24.1.4 圆周角 同步练习（含解析）2025-2026学年人教版数学九年级上册

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24.1.4 圆周角
一．选择题（共7小题）
1．（2025 渝中区校级模拟）如图，△ABC的顶点在⊙O上，AB是直径，点D在⊙O上，∠BAD＝48°，则∠ACD的度数是（　　）
A．52° B．48° C．42° D．38°
2．（2025 蓝田县三模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，BE＝1，CD的长为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025 二七区模拟）如图，点A，B，C在⊙O上，OA⊥BC，若∠ABC＝35°，则∠BCO的度数为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
4．（2025 长沙模拟）如图，已知点A，B，C，D在圆O上，OA⊥BC，∠AOB＝60°，则∠ADC的度数为（　　）
A．20° B．30° C．45° D．60°
5．（2025 双柏县模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB，连接OD，若∠CAB＝25°，则∠BOD的度数是（　　）
A．25° B．30° C．40° D．50°
6．（2025 长春模拟）如图，CD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，且AD∥OB．若∠BAD＝110°，则∠D的度数为（　　）
A．45° B．40° C．35° D．30°
7．（2025 斗门区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，连接AC，CD，AD，若∠ADC＝75°，则∠BAC的度数是（　　）
A．15° B．25° C．30° D．75°
二．填空题（共5小题）
8．（2025 港北区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝40°，则∠BCD的度数为 　 　 ．
9．（2025春 渭滨区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠BCD＝100°，则∠AED的度数为　 　 ．
10．（2025 金坛区一模）如图，AB是⊙O的直径，位于AB两侧的点C、D均在⊙O上．若∠ADC＝75°，则∠BOC＝ 　 　 ．
11．（2025 深圳校级一模）如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠E＝40°，∠ADC＝85°，那么∠A的度数为 　 　 ．
12．（2025 越秀区校级开学）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为直径CD延长线上一点，∠ADE＝110°，则∠ABC＝　 　 °．
三．解答题（共2小题）
13．（2025 凉州区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，点B是劣弧CD的中点．
（1）求证：AC＝AD；
（2）若∠CAD＝60°，⊙O的半径为1，求弦CD的长．
14．（2025 宝鸡三模）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O，交BC于点E，延长CA交⊙O于点D，连接DE交AB于点G，CE＝BE．
（1）求证：DE＝CE；
（2）点F是AB上一点，连接DF，∠ADF＝75°，∠BAC＝120°，，求BF的长．
24.1.4 圆周角
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 渝中区校级模拟）如图，△ABC的顶点在⊙O上，AB是直径，点D在⊙O上，∠BAD＝48°，则∠ACD的度数是（　　）
A．52° B．48° C．42° D．38°
【考点】圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】C
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得：∠ACB＝90°，然后利用同弧所对的圆周角相等可得：∠BAD＝∠BCD＝48°，从而进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAD＝48°，
∴∠BAD＝∠BCD＝48°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝42°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．
2．（2025 蓝田县三模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，BE＝1，CD的长为（　　）
A． B． C． D．
【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】B
【分析】根据圆周角定理得∠BOC＝2∠A＝45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE＝DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE＝OE，再由BE＝1，可设CE＝OE＝x，则OC＝x+1，再由勾股定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠A＝22.5°，
∴∠BOC＝2∠A＝45°，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，
∵BE＝1，
∴设CE＝OE＝x，则OC＝x+1，
∵CE2+OE2＝OC2，即x2+x2＝（x+1）2，
解得x＝1（负值舍去），
∴CD＝2x＝22．
故选：B．
【点评】本题考查的是圆周角定理，垂径定理及勾股定理，熟知以上知识是解题的关键．
3．（2025 二七区模拟）如图，点A，B，C在⊙O上，OA⊥BC，若∠ABC＝35°，则∠BCO的度数为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【考点】圆周角定理；直角三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】C
【分析】根据圆周角定理得∠AOC的度数，再由直角三角形中两锐角互余即可求解．
【解答】解：∵∠ABC＝35°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝70°；
∵OA⊥BC，
∴∠BCO＝90°﹣∠AOC＝20°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系，熟知以上知识是解题的关键．
4．（2025 长沙模拟）如图，已知点A，B，C，D在圆O上，OA⊥BC，∠AOB＝60°，则∠ADC的度数为（　　）
A．20° B．30° C．45° D．60°
【考点】圆内接四边形的性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】连接BD，根据圆周角定理得∠ADB＝30°，根据垂径定理得弧AB＝弧AC，进而得∠ADC＝∠ADB＝30°，由此可得出答案．
【解答】解：连接BD，如图所示：
∵∠AOB＝60°，
∴∠ADB∠AOB＝30°，
∵点O是⊙O的圆心，OA⊥BC，
∴，
∴∠ADC＝∠ADB＝30°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，垂径定理是解决问题的关键．
5．（2025 双柏县模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB，连接OD，若∠CAB＝25°，则∠BOD的度数是（　　）
A．25° B．30° C．40° D．50°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】D
【分析】根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据直角三角形的性质推出∠B＝65°，进而求出∠BCD＝25°，根据圆周角定理求解即可．
【解答】解：解法一：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∵∠CAB＝25°，
∴∠B＝65°，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∵∠B＝65°，
∴∠BCD＝25°，
∴∠BOD＝2∠BCD＝50°；
解法二：如图，连接OC，
∵∠CAB＝25°，∠BOC＝2∠CAB，
∴∠BOC＝50°，
∵CD⊥AB，
∴，
∴∠BOD＝∠BOC＝50°，
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
6．（2025 长春模拟）如图，CD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，且AD∥OB．若∠BAD＝110°，则∠D的度数为（　　）
A．45° B．40° C．35° D．30°
【考点】圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观；运算能力．
