2025-2026学年山东省济南市市中区育英中学九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2025-2026学年山东省济南市市中区育英中学九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各组的四条线段是成比例线段的是（　　）
A. a=4，b=6，c=5，d=10 B. a=1，b=2，c=3，d=4
C. a=，b=3，c=2，d= D. a=2，b=，c=2，d=
2.若ac=bd（ac≠0），则下列各式一定成立的是（　　）
A. B. C. D.
3.在比例尺为1：500000的交通地图上，阜宁到盐城的长度约为11.7cm，则它的实际长度约为（　　）
A. 0.585 km B. 5.85 km C. 58.5 km D. 585 km
4.如图所示，在△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，AE=2ED，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（　　）
A.
B.
C.
D.
6.如图，取一张长为a、宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（　　）
A. B. a=2b C. D.
7.如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　　）
A. B. C. D.
8.如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E=60°，若CG=6，AH=14，则菱形ABCD的边长为（　　）
A. 18
B. 16
C. 18
D. 16
9.如图，在△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP AB；④AB CP=AP CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是（　　）
A. ①②④
B. ①③④
C. ②③④
D. ①②③
10.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AC于点E.若CE=3AE=6，则边AD的长是（　　）
A.
B.
C.
D. 6
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
11.已知==（b+d≠0），则=______．
12.如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，α= ______.
13.如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为______．
14.如图，AD是△ABC的中线，点E是线段AD上的一点，且AE=AD，CE交AB于点F．若AF=2cm，则AB=______cm．
15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，棱长为1的立方体展开图有两边分别在AC、BC上，有两个顶点在斜边AB上，则△ABC的面积为______.
16.如图把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，若AB=10，三角形移动的距离AA′是 .
17.如图，点E是菱形ABCD的边AD的中点，点F是AB上的一点，点G是BC上的一点，先以CE为对称轴将△CDE折叠，使点D落在CF上的点D′处，再以EF为对称轴折叠△AEF，使得点A的对应点A′与点D′重合，以FG为对称轴折叠△BFG，使得点B的对应点B′落在CF上.若∠A=60°，FG=2，则CE的值为______.
三、解答题：本题共8小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
如图，BD=7，AD=3，AE=5，AC=6，DE=4，求BC的长.
19.(本小题8分)
如图，△ABC与△ADB中，∠ABC=∠ADB=90°，∠C=∠ABD，AC=5cm,AB=4cm,求AD的长.
20.(本小题8分)
如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AD：BD=3：2，FC=2，AC=6，求DE和CE的长.
21.(本小题8分)
ABCD中，AE：EB=2：3，DE交AC于F.
（1）求证：△AEF∽△CDF；
（2）AF=6，求AC.
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为x s.
（1）当PQ∥BC时，求x的值．
（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．
23.(本小题8分)
在△ABC中，，∠B=45°，以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE，点D在BC上，点E在AC上，若CE=4，求CD的长.
24.(本小题8分)
（1）如图1，E，F分别为正方形CD边和BC边上的点，连接AE、DF，且AE⊥DF，则=______.
（2）如图2，矩形ABCD中，点E，F分别在边AB、CD上，连接BD、EF，且BD⊥EF，AB=3，BD=5.求.
25.(本小题13分)
【问题背景】如图，等腰△ABC中，，点D为AC的中点，过点D作DE∥AB，交BC于E，将△CDE绕点C顺时针旋转α，连结BE，AD，如图①.
【基本感受】
（1）当k=1时，判断AD与BE的数量关系，并说明理由；
【深入研究】
（2）当时，如图②，AD与BE满足怎样的数量关系？请给出证明；
（3）在（2）的条件下，若AB=6，在旋转过程中，当A、D、E三点共线时，求△ABE的面积.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】83°
13.【答案】
14.【答案】10
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】8．
19.【答案】解：∵△ABC与△ADB中，∠ABC=∠ADB=90°，∠C=∠ABD，
∴△ABC∽△ADB，
∴，
∵AC=5cm,AB=4cm,
∴AD===（cm）．
20.【答案】解：
∵DE∥BC，
∴==，
∵AC=6，
∴AE=AC-CE=6-CE，
∴=，解得CE=2.4，
∵EF∥AB，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴DE=BF，
∴BC=DE+CF=DE+2，
∵AD：BD=3：2，
∴AD：AB=3：5，
∴==，
即=，解得DE=3．
21.【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC平行于AB，
∴∠EAF=∠DCF，∠FEA=∠FDC，
∴△AEF∽△CDF；
21
22.【答案】解：（1）由题意得，PQ||BC，则AP：AB=AQ：AC，AP=4x，AQ=30-3x
∴=
∴x=；
（2）假设两三角形可以相似
情况1：当△APQ∽△CQB时，CQ：AP=BC：AQ，
即有=解得x=，
经检验，x=是原分式方程的解．
此时AP=cm，
情况2：当△APQ∽△CBQ时，CQ：AQ=BC：AP，
即有=解得x=5，
经检验，x=5是原分式方程的解．
此时AP=20cm．
综上所述，AP=cm或AP=20cm．
23.【答案】8．
24.【答案】1；

25.【答案】BE=AD．理由见解析； ；理由见解析； △ABE的面积为或．
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