第五章 本章小结 课件 (共54张PPT) 2025-2026学年高中数学人教A版必修第一册

(共54张PPT)
第五章三角函数
章末小结
数学
1.会用诱导公式进行化简求值.
2.理解并掌握三角函数的图象和性质,掌握数形结合思想.
3.了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的基
本思想方法,能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值.
学习目标
第五章
三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.2 三角函数的概念
5.3 诱导公式
第五章 三角函数小结
5.4 三角函数的图像与性质
5.5 三角恒等变换
5.6 函数
5.7 三角函数的应用
一、本章知识结构
任意角与弧度制，单位圆
任意角的三角函数
同角三角函数的基本关系
诱导公式
三角函数的图像和性质
周期性、
单调性、
奇偶性、
最大（小）值
简单的三角恒等变换
函数
三角函数模型的简单应用
差角余弦公式
和差角公式
倍角公式
二、知识梳理
1.角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的 旋转所成的图形.
(2)分类
按旋转方向不同分为 、 、 .
按终边位置不同分为 和轴线角.
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为 .
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
端点
正角
负角
零角
象限角
－α
二、知识梳理
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角， 弧度单位用符号rad表示.
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝ (弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝______
弧长公式 弧长l＝____
扇形面积公式 S＝ ＝_____
|α|r
半径长
二、知识梳理
3.任意角的三角函数
(1)设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ (x≠0).
(2)任意角的三角函数的定义(推广)：
(3)三角函数值在各象限内的符号：如图.
二、知识梳理
4.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系： .
(2)商数关系： .
sin2α＋cos2α＝1
二、知识梳理
5.三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α
正弦 sin α ______ ______ _____ _____ _____
余弦 cos α ______ _____ ______ _____ ______
正切 tan α _____ ______ －tan α
口诀 －sin α
－sin α
sin α
sin α
－sin α
cos α
cos α
cos α
－cos α
－cos α
tan α
－tan α
奇变偶不变，符号看象限
二、知识梳理
6.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：
， ， ， ， .
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：
， ， ， ， .
二、知识梳理
7.正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 R
周期
奇偶性
奇函数
奇函数
偶函数
二、知识梳理
7.正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
单调区间
对称中心
对称轴
二、知识梳理
8.简谐运动的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)，x≥0 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝_____ f＝ ωx＋φ φ
二、知识梳理
9.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点
x
y＝Asin(ωx＋φ)
0
π
2π
ωx＋φ
0
A
0
－A
0
二、知识梳理
10.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)
(A>0，ω>0)的图象的两种途径
|φ|
A
A
(1)公式C(α－β)：
cos(α－β)＝ ；
(2)公式S(α－β)：
sin(α－β)＝ ；
二、知识梳理
11.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos αcos β＋sin αsin β
公式C(α＋β)：
cos(α＋β)＝ ；
cos αcos β－sin αsin β
公式S(α＋β)：
sin(α＋β)＝ ；
sin αcos β＋cos αsin β
(3)公式T(α－β)：
tan(α－β)＝ ；
sin αcos β－cos αsin β
公式T(α＋β)：
tan(α＋β)＝ .
二、知识梳理
12.辅助角公式
asin α＋bcos α＝ ，其中sin φ＝ ，cos φ＝
二、知识梳理
13.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝ .
(2)公式C2α：cos 2α＝ ＝ ＝ .
(3)公式T2α：tan 2α＝ .
(1)1－cos α＝ ，1＋cos α＝ .(升幂公式)
(2)1±sin α＝ .(升幂公式)
(3)sin2α＝ ，cos2α＝ ，tan2α＝ .(降幂公式)
2sin αcos α
cos2α－sin2α
2cos2α－1
1－2sin2α
14.常用的部分三角公式
知识点1 同角三角函数基本关系和诱导公式的应用
知识点二 三角函数的图象变换问题
知识点三 三角函数的性质
知识点四 三角恒等变换的综合应用
题型1 三角函数的定义
例1
（1） 已知角 的顶点为坐标原点,始边为 轴的正半轴.若 是角 终边上一点,且 ,则 ______.

[解析] 因为 ,且 ,所以 ,所以 为第四象限角,解得 .
题型探究·悟思路
YUCI NO.1 MIDDLE SCHOOL
（2） 已知角 的终边经过点 ,其中 ,则 ______, _ _____.


