第二十二章 二次函数 单元试卷【含答案】 2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 单元试卷 2025-2026学年人教版数学九年级上册
一、选择题
若 是二次函数，则 的值为
A． B． C． 或 D．
抛物线 的顶点坐标是
A． B． C． D．
已知二次函数 ，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是
A．图象的开口向上
B．图象的顶点坐标是
C．当 时， 随 的增大而增大
D．图象与 轴有唯一交点
将抛物线 向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，所得到的抛物线为
A． B．
C． D．
已知 ， 为二次函数 图象上两点，且 ，则下列说法正确的是
A． B． C． D．
如图所示的是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 ，当水面下降 时，水面的宽度为
A． B． C． D．
跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度 （单位：）与水平距离 （单位：）近似满足函数关系 ．如图记录了某运动员起跳后的 与 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为
A． B． C． D．
如图，隧道的截面由抛物线和长方形 构成，长方形的长 是 ，宽 是 ，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用 表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过 ，那么两排灯的水平距离最小是
A． B． C． D．
已知二次函数 及一次函数 ，将该二次函数在 轴上方的图象沿 轴翻折到 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数图象（如图所示），当直线 与新图象有 个交点时， 的取值范围是
A． B．
C． D．
如图是抛物线 的部分图象，其顶质点坐标为 ，且与 轴的一个交点在点 和 之间，则下列结论：
① ；
② ；
③ ；
④一元二次方程 有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是
A． B． C． D．
二、填空题
写出一个图象经过原点且开口向上的二次函数的表达式： ．
抛物线 的开口向 ，对称轴是 ，当 时，有最 值是 ．
抛物线 经过点 ，那么 ．
已知二次函数 ，当 时， 随 的增大而减小，则 的取值范围是 ．
已知二次函数 ，当 时， 的取值范围是 ．
函数 的图象如图所示，若直线 与该图象有公共点，则 的最大值与最小值的和为 ．
抛物线 的对称轴为直线 ，且经过点 ．若关于 的一元二次方程 （ 为实数）在 的范围内有实数根，则 的取值范围是 ．
已知抛物线 （，， 是常数），其中 ．有下列四个结论：
①若抛物线经过点 ，则 ；
②若 ，则方程 一定有根 ；
③抛物线与 轴一定有两个不同的公共点；
④点 ， 在抛物线上，若 ，则当 时，．
其中正确的是 （填序号）．
三、解答题
若二次函数图象的顶点坐标 ，且图象过点 ，求二次函数的解析式．
已知抛物线 ．
(1) 写出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标；
(2) 求抛物线与 轴的交点坐标；
(3) 当 时，直接写出 的取值范围．
如图，在足够大的空地上有一段长为 米的旧墙 ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园 ，其中 ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了 米木栏．
(1) 若 ，所围成的矩形菜园的面积为 平方米，求所利用旧墙 的长；
(2) 求矩形菜园 面积的最大值．
如图，对称轴为直线 的抛物线 与 轴相交于 ， 两点，其中点 的坐标为 ．
(1) 求点 的坐标．
(2) 已知 ， 为抛物线与 轴的交点，若点 在抛物线上，且 ，求点 的坐标．
某网店销售某款童装，每件售价 元，每星期可卖 件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价 元，每星期可多卖 件．已知该款童装每件成本价 元，设该款童装每件售价 元，每星期的销售量为 件．
(1) 求 与 之间的函数表达式．
(2) 当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少元？
(3) 若该网店每星期想要获得不低于 元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？
