第一章 特殊平行四边形 单元试卷【含答案】 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第一章 特殊平行四边形 单元试卷 2025-2026学年北师大版数学九年级上册
一、选择题
矩形不一定具有的性质是
A．邻边相等 B．对角线相等
C．四个内角都是直角 D．对角线互相平分
如图，剪两张对边平行目宽度相等的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是
A． ，
B．
C． ，
D．
如图，菱形 的周长为 ，对角线 ， 交于点 ， 为 的中点，则 的长等于
A． B． C． D．
如图，点 是矩形 两条对角线的交点， 是边 上的点，沿 折叠后，点 恰好与点 重合．若 ，则折痕 的长为
A． B． C． D．
如图，菱形 中，对角线 ， 相交于点 ， 为 边中点，菱形 的周长为 ，则 的长等于 ．
A． B． C． D．
如图，把矩形 绕点 顺时针旋转，使点 的对应点 落在 的延长线上，若 ，，则点 与其对应点 的距离为
A． B． C． D．
用尺规在一个平行四边形内作菱形 ，下列作法中错误的是
A． B． C． D．
如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，，， 于点 ，则 的长为
A． B． C． D．
如图，点 在正方形 外，连接 ，，，过点 作 的垂线交 于点 ．若 ，．则下列结论不正确的是
A． B．点 到直线 的距离为
C． D．
如图，在正方形 中，， 分别为 ， 的中点， 为对角线 上的一个动点，则下列线段的长等于 最小值的是
A． B． C． D．
二、填空题（
如图，在平面直角坐标系 中，菱形 的顶点 在 轴上，边 在 轴上，若点 的坐标为 ，则点 的坐标是 ．
如图，矩形 的对角线 和 相交于点 ，过点 的直线分别交 和 于点 ，，，，则图中阴影部分的面积为 ．
如图， 是菱形 的一条对角线，点 在 的延长线上，若 ，则 的度数为 ．
如图所示，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，若 ，，，垂足为 ，则 的长为 ．
如图，在 中，，且 ，， 为斜边 上的一个动点，过点 分别作 于点 ， 于点 ，连接 ，则线段 的最小值为 ．
如图，在矩形 中，，，以点 为圆心、 的长为半径画弧交 于点 ，再分别以点 ， 为圆心、大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线 交 于点 ，则 的长为 ．
如图，对折矩形纸片 ，使 与 重合得到折痕 ，将纸片展平，再一次折叠，使点 落到 上点 处，并使折痕经过点 ，已知 ，则线段 的长度为 ．
如图，正方形 的边长为 ，点 在 的延长线上，，作 交 延长线于点 ，则 的长为 ．
三、解答题
如图，在平行四边形 中，， 分别是 ， 边上的点，且 ，
(1) 求证：．
(2) 若 ，求证四边形 是矩形．
如图，正方形 中， 为 边上一点， 为 延长线上一点，．
(1) 求证：．
(2) 若 ，求 的度数．
已知：如图，在 中，， 是 边的中线， 为 的外角 的平分线， 于点 ，线段 交 于点 ．
(1) 求证：四边形 为矩形；
(2) 线段 与 有怎样的关系？证明你的结论．
如图，在菱形 中， 是对角线，，连接 ．
(1) 若 ，，求 的长．
(2) 是 上一点，若 且 ，垂足为 ，求证：．
如图，菱形 中，，，点 从点 出发．以 的速度沿射线 运动，同时点 从点 出发，以 的速度沿射线 运动，连接 ， 和 ，设运动时间为 ．
(1) 当 时，连接 与 交于点 ，如图①所示，则 ．
(2) 当 ， 分别在线段 和 上时，如图②所示．
①求证： 是等边三角形．
②连接 ，交 于点 ，若 ，求 的长和此时的 值．
(3) 当 ， 分别运动到 和 的延长线上时，如图③所示，若 ，直接写出此时 的值为 ．
答案
1. 【答案】A
【解析】由矩形的性质可知：平行四边形的性质矩形都具有；
角：矩形的四个角都是直角；
边：邻边垂直；
对角线：矩形的对角线相等；
所以选项B，C，D都正确，而矩形的邻边不相等，
相等时就为正方形．
故选A．
2. 【答案】D
【解析】 四边形 是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，
，，
四边形 是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；
