北师大（2024）版 数学七年级上册 第2章 有理数及其运算 习题课 有理数的混合运算的常见题型（含答案）

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第2章 有理数的运算 习题课
有理数的混合运算常见题型
题型1 与有理数概念有关的计算
题型2 与非负性有关的计算
题型3 与程序有关的运算
题型4 与定义新运算有关的计算
题型5 与运算法则、运算律有关的混合运算
题型6 与运算规律有关的混合运算
题型7 与周期规律有关的计算
题型1 与有理数概念有关的计算
1．若的绝对值是它本身，的相反数是它本身， 的倒数是它本身，则结果不唯一的是( )
A. B. C. D.
2．若，互为相反数，，互为倒数，且 ，则 ( )
A. 1 B. C. D. 2
3．如果a，b互为相反数，c是最大的负整数，则a＋b＋c2026的值为____．
4．已知，互为相反数，，互为倒数， 的绝对值等于1，则 的值为______.
题型2 与非负性有关的计算
5．若和满足，则 的值等于( )
A. B. 1 C. D. 2
6．【2024·资阳】若，则 ___.
7．已知，，，则 的值等于_____.
8．已知，，若，则 _________.
题型3 与程序有关的运算
9．下图是一个数值转换机，若输入的 的值为2，则输出的结果应为___.
10．下面是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为－3时，输出的数值是____．
11．王华在电脑上设计了一个有理数运算程序：输入，按键，再输入 ，得到运算 .
(1)请按此运算程序求 的值.
(2)王华在运用此程序计算时，屏幕显示“该程序无法操作”，请你猜想他在输入数据时，可能出现了什么情况？为什么？
题型4 与定义新运算有关的计算
12．定义一种新的运算“Γ”，规定：aΓb＝a2－2ab＋2b2．例如：2Γ3＝22－2×2×3＋2×32＝4－12＋18＝10．
(1)求2Γ(－1)的值；
(2)求(－2)Γ(1Γ2)的值；
(3)运算“Γ”是否具有交换律，即aΓb＝bΓa是否成立？请说明理由．
13．材料一：对于任意有理数，，定义新运算“ ”：
.例如： ， ；
材料二：规定表示不小于 的最小整数，例如：
，， ， .
根据上述材料解答下列问题：
(1)___； _____；
(2)求 的值.
14．定义新运算：， .
例如：， .
若，则称有理数， 为“隔一数对”.
例如：，， ，所以2，3就是“隔一数对”.
(1)下列各组数是“隔一数对”的是______(请填序号).
，；，；， .
(2)计算： .
题型5 与运算法则、运算律有关的混合运算
15．计算：
(1) .
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) .
(6) .
(7) .
题型6 与运算规律有关的混合运算
16．观察下列式子：a1＝＝1－；a2＝＝－；a3＝＝－；a4＝＝－；…，按此规律计算：a1＋a2＋a3＋…＋a2024＝________．
17．阅读下面的文字，完成后面的问题：
＝1－；＝－；
＝－；＝－；
……
(1)＝__________－_________；
(2)求式子＋＋＋…＋的值．
18．(1)计算：__，___，___， ， _____.
(2)由(1)可得 _______.
(3)利用上述规律计算： .
题型7 与周期规律有关的计算
19．观察下列三行数：
－2　4　－8　16　－32　64　…　①
　0　6　－6　18　－30　66　…　②
－1　2　－4　 8 　－16　32　…　③
(1)第①行数按什么规律排列？请写出第n个数；
(2)第②，③行数与第①行数分别有什么关系？请写出第②，③行的第n个数；
(3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和．
20．观察下列三行数：
0　3　8　 15　24　…　①
2　5　10　17　26　…　②
0　6　16　30　48　…　③
(1)第①行数按什么规律排的，请写出来？
(2)第②，③行数与第①行数分别有什么关系？
(3)取每行的第10个数，求这三个数的和．
21．观察下列三组数；
第一组：1，4，9，16，25，…；
第二组：0，－3，－8，－15，－24，…；
第三组：，－，，－，，….
