浙江师范大学附属杭州笕桥实验中学2025-2026学年九年级上学期9月数学试题（含答案）

浙江师范大学附属杭州笕桥实验中学2025-2026学年
九年级上学期9月数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（每题3分，共30 分）
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列事件为必然事件的是（ ）
A．若a为实数，则 B．购买一张体育彩票，中一等奖
C．打开电视，正在播放《夺冠》 D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
3．如图，中，，，，以点C为圆心，长为半径作圆．则下列结论正确的是（ ）
A．点B在圆内 B．点B在圆上
C．点B在圆外 D．点B和圆的位置关系不确定
4．将二次函数的图象向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5．在一个不透明的盒子中装有3个红球、2个黄球和1个绿球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为（ ）
A． B． C． D．1
6．若，是抛物线上的两个点，则它的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
7．在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象过点，且与轴有两个交点，则该二次函数图象的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，关于x的二次函数y=x2﹣x+m的图象交x轴的正半轴于A，B两点，交y轴的正半轴于C点，如果x=a时，y＜0，那么关于x的一次函数y=（a﹣1）x+m的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
9．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（　　）
A．4m B．10m C．20m D．8m
10．一抛物线的形状、开口方向与y＝﹣4x+3相同，顶点在（﹣2，1），则此抛物线的解析式为（　　）
A．y＝+1 B．y＝﹣1
C．y＝ D．y＝﹣1
二、填空题（每题3分，共18分）
11．已知关于x的二次函数，则函数值y的最小值是 ．
12．近几年，二维码已经成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为 ．
13．已知抛物线，若该抛物线的开口向上，则的取值范围为 ；若抛物线经过原点，则 ．
14．如图，已知 ， 则 ．
15．已知抛物线，经过四点，则与的大小关系是 （填“＞”、“＜”或“＝”）．
16．抛物线，它的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口向 ．当 时，随的增大而增大；当 时，有最 值，其值为 ．
三、解答题（52分）
17．（6分）为了备战初三物理、化学实验操作考试，某校对初三学生进行了模拟训练，物理、化学各有4个不同的操作实验题目，物理用番号①、②、③、④代表，化学用字母a、b、c、d表示，测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目．
(1)请用树形图法或列表法，表示某个同学抽签的各种可能情况．
(2)小张同学对物理的①、②和化学的b、c号实验准备得较好，他同时抽到两科都准备的较好的实验题目的概率是多少？
18．（8分）某中学举行秋季校运动会．如图1，跑道内圈是由长为87米的两条直道和半径为36米的两条半圆弧跑道组成．内道第1跑道长：．跑道分为8道，每条跑道宽1.2米．（注：跑道的长度近似于该跑道的内侧线的长度）
(1)400米分跑道划线时，终点线设置在分界线处（如图1和图2）．为消除跑外圈与跑内圈的差距，起跑时让运动员处于不同的起跑线上（如图中A，C，E，…），那么各外圈跑道起跑线较相邻内圈跑道起跑线依次应向前延伸多少米？（结果保留π）
(2)米接力赛的第三接力区一般都在弯道上，画接力区线的方法通常用固定基准点放射式丈量法，此方法需要用到圆心角的相关量（如图1和图3）．已知第六跑道内侧线米，试计算的大小（结果保留π）．
19．（8分）在平面直角坐标系中，抛物线（和均为常数）与轴交于点，与轴的交点的横坐标为．当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若，求证：．
20．（8分）如图，抛物线y1＝－x2＋3与x轴交于A、B两点，与直线y2＝－x＋b相交于B、C两点．
（1）求直线BC的解析式和点C的坐标；
（2）若对于相同的x，两个函数的函数值满足y1≥y2，则自变量x的取值范围是 　　　 ．
21．（8分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
(1)求的值以及抛物线的对称轴；
(2)将该抛物线向右平移个单位后得到新抛物线，如果新抛物线经过原点，求的值．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格边长为1个单位长度，ABC在平面直角坐标系中如图所示．
（1）将ABC绕原点O逆时针旋转90°，画出对应的A1B1C1，并写出C1点的坐标；
（2）若抛物线经过A、B、C三点，求出该函数图像的解析式．
23．（12分）如图，抛物线交轴于点和点，与轴交于点，连接，交对称轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线上方的抛物线上一点，连接，，求面积的最大值以及此时点的坐标；
(3)将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，点是新抛物线的对称轴上的一点，点是坐标平面内任意一点．当以四点为顶点的四边形是菱形时，且为菱形的边时，求点的坐标．
试卷第6页，共7页
试卷第7页，共7页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A C B C C A C C
11．5
12．
13．
14．45°
15．＜
16． 直线 下 大
17．
（1）解：画树状图如下：

（2）解：由树状图可知，一共有16种等可能性的结果数，其中小张同时抽到两科都准备的较好的实验题目的有①b，①c，②b，②c共4种情况，
∴他同时抽到两科都准备的较好的实验题目的概率是．
18．(1)
(2)
（1）解：设第n条圆弧形跑道内侧的半径为，
；
（2）解：第6跑道内侧半径为，
．
19．
（1）解：∵抛物线，
当时，y随x的增大而增大，
当时，y随x的增大而减小，
∴抛物线的对称轴为，即，
∵与轴交于点，
∴，
即，解得，，
∴抛物线的解析式为；
（2）证明：由（1）可得，抛物线的解析式为，
∵抛物线与轴的交点的横坐标为m，
∴，即，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，，当时，，
∵当时，随的增大而减小，
∴，则，
∴，即．
20．（1），；．
（1）令y=0，则，解得x1=-2，x2=2，∴点B的坐标为（2，0），
∴，解得b=6，
∴直线BC的解析式为.
由得，解得（舍去），
∴点C的坐标为.
（2）．
考点：1.二次函数与不等式（组）；2.待定系数法求一次函数解析式；3.抛物线与x轴的交点．
21．初步探究：，-2；深入思考：（1），；（2）；（3）
解：初步探究：，，
故答案为：，-2；
深入思考：（1）
=
故答案为：，；
（2）由（1）的计算可得：
故答案为：；
（3）
=
=
=
=
22．(1)，直线
(2)1或3
（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为：，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：将抛物线向右平移n个单位后得到新抛物线为，
∵新抛物线经过原点，
∴，
解得或1．
23．（1）点的坐标为（1，2），画图见解析；（2）抛物线的解析式为
解：（1）如图所示，即为所求，
∵C点的坐标为（2，-1），
∴将C点绕原点逆时针旋转90°得到的点的坐标为（1，2）；
（2）设抛物线的解析式为，
由题意得：A（-1，-4），B（1，-4），C（2，-1），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为．
24．(1)抛物线的解析式为；
(2)当时，的最大值为，此时；
(3)点坐标为或或 或．
（1）解：将点和点代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：令，则，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得： ，
∴直线的解析式为，
∵函数的对称轴为直线，
∴，
过点作轴的垂线，交于点，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，的最大值为，此时；
（3）解：由题意向右平移个单位得到新抛物线为，
联立，
解得，
∴，
∵新抛物线的对称轴为直线，
设，
则，，，
∵以四点为顶点的四边形是菱形时，有三种情况：
当为邻边, 此时，
∴，
解得，
∴，
当为邻边，此时，
，
解得或，
∴或 ，
设直线的解析式为，
，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴；
当为邻边，此时，
∴，
解得或，
∴或；
综上所述：点坐标为或或或．
答案第6页，共7页
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