2025-2026学年四川省巴中市南江实验中学九年级（上）入学数学试卷（含答案）

2025-2026学年四川省巴中市南江实验中学九年级（上）入学数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.已知a＞b,下列不等式中，一定正确的是（　　）
A. a-8＞b-8 B. a-3＞b+3 C. -6a＞-6b D. a2＞b2
3.若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A. x=0 B. x≥1 C. x＞1 D. x≠0且x≠1
4.等腰三角形一边长12cm,另一边长5cm,它第三边长可以是（　　）
A. 5或12cm B. 12cm C. 7cm D. 5cm
5.如图，在△ABC中，∠BAC=50°，将△ABC绕点C逆时针旋转30°得到△DEC，连接AD，则∠BAD的度数为（　　）
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 45°
6.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（　　）边形．
A. 三 B. 四 C. 五 D. 六
7.关于x的分式方程=有正整数解，则整数a的值为（　　）
A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 2
8.如图，等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠1+∠2的度数是（　　）
A. 45°
B. 55°
C. 60°
D. 75°
9.如图，直线y=kx+b与y=mx+n分别交x轴于点A（-1，0），B（3，0），则不等式（kx+b）（mx+n）＜0的解集为（　　）
A. x＜-1
B. x＞3
C. -1＜x＜3
D. x＜-1或x＞3
10.岩石会“说话”，山川有“韵律”，大自然中蕴涵着无尽的秘密，吸引着热爱研学的重庆一中的师生们走进其中一探究竟.甲、乙两同学分别从距离活动地点12千米和5千米的两地同时出发参加活动，甲同学的速度是乙同学速度的1.5倍，乙同学比甲同学提前4分钟达到活动地点.若假设乙同学的速度是x千米/小时，则下列方程正确的是（　　）
A. B. C. D.
11.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线和∠CDA的平分线交于BC上一点E，若AB=3，AE=2，则DE的长为（　　）
A. B. C. 5 D. 6
12.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，AD与CE交于点F.则下列说法正确的个数为（　　）
①∠AFC=120°；②S△ABD=S△ADC；③若CE⊥AB，则AB=2AE；④CD+AE=AC.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
13.因式分解：3x2-27=______．
14.已知-=5，则的值是______．
15.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交AC于点D，连接BD，若△BCD的周长为10，则△ABC的面积为 .
16.若关于x的方程无解，则m的值是 .
17.若关于x的不等式组有解且至多3个整数解，关于y的分式方程的解为整数，那么符合条件的所有整数a的和为______.
三、解答题：本题共9小题，共87分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题7分)
解分式方程：．
19.(本小题10分)
解不等式组：.
20.(本小题10分)
先化简：，再对x取一个你喜欢的数代入求值.
21.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，已知A（-5，1），B（-3，4），C（-1，2）.
（1）将△ABC先向右平移5个单位再向下平移2个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，写出点A1的坐标为______；
（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A2B2C2；写出点A2的坐标为______.
（提示：作图时，先用2B铅笔作图，确定不再修改后用中性笔描黑）
22.(本小题10分)
如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线.求证：
（1）DF∥AC；
（2）∠EAC=∠B.
23.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，过点C作CF∥BD交BE的延长线于F，连接DF交AC于点G，连接CF.
（1）求证：四边形DBCF是平行四边形；
（2）若∠A=30°，，CF=6，求AD的长.
24.(本小题10分)
如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD=BC．分别以B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M．画射线AM交BC于E，连接DE．
（1）求证：四边形ABED为菱形；
（2）连接BD，当CE=5时，求BD的长．
25.(本小题10分)
今年荆州马拉松比赛召开前，某体育用品专卖店抓住商机，计划购进A，B两种跑鞋共80双进行销售.已知9000元全部购进B种跑鞋数量是全部购进A种跑鞋数量的1.5倍，A种跑鞋的进价比B种跑鞋的进价每双多150元，A，B两种跑鞋的售价分别是每双550元，500元.
（1）求A，B两种跑鞋的进价分别是多少元？
（2）该体育用品专卖店根据以往销售经验，决定购进A种跑鞋的数量不多于B种跑鞋的，销售时对B种跑鞋每双降价25%出售.若这批跑鞋能全部售完，则如何购货才能获利最大？最大利润是多少？
26.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，AC=，AD=1.