(1)第一组数是按什么规律排列的？第二组数与第一组数有什么关系？
(2)按第三组数的排列规律，第9，10两个数分别是多少？
(3)取每组的第20个数，计算这个三个数的和．
22．观察下列三行数：
－3　　9　－27　　81　…　①
　1　－3　　 9　－27　…　②
－2　 10　－26　　82　…　③
(1)第①行数按什么规律排列？
(2)第②，③行数与第①行数分别有什么关系？
(3)设x，y，z分别为第①，②，③行的第2024个数，求x＋6y＋z的值．
23．观察下列三行数的排列规律：
，4，，16，，64， ；①
，2，，8，，32， ；②
0，6，，18，，66， .③
回答下列问题
(1)第①行的第 个数是什么？
(2)第②③行的数与第①行的数的关系如何？它们的第个数分别是什么？
(3)取第①行的第2 024个数，第②行的第2 025个数，第③行的第2 026个数相加，和是多少？
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参考答案
题型1 与有理数概念有关的计算
1．若的绝对值是它本身，的相反数是它本身， 的倒数是它本身，则结果不唯一的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】已知的绝对值是它本身，则 .因为的相反数是它本身，所以.因为 的倒数是它本身，所以.因为，所以，， 都是唯一的.所以结果不唯一的是 .故选B.
2．若，互为相反数，，互为倒数，且 ，则 ( )
A. 1 B. C. D. 2
【答案】D
【解析】因为，互为相反数，，互为倒数， ，所以，， .所以 .
3．如果a，b互为相反数，c是最大的负整数，则a＋b＋c2026的值为____．
【答案】1
4．已知，互为相反数，，互为倒数， 的绝对值等于1，则 的值为______.
【答案】0或2
【解析】由题意知，，，所以 .①当时，原式；②当 时，原式.综上， 的值为0或2.
题型2 与非负性有关的计算
5．若和满足，则 的值等于( )
A. B. 1 C. D. 2
【答案】A
【解析】因为， ，，所以 ，.所以，.所以 .
6．【2024·资阳】若，则 ___.
【答案】2
【解析】 因为，所以， ，所以，，所以 ．
7．已知，，，则 的值等于_____.
【答案】
【点拨】因为，，所以， .因为，所以，异号.当， 时，；当， 时，.所以 .
8．已知，，若，则 _________.
【答案】10或－10
题型3 与程序有关的运算
9．下图是一个数值转换机，若输入的 的值为2，则输出的结果应为___.
【答案】0
10．下面是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为－3时，输出的数值是____．
【答案】－12
11．王华在电脑上设计了一个有理数运算程序：输入，按键，再输入 ，得到运算 .
(1)请按此运算程序求 的值.
【解】根据题意，得 .
(2)王华在运用此程序计算时，屏幕显示“该程序无法操作”，请你猜想他在输入数据时，可能出现了什么情况？为什么？
【解】输入数据时，可能出现了或 .理由：当或 时，原式没有意义，从而屏幕显示“该程序无法操作”.
题型4 与定义新运算有关的计算
12．定义一种新的运算“Γ”，规定：aΓb＝a2－2ab＋2b2．例如：2Γ3＝22－2×2×3＋2×32＝4－12＋18＝10．
(1)求2Γ(－1)的值；
解：(1)2Γ(－1)＝22－2×2×(－1)＋2×(－1)2＝4＋4＋2＝10．
(2)求(－2)Γ(1Γ2)的值；
解：(2)1Γ2＝12－2×1×2＋2×22＝1－4＋8＝5，
所以(－2)Γ(1Γ2)＝(－2)Γ5＝(－2)2－2×(－2)×5＋2×52＝4＋20＋50＝74．
(3)运算“Γ”是否具有交换律，即aΓb＝bΓa是否成立？请说明理由．
解：(3)运算“Γ”不具有交换律．
理由：aΓb＝a2－2ab＋2b2，bΓa＝b2－2ab＋2a2，
若a2≠b2，则a2－2ab＋2b2与b2－2ab＋2a2不相等，
所以运算“Γ”不具有交换律．
13．材料一：对于任意有理数，，定义新运算“ ”：
.例如： ， ；
材料二：规定表示不小于 的最小整数，例如：
，， ， .
根据上述材料解答下列问题：
(1)___； _____；
【答案】
(2)求 的值.
【解】原式 .
14．定义新运算：， .
例如：， .
若，则称有理数， 为“隔一数对”.
例如：，， ，所以2，3就是“隔一数对”.
(1)下列各组数是“隔一数对”的是______(请填序号).
，；，；， .
【答案】①②
【解析】①因为， ，所以 ，则①是“隔一数对”；②因为， ，所以 ，则②是“隔一数对”；③因为， ，所以 ，则③不是“隔一数对”.
(2)计算： .
【解】 .
题型5 与运算法则、运算律有关的混合运算
15．计算：
(1) .
【解】 .
(2) ；
【解】原式 .
(3) ；
【解】原式 .
