5.6函数y=Asin(ωx+φ) 课件 (共48张PPT) 2025-2026学年高中数学人教A版必修第一册

(共48张PPT)
5.6 函数y=Asin（ωx+φ ）
数学
学习目标
1.了解参数的变化对函数图象的影响;
2.掌握 y=sin x与 y=Asin(ωx+φ)图象之间的变换关系,并能正确地指出其变换步骤;
3.能根据 y=Asin(ωx+φ)的部分图象,确定其解析式.
单位圆上的点，以（1，0）为起点，以单位速度按逆时针方向运动，其运动规律可用三角函数加以刻画.
对于一个一般的匀速圆周运动可以用怎样的数学模型刻画呢？下面先看一个实际问题.
问题 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.
明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了简车的工作原理.
假定在水流量稳定的情况下，简车上的每一个盛水简都做匀速圆周运动，你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒（视为质点）距离水面的相对高度与时间的关系吗？
因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画它的运动规律.
图5.6-2
图5.6-1
不难分析，高度H由以下量所决定：
简车转轮的中心O到水面的距离h，
简车的半径r，简车转动的角速度ω，
盛水筒的初始位置P0以及所经过的时间t.
图5.6-1
思考：如果将筒车抽象为圆，盛水筒抽象为圆上的点，经过时间t s后，盛水筒距离水面的高度H与哪些量有关？
它们之间有怎样的关系呢？
图5.6-3
图5.6-3
图5.6-3
2 .函数y=Asin(ωx +φ)的图像
从解析式看，函数y=sin x就是函数 y=Asin(ωx +φ)
在A=1，ω=1，φ=0 时的特殊情形.
（1）能否借助我们熟悉的函数y=sinx的图象与性质研究参数A，ω，φ对函数y=Asin(ωx +φ)的影响？
（2）函数y=Asin(ωx +φ)含有三个参数，你认为应按怎样的思路进行研究？
从简单到复杂
从特殊到一般
研究思路：
固定其中两个参数，分别研究 这三个参数对函数的影响，然后再综合考虑逐次递进的研究顺序，并采取特殊到一般的研究策略.
3.探索对φ对y=Asin(ωx +φ)图象的影响
采取特殊到一般的研究策略
将点 绕 旋转角 后达到
.
3.探索对φ对y=Asin(ωx +φ)图象的影响
图象的变换本质上是点的变换，你能否从坐标角度来解释这种变换吗？
图象向左平移 个单位
在单位圆上，设两个动点分别以 为起点同时开始运动，到达圆周上同一点P的时间差为 .
3.探索对φ对y=Asin(ωx +φ)图象的影响
4. φ对y=Asin(ωx +φ)图象的影响归纳总结
左加右减
B
大缩小伸
一般地，函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象，可以用下面的方法得到：
①先画出函数y=sin x的图象；
②再把正弦曲线向左（或右）平移|φ|个单位长度，得到函数y=sin(x+φ) 的图象；
③然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(ωx+φ)的图象；
④最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变），这时的曲线就是函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
总结提升
课本P236
先画出函数y＝sin x的图象；
再把正弦曲线上所有点向右平移 个长度单位得到 的图象；
然后把曲线上各点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变）得到
的图象；
最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），
例1　画出函数 的简图．
这时的曲线就是函数 的图象．如图．
例1　画出函数 的简图．
追问　我们已经知道了该函数的图象的整体样貌．回想正弦函数简图的画法，你能用五点法画出这个函数的图象吗？
五点作图法的步骤：
第一步，用列表、描点的方法，先画出函数在一个周期内的图象．
追问　我们已经知道了该函数的图象的整体样貌．回想正弦函数简图的画法，你能用五点法画出这个函数的图象吗？
列表：
X 0 π 2π
x
y 0 2 0 －2 0
追问　我们已经知道了该函数的图象的整体样貌．回想正弦函数简图的画法，你能用五点法画出这个函数的图象吗？
描点画图：
第二步，将函数在一个周期内的图象拓展在整个定义域内．
例2　如图，摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距地面高度为120 m，转盘直径为110 m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30 min．
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后离地面的高度为H m，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
（2）求游客甲在开始转动5 min后离地面的高度；
（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差的最大值（精确到0.1）．
追问1　你打算选择什么函数模型来刻画这个实际问题？为什么？
摩天轮上座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速旋转，在旋转过程中，游客距离地面的高度H呈现周而复始的变化，因此可以考虑用三角函数模型来刻画．
追问2　对比函数y＝Asin（ωx＋φ），如何建立H关于t的函数解析式？
解：如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系．
（1）设t＝0 min时，游客甲位于点P（0，－55），
根据摩天轮转一周大约需要30 min，
以OP为终边的角为 ；
可知座舱转动的角速度约为　 rad／min，由题意可得
（2）当t＝5时，
（3）甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则 ．
经过t min后甲距离地面的高度为 ，
点B相对于点A始终落后 rad，
此时乙距离地面的高度为 ．
当 （或 ），
即 （或22.8）时，H的最大值为 ．
和差化积公式
，
达标检测
解答：（1）
实际问题
数学问题
三角函数模型
求解三角函数问题
抽象转化
引入构建
实际问题的解
总结提升
（2）在研究函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的过程中，哪些思想方法值得总结？
问题：（1）本单元我们研究了哪一类问题？研究的路径是怎样的？
（2）首先，与二次函数类比的基础上初步形成对函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象进行研究的路径．在这个过程中，是基于特殊情况的分析，再观察多个具体值对函数图象影响的基础上概括出一般化的结论，然后从函数y＝sinx的图象经过图象变换得到函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象，得到了一般原则，体现了类比思想和由特殊到一般的数学思想．
总结提升
先平移后伸缩
先伸缩后平移
1.完成教材第240~241页习题5.6.
2.预习下节课内容.