过点 分别作 ， 边上的高为 ，．则
（两纸条相同，纸条宽度相同）；
平行四边形 中，，即 ，
，即 ．故B正确；
平行四边形 为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．
，（菱形的对角相等），故A正确；
，（平行四边形的对边相等），故C正确；
如果四边形 是矩形时，该等式成立．故D不一定正确．
3. 【答案】B
【解析】 四边形 是菱形，且周长为 ，
，，，
点 为 的中点，，
．
4. 【答案】A
【解析】 点 是矩形 两条对角线的交点，
，
沿 折叠后，点 恰好与点 重合，，
，，
， 是 的垂直平分线，
，
，，
，
，
，
．
5. 【答案】A
【解析】在菱形 中，，，
菱形的周长为 ，
，
为 边的中点，
为 的中位线，
．
6. 【答案】D
【解析】连接 ，，如图．
四边形 为矩形，
，
在 中，，
矩形 绕点 顺时针旋转，使点 的对应点 落在 的延长线上，
，，
为等腰直角三角形，
．
7. 【答案】C
【解析】A、作的辅助线 是 的垂直平分线，由平行四边形中心对称图形的性质可得 与 互相平分且垂直，则四边形 是菱形，故A不符合题意；
B、由辅助线可得 ，由平行四边形的性质可得 ，则四边形 是菱形，故B不符合题意；
C、辅助线 ， 分别是原平行四边形一组对角的角平分线，只能说明四边形 是平行四边形，故C符合题意；
D、此题的作法是：连接 ，分别作两个角与已知角 ， 相等的角，即 ，，由 ，得 ，，则 ，，，则 ，则 ，则四边形 是菱形，故D不符合题意．
8. 【答案】C
【解析】 四边形 是菱形，，
，．
在 中，，
，
，
故 ，解得 ．
9. 【答案】B
【解析】在正方形 中，，
，
，
又 ，
，
在 和 中，
，故A正确；
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，故C正确；
，
，
在 中，，
故D正确；
过点 作 交 的延长线于 ，
，
是等腰直角三角形，
，
即点 到直线 的距离为 ，故B错误．
10. 【答案】D
【解析】方法一：
关于 的对称点，根据正方形的性质为 点，
连接 交 于点 ，
．
方法二：
如图，连接 ，
由 ，，，可得 ，
，
，
当点 ，， 在同一直线上时， 的最小值为 长，
此时，由 ，，，
可得 ，
，
最小值等于线段 的长．
11. 【答案】
【解析】设 ，
， 在 轴上，
，，
四边形 为菱形，
，
在 中，
，
即 ，
解得 ，（舍去），
．
12. 【答案】
13. 【答案】
14. 【答案】
【解析】 四边形 是菱形，
，，，．
在 中，，
．
，
，即 ，
．
15. 【答案】
16. 【答案】
17. 【答案】
【解析】如图，
由题意可得 ，，，则 ，故 ，
．
，
，
．
四边形 是矩形，对折短形纸片 ，使 与 重合得到折痕 ，
．
．
．
18. 【答案】
19. 【答案】
(1) 四边形 是平行四边形，
，，
在 和 中，
（）．
(2) 四边形 是平行四边形，
，，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是矩形．
20. 【答案】
(1) 是正方形，
，，
，
．
(2) ，
，
，
，
．
21. 【答案】
(1) 在 中，， 是 边的中线，
，，
，
为 的外角 的平分线，
，
，
，
，
四边形 为矩形．
(2) ，．
理由：
四边形 为矩形，
，
，
是 的中位线，
，．
22. 【答案】
(1) 连接 交 于 ，
四边形 是菱形，
，，
在 中，
，
，
，
在 中，
．
(2) 过 作 于 ，过 作 于 ，
，
，
，
在 和 中，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，．
23. 【答案】
(1)
(2) ①如图②中，连接 ，
四边形 是菱形，，
，
， 都是等边三角形，
，，
，
，
，，
，
是等边三角形．
② 四边形 是菱形，
平分 ，，
，，
，
，
，
过 作 于 ，
则 ，，
，设 ，则 ，
，
，
，
，解得 ，
，即 ，
，
．
(3)
【解析】
(1) 如图①中，
四边形 是菱形，，
，
， 都是等边三角形，
当 时，，，
，
，，
，
，
，
垂直平分线段 ，
，
，
，
，
，
．
(3) 如图③中，连接 ，作 于点 ， 交 的延长线于 ，
由（）可知： 是等边三角形，
，
在 中，
，，
，，
在 中，，
．