(4) ；
【解】原式 .
(5) .
【解】原式 .
(6) .
【解】原式 .
(7) .
解：原式 .
题型6 与运算规律有关的混合运算
16．观察下列式子：a1＝＝1－；a2＝＝－；a3＝＝－；a4＝＝－；…，按此规律计算：a1＋a2＋a3＋…＋a2024＝________．
【答案】
17．阅读下面的文字，完成后面的问题：
＝1－；＝－；
＝－；＝－；
……
(1)＝__________－_________；
(2)求式子＋＋＋…＋的值．
解：(1)
(2)原式＝1－＋－＋…＋－＝1－＝
18．(1)计算：__，___，___， ， _____.
【答案】
(2)由(1)可得 _______.
【答案】
(3)利用上述规律计算： .
【解】 .
题型7 与周期规律有关的计算
19．观察下列三行数：
－2　4　－8　16　－32　64　…　①
　0　6　－6　18　－30　66　…　②
－1　2　－4　 8 　－16　32　…　③
(1)第①行数按什么规律排列？请写出第n个数；
(2)第②，③行数与第①行数分别有什么关系？请写出第②，③行的第n个数；
(3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和．
解：(1)第①行数是－2，(－2)2，(－2)3，…；第n个数是(－2)n
(2)第②行数是第①行相应的数加2，即－2＋2，(－2)2＋2，(－2)3＋2……第③行的数分别是第①行的，即－2×，(－2)2×，(－2)3×……第②，③行的第n个数分别为(－2)n＋2，
(3)每行数的第10个数的和是(－2)10＋[(－2)10＋2]＋(－2)10×＝2562
20．观察下列三行数：
0　3　8　 15　24　…　①
2　5　10　17　26　…　②
0　6　16　30　48　…　③
(1)第①行数按什么规律排的，请写出来？
(2)第②，③行数与第①行数分别有什么关系？
(3)取每行的第10个数，求这三个数的和．
解：(1)第①行数是12－1，22－1，32－1，42－1，52－1，…，n2－1
(2)第②行的数是第①行相应的数加2所得；第③行的数是第①行相应的数乘2所得
(3)(102－1)＋(102－1＋2)＋2(102－1)＝398
21．观察下列三组数；
第一组：1，4，9，16，25，…；
第二组：0，－3，－8，－15，－24，…；
第三组：，－，，－，，….
(1)第一组数是按什么规律排列的？第二组数与第一组数有什么关系？
(2)按第三组数的排列规律，第9，10两个数分别是多少？
(3)取每组的第20个数，计算这个三个数的和．
解：(1)第一组数是按正整数1，2，3，4，5，…的平方数的顺序排列的，即12，22，32，42，52，….第二组数是由第一组的每一个数减去1，再取差的相反数得到的，即－(12－1)，－(22－1)，－(32－1)，－(42－1)，－(52－1)，…　
(2)第三组数的规律是，－，，－，，…，所以这组数的第9个数为＝，第10个数是－＝－　(3)所求的和为202＋[－(202－1)]＋(－)＝
22．观察下列三行数：
－3　　9　－27　　81　…　①
　1　－3　　 9　－27　…　②
－2　 10　－26　　82　…　③
(1)第①行数按什么规律排列？
(2)第②，③行数与第①行数分别有什么关系？
(3)设x，y，z分别为第①，②，③行的第2024个数，求x＋6y＋z的值．
解：(1)第①行数是－3，(－3)2，(－3)3，(－3)4，…，(－3)n　
(2)第②行数是第①行相应的数乘(－)，即－×(－3)n，第③行的数比第①行相应的数大1，即(－3)n＋1　(3)∵x＝(－3)2024，y＝－×(－3)2024＝－32023，z＝(－3)2024＋1，∴x＋6y＋z＝(－3)2024＋6×(－32023)＋(－3)2024＋1＝1
23．观察下列三行数的排列规律：
，4，，16，，64， ；①
，2，，8，，32， ；②
0，6，，18，，66， .③
回答下列问题
(1)第①行的第 个数是什么？
【解】第①行的第个数是 .
(2)第②③行的数与第①行的数的关系如何？它们的第个数分别是什么？
【解】第②行的数等于第①行相应位置的数除以2，其第个数是 ；第③行的数是第①行相应位置的数加2，其第个数是 .
(3)取第①行的第2 024个数，第②行的第2 025个数，第③行的第2 026个数相加，和是多少？
【解】第①行的第2 024个数是 ，第②行的第2 025个数是，第③行的第2 026个数是 ，故 .
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