【答案】B
【分析】根据圆的内接四边形求出∠C，根据等腰三角形的角关系求出∠BOC，再根据平行即可求出∠D．
【解答】解：如图，连接BC，
∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，且∠BAD＝110°，
∴∠C＝70°，
∵OB＝OC，
∴∠BOC＝180°﹣2×70°＝40°，
∵AD∥OB，
∴∠D＝∠BOC＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆的内接四边形的性质、平行线的性质的应用，正确的辅助线是解题关键．
7．（2025 斗门区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，连接AC，CD，AD，若∠ADC＝75°，则∠BAC的度数是（　　）
A．15° B．25° C．30° D．75°
【考点】圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】连接BC，根据圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝∠ADC＝75°，
∴∠BAC＝90°﹣75°＝15°，
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2025 港北区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝40°，则∠BCD的度数为 　130°　 ．
【考点】圆周角定理．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】130°．
【分析】连接AC，如图，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠ACD＝40°，然后计算∠ACB+∠ACD计算．
【解答】解：连接AC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACD＝∠AED＝40°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+40°＝130°．
故答案为：130°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
9．（2025春 渭滨区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠BCD＝100°，则∠AED的度数为　10°　 ．
【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】10°．
【分析】连接BE，根据直径所对的圆周角是直角可得：∠AEB＝90°，然后根据圆内接四边形对角互补可得∠DEB＝80°，从而进行计算即可解答．
【解答】解：连接BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵四边形DCBE是⊙O的内接四边形，
∴∠DEB＝180°﹣∠DCB＝80°，
∴∠AED＝∠AEB﹣∠DEB＝10°，
故答案为：10°．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10．（2025 金坛区一模）如图，AB是⊙O的直径，位于AB两侧的点C、D均在⊙O上．若∠ADC＝75°，则∠BOC＝ 　30°　 ．
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】30°．
【分析】先根据圆周角定理求出∠AOC的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵∠ADC＝75°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝150°，
∴∠BOC＝180°﹣150°＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查的是圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
11．（2025 深圳校级一模）如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠E＝40°，∠ADC＝85°，那么∠A的度数为 　45°　 ．
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】45°．
【分析】先根据三角形的外角性质求出∠ECD，再根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵∠ADC是△ECD的外角，
∴∠ADC＝∠E+∠ECD，
∵∠E＝40°，∠ADC＝85°，
∴∠ECD＝85°﹣40°＝45°，
∴∠BCD＝180°﹣∠ECD＝135°，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠A＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、三角形的外角性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
12．（2025 越秀区校级开学）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为直径CD延长线上一点，∠ADE＝110°，则∠ABC＝　110　 °．
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】110．
【分析】根据邻补角的定义求出∠ADC，再根据圆内接四边形的性质计算即可．
【解答】解：∵∠ADE＝110°，
∴∠ADC＝180°﹣110°＝70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣70°＝110°，
故答案为：110．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
三．解答题（共2小题）
13．（2025 凉州区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，点B是劣弧CD的中点．
（1）求证：AC＝AD；
（2）若∠CAD＝60°，⊙O的半径为1，求弦CD的长．
【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）根据垂径定理可得答案；
（2）先求出∠OCE＝30°，再求出，最后根据勾股定理可得答案．
【解答】（1）证明：∵点B是劣弧CD的中点，AB是⊙O的直径，
∴CE＝ED，AB⊥CD，
∴AC＝AD；
（2）解：如图，连接OC，
∵AC＝AD，AE⊥CD，∠CAD＝60°，
∴，∠ACD＝60°，
∵AO＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴∠OCE＝30°，
∵CO＝1，
∴，，
∴．
【点评】本题考查了垂径定理，垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是求出∠OCE＝30°．
14．（2025 宝鸡三模）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O，交BC于点E，延长CA交⊙O于点D，连接DE交AB于点G，CE＝BE．
（1）求证：DE＝CE；
（2）点F是AB上一点，连接DF，∠ADF＝75°，∠BAC＝120°，，求BF的长．
【考点】圆周角定理；垂径定理．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】（1）见解析
（2）
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到AE⊥BC，再证明△EDC等腰即可；
（2）由，求出DE的长，由垂径定理得到DG＝EG，根据∠B＝∠ADG＝30°，结合三角函数求出AG的长，进而求解．
【解答】（1）证明：如图，连接AE，
∵AB是⊙O的直径，延长CA交⊙O于点D，连接DE交AB于点G，CE＝BE．
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵∠B＝∠EDC，
∴∠C＝∠EDC，
∴DE＝CE；
（2）解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠DAG＝60°，∠B＝∠C＝30°，
∴∠EDC＝∠C＝30°，
∴∠DGA＝180°﹣∠DAG﹣∠EDC＝90°，∠FDG＝∠ADF﹣∠EDC＝45°，
∴∠DFG＝∠FDG＝45°，
∴DG＝FG．
∵，
∴．
∵∠DGA＝90°，即AB⊥DE，
∴，
∴，
∵∠B＝30°，∠AEB＝90°，
∴．
在Rt△ADG中，
∠ADG＝30°，∠AGD＝90°，
∴AG＝DG tan30°＝1，
∴．
【点评】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、垂径定理、三角函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
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