级三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，F是上一点，C是的中点，AC与DF交于点G，连接EG．
（1）如图1，求证：CD＝2EG．
（2）如图2，若DF是直径且DF＝8，求EG的长．
24.1.3 弧、弦、圆心角
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2024秋 南关区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，，若∠AOC＝130°，则∠BOD的大小为（　　）
A．130° B．80° C．65° D．50°
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】D
【分析】根据在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对应的圆周角相等解答．
【解答】解：∵∠AOC＝130°，
∴∠BOC＝180°﹣130°＝50°，
∵，
∴∠BOC＝∠BOD＝50°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握定理以及推论是解题的关键．
2．（2025 项城市三模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点E，C是的中点，连接AF．若⊙O的半径为5，且AF＝8，则AE的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】圆心角、弧、弦的关系；勾股定理；垂径定理．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】B
【分析】连接OC，先证明CD＝AF＝8，进而得，从而即可得解．
【解答】解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴，CE＝DE．
∵C是的中点，AF＝8，
∴，
∴CD＝AF＝8，
∴CE＝DE＝4，
∵OC＝5，
∴，
∵OA＝5，
∴AE＝OA﹣OE＝2，
故选：B．
【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键，
3．（2025 湖里区校级模拟）如图已知过⊙O外一点A向⊙O作两条割线分别交⊙O于点D，B和点E，C，其中AB＞AD，AC＞AE，经测量得知∠A＝30°30′3″，则弧BC的度数不可能是（　　）
A．61° B．62° C．63° D．64°
【考点】圆心角、弧、弦的关系；度分秒的换算．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】A
【分析】连接CD，OB，OC，得到∠BOC＝2∠BDC，由三角形外角的性质得到∠BDC＝∠A+∠ACD，继而得到∠BOC＝2∠A+2∠ACD＝61°6''+2∠ACD，得出弧BC的度数不可能是61°，即可得到答案．
【解答】解：连接CD，OB，OC，AB＞AD，AC＞AE，
∴∠BOC＝2∠BDC，
∵由外角的性质可得∠BDC＝∠A+∠ACD，∠A＝30°30′3″，
∴∠BOC＝2∠A+2∠ACD＝61°6''+2∠ACD，
∴弧BC的度数最小为：61°6''，
∴不可能是61°，
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
4．（2025 武汉模拟）如图，在⊙O中，点C是的中点，CD垂直平分半径OA，，则该圆的半径为（　　）
A．4 B．2 C． D．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；线段垂直平分线的性质．
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】连接AC，BC，OB，OC，设OD＝a，证明△OAC是等边三角形得AC＝OA＝OB＝2a，∠OCD＝30°，进而得CD，再证明△OBC是等边三角形得OB＝OC＝BC＝2a，∠OCB＝60°，则∠BCD＝90°，然后在Rt△BCD中，由勾股定理求出a＝2，继而可得⊙O半径．
【解答】解：连接AC，BC，OB，OC，如图所示：
∴OA＝OC＝OB，
设OD＝a，
∵CD垂直平分半径OA，
∴AC＝OC，AD＝OA＝a，
∴OA＝OC＝AC＝2a，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠OCA＝60°，
∴∠OCD∠OCA＝30°，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：CD，
∵点C是弧AB的中点，
∴AC＝BC，
∴OB＝OC＝BC，
∴△OBC是等边三角形，
∵OB＝OC＝BC＝2a，∠OCB＝60°，
∴∠BCD＝∠OCB+∠OCD＝60°+30°＝90°，
∴△BCD是直角三角形，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：CD2+BC2＝BD2，
∵BD，
∴（，
整理得：a2＝4，
解得：a＝2，a＝﹣2（不合题意，舍去），
∴OA＝2a＝4，
即该圆的半径为4．
故选：A．
【点评】此题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，线段垂直平分线的性质，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．
5．（2024秋 临海市期末）如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB，垂足为E，下列结论不一定成立的是（　　）
A．AE＝BE B． C．AC＝BC D．OE＝CE
【考点】圆心角、弧、弦的关系；垂径定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】D
【分析】根据垂径定理、圆心角、弧、弦的关系定理判断即可．
【解答】解：∵直径CD⊥AB，
∴AE＝BE，，，
∴AC＝BC，
故选项A、B、C的结论成立，
OE与CE的关系不能确定，故选项D的结论不一定成立，
故选：D．
【点评】本题考查的是垂径定理、圆心角、弧、弦的关系定理，熟记垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
6．（2025 沈阳模拟）如图，⊙O中，点A、B、C在圆上，且弧AB长等于弧AC长的2倍，则下列结论正确的是（　　）
A．AB＝2AC B．AB＞2AC
C．AB＜2AC D．以上结论都不对
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】C
【分析】取的中点H，连接AH、BH，根据圆心角、弧、弦的关系得到AH＝BH＝AC，根据三角形三边关系判断即可．
【解答】解：如图，取的中点H，连接AH、BH，
则，
∵弧AB长等于弧AC长的2倍，
∴，
∴AH＝BH＝AC，
在△ABH中，AH+BH＞AB，
∴AB＜2AC，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
7．（2024秋 石狮市校级期末）如图所示，在⊙O中，点B是弧AC的中点，若∠D＝30°，则∠BOC＝（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】D
【分析】直接根据圆周角定理求解即可．
【解答】解：∵点B是弧AC的中点，∠D＝30°，
∴，
∴∠BOC＝2∠D＝60°．
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟知同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 江苏校级期中）如图，A、B、C、D在⊙O上，AB＝BC＝DA，AD、BC的延长线交于点P，且∠P＝40°，则弧CD的度数为 　30°　 ．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接BD，根据AB＝BC＝DA得到，得到∠ABD＝∠ADB＝∠BAC，根据三角形的内角和列式计算即可．
