第二十一章 一元二次方程 单元试卷 【含答案】2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十一章 一元二次方程 单元试卷 2025-2026学年人教版数学九年级上册
一、选择题
下列方程是一元二次方程的是
A． B． （，， 为常数）
C． D．
用公式法解一元二次方程 时，化方程为一般式，当中的 ，， 依次为
A． ，， B． ，，
C． ，， D． ，，
一元二次方程 的解为
A． ， B． ，
C． ， D． ，
用配方法解一元二次方程 时，方程两边可同时加上
A． B． C． D．
等腰三角形的一边长是 ，方程 的两个根是三角形的两边长，则 为
A． B． C． D． 或
若关于 的一元二次方程 的一个根是 ，则 的值为
A． B． C． D．
把方程 配方成 的形式，则 ， 的值分别为
A． ， B． ， C． ， D． ，
在某学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每年 万字增加到九年级的每年 万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为 ，根据题意，所列方程正确的是
A． B．
C． D．
关于 的一元二次方程 有两个实数根 ，，若 ，则 的值为
A． 或 B． 或 C． D．
毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个都互相赠送一件礼品，礼品店共售出礼品 件，则该数学兴趣小组的人数为
A． B． C． D．
二、填空题
把一元二次方程 化为一般形式为 ，二次项为 ，一次项系数为 ，常数项为 ．
方程 的根是 ．
若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的最小整数值为 ．
若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是 ．
如图，在宽为 ，长为 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 ，则道路的宽为 ．
元旦到了，九（）班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物，结果全班交换小礼物共 件，该班有 个同学．
已知关于 的一元二次方程 的两个根为 ，，且 ，则 的值是 ．
已知 ， 是关于 的方程 的两个不相等实数根，且满足 ，则 的值为 ．
三、解答题
解方程：
(1) ． (2) ．
已知关于 的一元二次方程：．
(1) 求证：无论 为何值，方程总有实数根．
(2) 若方程的一个根是 ，求另一个根及 的值．
某公司今年 月份的生产成本是 万元，由于改进技术，生产成本逐月下降， 月份的生产成本是 万元．假设该公司 ，， 月每个月生产成本的下降率都相同．
(1) 求每个月生产成本的下降率；
(2) 请你预测 月份该公司的生产成本．
如图，有总长为 米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为 米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃 ．
(1) 如果设花圃的宽 米，则 长多少米？（用含 的代数式表示）
(2) 如果要使花圃的面积为 平方米，那么花圃的宽 应为多少米？
(3) 如果要在两个矩形的 一边各开一个 米宽的门（做门材料不占用篱笆），且花圃的总面积为 平方米，那么花圃的宽 应为多少米？
今年 月 日，重庆首家海底捞在来福士广场正式开始试营业，由于重庆人偏好麻辣口味，海底捞来福士店在原有番茄、红汤牛油、菌菇等多种常规锅底的基础上，专门为重庆人私人订制了一种“双椒锅底”．开业当天，人气爆满，番茄锅和双椒锅成为最受欢迎的两种锅底，总计销售 份，销售总额为 元．其中双椒锅的销售单价是 元，番茄锅的销售单价为 元．
(1) 求开业当天番茄锅销售数量；
(2) 试营业一段时间后，商家发现番茄锅和双椒锅的日均销量之比为 ．为了庆祝国庆，回馈广大顾客，海底捞在国庆期间推出了优惠活动，在原有售价的基础上将番茄锅降价 ，双椒锅降价 进行销售． 月 日当天，番茄锅的销量比日均销量增加了 ，而双椒锅的销量比日均销量增加了 ，结果当天这两种锅底的销售总额比日均销售总额多了 ，求 的值．
答案
1. 【答案】C
2. 【答案】B
【解析】 ，
，则 ，，．
3. 【答案】B
4. 【答案】B
5. 【答案】D
6. 【答案】D
7. 【答案】D
【解析】 ．
移项，得 ．
配方，得 ，
即 ．
所以 ，．
8. 【答案】A
9. 【答案】D
【解析】 关于 的一元二次方程 的两个实数根为 ，，
，．
，即 ，
，解得 ．
关于 的一元二次方程 有实数根，
，解得 或 ，
．
10. 【答案】B
11. 【答案】 ； ； ；
12. 【答案】 ，
【解析】 ，．
13. 【答案】
【解析】根据题意得 且 ，
解得 且 ，
的最小整数值为 ．
故答案为：．
14. 【答案】
【解析】 关于 的一元二次方程 有实数根，
，
即 ，
解得 ．
15. 【答案】
【解析】假设道路的宽度为 ，
依题意可得 ，
化简可得 ，
解得：，，
不符合题意，应该舍去．
16. 【答案】
【解析】设该班有 个同学，则每个同学需交换 件小礼物，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
17. 【答案】 或 或
【解析】 ， 是一元二次方程 的两个根，
，．
，
，
① ，
，
，
，
，
，
，
或 ．
② ，
，
，
．
综上所述， 的值为 ，，．
18. 【答案】
19. 【答案】
(1) 移项，得因式分解，得即解得
(2) 因式分解，得解得
20. 【答案】
(1) 因为 ．
所以
所以无论 取何值，方程总有实数根．
(2) 因为 是方程 的一个根，
所以 ，
解得：，
一元二次方程为 ，
所以
解得 ，，
所以方程的另一个根为 ．
21. 【答案】
(1) 设每个月生产成本的下降率为 ．
根据题意得：解得：答：每个月生产成本的下降率为 ．
(2) （万元）．
答：预测 月份该公司的生产成本为 万元．
22. 【答案】
(1) ．
(2) 由（）题结合题意得解得当 时，（不合，舍去）；
当 时，，符合题意．
的长应为 米．
(3) 依题意得解得当 时，（不合，舍去）；
当 时，，符合题意．
这时 的长应为 米．
23. 【答案】
(1) 设开业当天番茄锅销售数量为 份，
则双椒锅的销售数量为 份，由题意得：解得答：开业当天番茄锅销售数量为 份．
(2) 番茄锅和双椒锅的日均销量之比为 ．
设番茄锅和双椒锅的日均销量分别为 和 ．
根据题意得：
．
化简得：．
设 ，则有：．
．
．
（舍）或 ．
．