（1）求线段BE的长；
（2）如图2，连接DE，把线段DE绕点E逆时针旋转90°到FE，连接DF，取线段DF的中点G，连接BG，请判断线段AC与BG的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，点P是线段CD上一点，把线段PB绕点B逆时针旋转45°得到MB，连接DM，请直接写出线段DM的最小值.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】B
12.【答案】C
13.【答案】3（x+3）（x-3）
14.【答案】1
15.【答案】8
16.【答案】2
17.【答案】22
18.【答案】解：原方程可化为：-3+2（x-4）=1-x,
去括号得：-3+2x-8=1-x
移项得：2x+x=1+3+8
解得：x=4，
把x=4代入x-4得，4-4=0，
故x=4是原分式方程的增根，原方程无解．
19.【答案】-2＜x≤1．
20.【答案】；当x=-1时，值为（答案不唯一）．
21.【答案】（0，-1） （-1，-5）
22.【答案】∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF=DF，AQ=DQ，
在△AFQ和△DFQ中，
，
∴△AFQ≌△DFQ（SSS），
∴∠BAD=∠ADF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠ADF=∠CAD，
∴DF∥AC；
∵ EF是AD的垂直平分线，
∴EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA，
∵∠EAD=∠CAD+∠EAC，∠EDA=∠BAD+∠B，
∴∠CAD+∠EAC=∠BAD+∠B，
∵∠BAD=∠CAD，
∴∠EAC=∠B
23.【答案】见解析；
2．
24.【答案】证明：（1）连接BD，
根据题意得出AM为BD的线段垂直平分线，
即BD⊥AE，
∵AD∥BC，AB=AD=CD=BC，
∴∠ADB=∠DBE，∠ABD=∠ADB，
∴∠ABD=∠DBE，
∵BD⊥AE，
∴AB=BE，
∴AD=BE，
∵AD∥BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵AE⊥BD，
∴平行四边形ABED是菱形；
（2）∵AB=AD=CD=BC，BE=AD，
∴E是BC的中点，
∵DE=BE=CE=CD=5，
∴△BDC是含30°的直角三角形，
∴BD=CD=5．
25.【答案】解：（1）设每双A种跑鞋的进价是x元，则每双B种跑鞋的进价是（x-150）元．
根据题意，得=1.5×，
解得x=450，
经检验，x=450是所列分式方程的根，
450-150=300（元），
∴每双A种跑鞋的进价是450元，每双B种跑鞋的进价是300元．
（2）设购进A种跑鞋a双，则购进B种跑鞋（80-a）双．
根据题意，得a≤（80-a），
解得a≤32．
设这批跑鞋全部售完获利W元，则W=（550-450）a+[500×（1-25%）-300]（80-a）=25a+6000，
∵25＞0，
∴W随a的增大而增大，
∵a≤32，
∴当a=32时，W值最大，W最大=25×32+6000=6800，此时购进B种跑鞋80-32=48（双），
∴购进A种跑鞋32双、B种跑鞋48双才能获利最大，最大利润是6800元．
26.【答案】解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴CD===2，
∵∠ABC=45°，
∴∠DCB=90°-∠ABC=90°-45°=45°，
∴BD=CD=2，
∴AB=AD+BD=1+2=3，
∵AE⊥BC，∠ABC=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE=AE==，
∴线段BE的长为；
（2）AC=2BG，理由如下：
连接BF，如图：
∵把线段DE绕点E逆时针旋转90°到FE，
∴DE=FE，∠DEF=90°=∠AEB，
∴∠AED=∠BEF，
∵AE=BE，
∴△AED≌△BEF（SAS），
∴∠EAD=∠EBF，AD=BF，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴∠EAD=45°=∠EBA，
∴∠EBF=45°，
∴∠DBF=∠EBA+∠EBF=90°，
∵G为DF的中点，
∴DF=2BG，
∵BD=CD，∠DBF=∠CDA=90°，BF=AD，
∴△DBF≌△CDA（SAS），
∴DF=AC，
∴AC=2BG；
（3）取BC中点H，连接DH，PH，如图：
∵∠CBD=90°，BD=CD=2，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∵H是BC中点，
∴DH=BH=CH=BC=1，∠DBH=45°，
∵把线段PB绕点B逆时针旋转45°得到MB，
∴∠PBM=45°，PB=MB，
∴∠PBM=∠DBH=45°，
∴∠DBM=∠HBP，
∴△DBM≌△HBP，
∴DM=PH，
∴当PH最小时，DM最小，此时PH⊥CD，如图：
∴PH∥BD，
∵H为BC中点，
∴PH是△BCD的中位线，
∴PH=BD=1，
∴DM的最小值为1．
第2页，共2页