【解答】解：连接BD、AC，
∵AB＝BC＝AD，
∴，
∴∠ABD＝∠ADB＝∠BAC，
∵∠ADB＝∠DBP+∠P＝∠DBP+40°，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠DBP+40°+∠DBP+∠DBP+40°+∠DBP+40°＝180°，
解得，∠DBP＝15°．
∴的度数为30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
9．（2025 凉州区三模）如图，点C，D在以AB为直径的半圆O上，且OD∥BC，若的度数为43°，则的度数为　94　 °．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；垂径定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】94．
【分析】连接OC，根据平行线的性质求出∠ABC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠BOC的度数，得到的度数
【解答】解：如图，连接OC，
∵的度数为43°，
∴∠AOD＝43°，
∵OD∥BC，
∴∠ABC＝∠AOD＝43°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠ABC＝43°，
∴∠BOC＝180°﹣43°﹣43°＝94°，
∴的度数为94°，
故答案为：94．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系是解题的关键．
10．（2025 桑植县三模）如图，已知AB是⊙O的直径，，∠BOC＝42°，那么弧AE度数等于 　54°　 ．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】54°．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得到∠COD＝∠DOE＝∠BOC＝42°，再利用平角的定义得到∠AOE的度数，然后根据弧的度数等于它所对的圆心角的度数求解．
【解答】解：∵，∠BOC＝42°，
∴∠BOE＝3∠BOC＝126°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝54°．
故答案为：54°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
11．（2025 泌阳县一模）如图，在半径为10的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为　6　 ．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；勾股定理；垂径定理．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】．
【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，根据垂径定理可得BM＝DN＝8，再根据勾股定理可得OM＝ON＝6，再证明四边形MONP是正方形，则MP＝OM＝6，根据勾股定理即可求出OP的长．
【解答】解：作OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为M、N，连接OP，OB，OD，
∵AB＝CD＝16，
∴BMAB＝8，DNCD＝8，
∴，
∵AB⊥CD，
∴∠DPB＝90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°，
∴四边形MONP是矩形，
∵OM＝ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴MP＝OM＝6，
∴．
故选：B．
【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理和正方形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
12．（2025春 新吴区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，∠E＝35°，则∠BOD＝　110°　 ．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】110°．
【分析】依据题意，由圆周角定理得到∠AOD＝2∠E＝70°，由邻补角的性质求出∠BOD＝180°﹣70°＝110°．
【解答】解：∵∠E＝35°，
∴∠AOD＝2∠E＝70°，
∴∠BOD＝180°﹣70°＝110°．
故答案为：110°．
【点评】本题主要考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出∠AOD＝2∠E．
三．解答题（共2小题）
13．（2025春 青浦区期末）右图是我区某一路口“右转危险区”的示意图，经过测量后内轮转弯半径O1A＝O1D＝10米，前内轮转弯半径O2B＝O2C＝4米，圆心角∠DO1A＝∠CO2B＝90°，求此“右转危险区”的面积和周长．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】周长为（7π+12）米，面积为（84﹣21π）平方米．
【分析】根据“右转危险区”的周长的长+CD+AB的长．“右转危险区”的面积＝六边形O1DCO2BA的面积，求解即可．
【解答】解：由题意可知，AB＝CD＝10﹣4＝6米，
“右转危险区”的周长CD6+6（7π+12）米，
“右转危险区”的面积＝六边形O1DCO2BA的面积平方米．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及视点，视角和盲区，扇形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14．（2025 雷州市校级三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，F是上一点，C是的中点，AC与DF交于点G，连接EG．
（1）如图1，求证：CD＝2EG．
（2）如图2，若DF是直径且DF＝8，求EG的长．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；勾股定理；垂径定理．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）先求得，可得∠BAC＝∠CDF，再证得∠AEC＝90°，CE＝DE，在△ACE和△CDG中，∠ACE＝∠DCG，∠CAE＝∠CDG，可得∠CGD＝∠AEC＝90°，从而得出，即可求证；
（2）先求得，再求得，证明△AOF是等边三角形，再由AG⊥OF，可得，再由勾股定理求得，再证明△ACE是直角三角形，再求解即可．
【解答】（1）证明：∵C是的中点，
∴，
∴∠BAC＝∠CDF，
∵CD⊥AB，AB是直径，
∴∠AEC＝90°，CE＝DE，
∴∠ACE＝∠DCG，∠CAE＝∠CDG，
∴∠CGD＝∠AEC＝90°，
∴，
∴CD＝2EG；
（2）解：∵DF是直径，由（1）知DF⊥AC，
∴，
又∵，
∴，
又∵OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
又∵AG⊥OF，DF＝8，
∴，
∴，
∵DF是⊙O的直径，AC⊥DF，
∴CG＝AG，
∵CD⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
又∵G是AC的中点，
∴．
【点评】本题是圆心角、弧、弦的关系，勾股定理及垂径定理，熟知以上知识是解题的关键．
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