[解析] 因为 ,所以 ,所以
.
故 , .
方法总结 求三角函数值的两种方法：
（1）利用单位圆求解;
（2）利用定义求解.当角 的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
题型2 同角三角函数基本关系及诱导公式
例2 已知 .
（1）化简 ;
（2）若 ,且 ,求 的值;
（3）若 ,求 的值.
[解析] （1） .
（2）由 可知, ,
又 , ,即 , .
（3） ,
.
方法总结 1.诱导公式的两个应用
（1）求值：负化正,大化小,化到锐角为终了.
（2）化简：统一角,统一名,同角名少为终了.
2.同角基本关系的应用
（1）利用 可以实现角 的正弦、余弦的互化,利用 可以实现角 的弦切互化.
（2）应用公式时要注意方程思想的应用,对于 , , ，三者之间可以知一求二.
题型3 三角函数的图象
例3（1）把函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移 个单位长度,得到函数 的图象,则 ( @7@ )
A. B. C. D.
B
[解析] 因为把函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移 个单位长度,得到函数 的图象,所以把函数 的图象向左平移 个单位长度,得到 的图象，再把图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到 的图象.故选B.
（2）已知函数 的部分图象如图所示,则 _ ______.

[解析] 由图可知, 的最小正周期 ,所以 .
因为 ,所以由“五点法”作图可得 ,解得 ,所以 ,
所以 .
方法总结 直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段,在本章中主要体现在三角函数图象的识别、变换及应用中.
题型4 三角函数的性质
例4
（1）函数 的最小正周期和最大值分别是( @11@ )
A. 和 B. 和2 C. 和 D. 和2
C
[解析] ,故函数的最小正周期为 ,函数的最大值为 .故选C.
（2） 下列区间中,函数 的单调递增区间是( @13@ )
A. B. C. D.
A
[解析] 由题意得 , ,即 , ,
当 时,函数 的单调递增区间为 .
因为 ,
所以 是函数的一个单调递增区间.
方法总结 逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.逻辑推理在本章中主要体现在三角函数的性质中.
题型5 三角函数式的化简、求值
例5
（1）若 , ,则 ( @15@ )
A. B. C. D.
A
[解析] 由题意得 ,整理得 ,即 ,解得 ,则 ,所以 .故选A.
（2）若 ,则 ( @17@ )
A. B. C. D.
C
[解析] .故选C.
方法总结 三角函数式的求值、化简的策略
（1）化弦：当三角函数式中含有正弦、余弦及正切函数时,往往把切化为弦,再化简变形.
（2）化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时,可将三角函数名称统一为正切,再化简.
（3）“1”的代换：在三角函数式中,有时会含有常数1,常数1虽然非常简单,但有些化简却需要利用公式将1代换为三角函数式.
三角函数式化简的实质是灵活地运用公式进行运算,从而得到一个便于观察和研究的结果,在这个过程中,要体现一个“活”字.当然“活”的体现涉及公式的“活”和角的“活”.
题型6 三角恒等变换与三角函数的综合问题
例6 已知函数 , .
（1）求 的最小正周期;
（2）求 在闭区间 上的最大值和最小值.
[解析] （1） ,
的最小正周期 .
（2） , ,
,
,∴函数 在闭区间 上的最大值为 ,最小值为 .
方法总结
1.三角恒等变换与三角函数的综合问题,常以三角恒等变换为主要的化简手段,考查三角函数的性质.当给出的三角函数关系式较为复杂时,我们要先通过三角恒等变换,将三角函数的表达式变形化简为 或 等形式,然后根据化简后的三角函数,讨论其图象和性质.
2.通过三角恒等变换,进而研究三角函数的性质,培养逻辑推理和数学运算素养.
题型7 函数模型及其应用
例7 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日 .历史上,求圆周率 的方法有多种,与中国传统数学中的“割圆术”相似,数学家阿尔·卡西的方法：当正整数 充分大时,计算单位圆的内接正 边形的周长和外切正 边形（各边均与圆相切的正 边形）的周长,将它们的算术平均数作为 的近似值.按照阿尔·卡西的方法, 的近似值的表达式是( @20@ )
A. B.
C. D.
A
[解析] 单位圆内接正 边形的每条边所对应的圆心角为 ,每条边长为 ,所以单位圆的内接正 边形的周长为 ,单位圆的外切正 边形的每条边长为 ,其周长为 , ,则 .故选A.
方法总结 数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.主要表现为发现和提出问题,建立和求解模型,检验和完善模型,分析和解决问题.
两角和与差的三角函数公式在三角形中的应用
在钝角三角形 中,已知 为钝角, , 都是锐角,试探究 , , 的大小,并把 , , 按从小到大的顺序排列起来.
拓展延伸·育素养
YUCI NO.1 MIDDLE SCHOOL
课堂小结
完成教材第253~255页复习参考题5
第3,4,7,11,12,13,14,15,16,17,18,20题.