如图，抛物线 与 轴相交于点 、 ，与 轴相交于点 ，点 为线段 上的动点（不与 、 重合），过点 垂直于 轴的直线与抛物线及线段 分别交于点 、 ，点 在 轴正半轴上，，连接 、 ．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 当四边形 是平行四边形时，求点 的坐标；
(3) 过点 的直线将（2）中的平行四边形 分成面积相等的两部分，求这条直线的解析式．（不必说明平分平行四边形面积的理由）
答案
1. 【答案】B
【解析】根据题意得： 且 ，
解得：．
故选：B．
2. 【答案】A
3. 【答案】C
【解析】 ，
抛物线的开口向下，顶点坐标为 ，抛物线的对称轴为直线 ，当 时， 随 的增大而增大，
令 ，则 ，
解方程得 ，，
，
抛物线与 轴有两个交点．故选C．
4. 【答案】A
5. 【答案】D
【解析】二次函数 中，，开口向下，
对称轴 ，
当 时， 随 增大而增大，
，
，
．
6. 【答案】B
7. 【答案】B
【解析】法一：
根据题意知，抛物线 经过点 ，，，
则 解得
．
法二：
抛物线开口向下，
离对称轴越近，位置越高，
从 ， 两点来看，对称轴更靠近 ，即在 左边，
从 ， 两点来看，对称轴更靠近 ，即在 右边．
8. 【答案】D
【解析】由题意得 ，，
且 ， 都经过抛物线 ，
解得
抛物线解析为 ，
当灯离地面高 时，两排灯的水平距离最小，
时，
，
解得：，，
，
两排灯的水平距离最小是 ．
9. 【答案】D
【解析】如图，
当 时，，解得 ，，则 ，，
将该二次函数在 轴上方的图象沿 轴翻折到 轴下方的部分图象的解析式为 ，
即 ，
当直线 经过 时，，解得 ；
当直线 与抛物线 有唯一公共点时，方程 有相等的实数解，解得 ，
所以当直线 与新图象有 个交点时， 的取值范围为 ．
10. 【答案】C
【解析】① 开口向上，
，对称轴在 轴右侧，
， 异号，即 ，
，
，故①正确；
②根据对称性可知，抛物线与 轴的另一个交点应该在 和 之间，所以当 时，，则 ，故②不正确；
③ 顶点坐标为 ，
，，，故③正确；
④ 抛物线与直线 有一个公共点，
抛物线与直线 有两个公共点，
一元二次方程 有两个不相等的实数根；故④正确；
所以正确的个数有 个．故选：C．
11. 【答案】答案不唯一，如 ．
12. 【答案】下； 轴； ；大；
13. 【答案】
14. 【答案】
15. 【答案】
【解析】 ，当 时，有 时其最小值为 ， 时其最大值为 ，故 的取值范围是 ．
16. 【答案】
17. 【答案】
【解析】 抛物线 的对称轴为直线 ，且经过点 ，
解得
抛物线的解析式为 ，
当 时，，
即 ，
关于 的一元二次方程 （ 为实数）在 的范围内有实数根，
有实数根，
，，
当 时， 有最小值 ，当 时， 有最大值 （取不到），
的取值范围是 ．
18. 【答案】①②④
19. 【答案】设这个二次函数的解析式为 ，
二次函数的图象的顶点坐标为 ，
二次函数的解析式为 ，
把 分别代入得 ，
所以 ．
20. 【答案】
(1) ，
抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ．
(2) 当 时，，解得 ，，
抛物线与 轴的交点坐标为 ，．
(3) 当 或 时，．
21. 【答案】
(1) 设 ，则 ，
根据题意得解得当 时，，不合题意舍去；
当 时，，
答： 的长为 ．
(2) 设 ，
，
当 时，则 时， 的最大值为 ；
当 时，则当 时， 随 的增大而增大，当 时， 的最大值为 ，
综上所述，当 时， 的最大值为 ；当 时， 的最大值为 ．
22. 【答案】
(1) ．
(2) 或 ．
23. 【答案】
(1) ．
(2) 设每星期的销售利润为 元，
则所以当 时， 取最大值，为 ．
所以每件售价定为 元时，每星期的销售利润最大，最大利润是 元．
(3) 由题意得 ，
解得 ．
当 时，销售量为 （件）；
当 时，销售量为 （件）．
所以若该网店每星期想要获得不低于 元的利润，每星期至少要销售该款童装 件．
24. 【答案】
(1) 点 、 在抛物线 上，
解得 ，．
抛物线的解析式为 ．
(2) 在抛物线解析式 中，令 ，得 ，
．
设直线 的解析式为 ，将 ， 坐标代入得
解得 ，，
．
设 点坐标为 ，则 ，，
．
四边形 是平行四边形，
，
，即 ，
解得 或 ，
点坐标为 或 ．
(3) 平行四边形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点（或对角线的中点），过对称中心的直线平分平行四边形的面积，
因此过点 与平行四边形 对称中心的直线平分平行四边形 的面积．
①当 时，点 坐标为 ，又 ，
设对角线 的中点为 ，则 ．
设直线 的解析式为 ，将 ， 坐标代入得：
解得 ，
所求直线的解析式为 ；
②当 时，
点 坐标为 ，又 ，
设对角线 的中点为 ，则 ．
设直线 的解析式为 ，将 ， 坐标代入得
解得 ，
所求直线的解析式为 ．
综上所述，所求直线的解析式为 或 ．