北京市西城区育才学校2025-2026学年高三上学期9月月考数学试卷（含答案）

2025-2026学年北京市西城区育才学校高三上学期9月月考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.若集合，，则( )
A. B.
C. D. 或
2.已知等差数列，则等于( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，是偶函数且在区间上为增函数的是( )
A. B. C. D.
4.函数的一个零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
5.设，则( )
A. B. C. D.
6.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数，则
A. 是奇函数，且在上是增函数 B. 是偶函数，且在上是增函数
C. 是奇函数，且在上是减函数 D. 是偶函数，且在上是减函数
8.把函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为，则的值为( )
A. B. C. D.
9.已知定义在上的函数满足，当时，，若函数至少有个零点，则的取值范围是
A. B. C. D.
10.已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“好集合”给出下列个集合：


其中所有“好集合”的序号是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.已知幂函数的图象经过点，则 ．
12.命题：“，”为假命题，则的取值范围是 ．
13.函数的定义域是 ．
14.设函数则 ；若方程有且仅有个不同的实数根，则实数的取值范围是 ．
15.已知直线和曲线，给出下列四个结论：
存在实数和，使直线和曲线没有交点；
存在实数，对任意实数，直线和曲线恰有个交点；
存在实数，对任意实数，直线和曲线不会恰有个交点；
对任意实数和，直线和曲线不会恰有个交点．
其中所有正确结论的序号是____．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知函数．
求的单调区间：
若在区间上的最小值为，求在该区间上的最大值．
17.求下列函数的导数．
；
；
．
18.科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障，下图是某公司从年到年这年研发投入的数据分布图：
其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值单位：十亿元．
从年至年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过的概率；
从年至年中随机选取两个年份，设表示其中研发投入超过亿元的年份的个数，求的分布列和数学期望；
根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由．
19.设函数．
若曲线在点处的切线与轴平行，求；
求的单调区间．
20.已知函数．
求函数在点处的切线方程；
设实数使得恒成立，求的取值范围；
设，求函数在区间上的零点个数．
21.已知集合，对于集合的非空子集若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“期待子集”．
试判断集合，是否为集合的“期待子集”；直接写出答案，不必说明理由
如果一个集合中含有三个元素，，，同时满足，，为偶数．那么称该集合具有性质对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质；
若的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”，求的最小值．
参考答案
1.
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14.
15.
16.由题意，令，解得，，
当，时，，当时，，
所以在区间，上单调递减，在区间上单调递增．
综上所述：在区间，上单调递减，在区间上单调递增．
由可得当时，单调递增，当时，单调递减，
所以当时取到极大值，也是最大值，
又，，
所以当时取到最小值，解得，
此时．
所以在区间上的最大值为．

17.由可得；
由可得；
由可得，
所以；

18.由题知，年到年共年中，研发投入占当年总营收的百分比超过有年，设从年至年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过为事件，．
由题意得的取值可能为，，
，
，
．
的分布列为
．
年到年共年中，研发投入占当年总营收的百分比超过有年，每年基本上都在增加，因此公司在发展的过程中重视研发．

19.因为，
所以
．
．
由题设知，即，解得．
此时．
所以的值为．
由得．
当时，令，得，
所以的变化情况如下表：
单调递增 极大值 单调递减
当，令，得或
当时，，所以的变化情况如下表：
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
当时，
(ⅰ)当即时，
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
(ⅱ)当即时，恒成立，所以在上单调递增；
(ⅲ)当即时，
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
综上，
当时，的单调递增区间是，单调递减区间是和；
当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；
当时，的单调递增区间是和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间是，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是．

20.由题可得函数的定义域为，且，
则，因，
所以在点处的切线方程为，化简为．
故函数在点处的切线方程为．
由题意知得恒成立，即恒成立，等价于恒成立，
设，则，令，解得，
当时，；当时，，
所以当时，取到极大值也是最大值，所以，
所以的取值范围为．
由题知令，即，则得，从而得，
由得函数在区间上的零点个数即等价于求函数的图象与函数的图象的交点个数，
又因在区间上单调递增，在区间上单调递减，
且当时，取到极大值也是最大值，
又因为，，
当或时，函数的图象与函数的图象的交点个数为，
当或时，函数的图象与函数的图象的交点个数为，
当时，函数的图象与函数的图象的交点个数为．
综上所述：当或时，函数在区间上有个零点；
当或时，函数在区间上有个零点；
当时，函数在区间上有个零点．

21.因为，
对于集合，令，解得，显然，，
所以是集合的“期待子集”；
对于集合，令，则，
因为，即，故矛盾，所以不是集合的“期待子集”；
先证明必要性：
当集合是集合的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的，使得，
不妨设，令，，，则，即条件中的成立；
又，所以，即条件中的成立；
因为，
所以为偶数，即条件中的成立；
所以集合满足条件．
再证明充分性：
当集合满足条件时，有存在，满足，，为偶数，
记，，，
由得，由得，由得，
所以，
因为，，，所以，，均属于，
即集合是集合的“期待子集”．
的最小值为，理由如下：
一方面，当时，对于集合，其中任意三个元素之和均为奇数，由知，不是的“期待子集”；
当时，对于集合，
从中任取三个不同的元素，若不含有，则不满足条件的，
若含有，则另外两个数必都是奇数，因为任意两个奇数之差大数减小数都不小于，
故不满足条件中的，所以不是的“期待子集”；
所以．
另一方面，我们用数学归纳法证明集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”：
当时，对于集合的任意含有个元素的子集，记为，
当、、三个数中恰有个属于时，则，因为数组、、、、都满足条件，
当三个数都属于，因为数组满足条件，
所以此时集合必是集合的“期待子集”，
所以当时的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”．
假设当时结论成立，即集合的任意含有个元素的子集都是的“期待子集”，那么时，对于集合的任意含有个元素的子集，
分成两类，若，至多有个属于，则中至少有个元素都在集合，由归纳假设知，结论成立；
若，，则集合中恰含的个元素，此时，当中只有一个奇数时，则集合中包含中的所有偶数，此时数组，，符合条件，结论成立；
当集合中至少有两个奇数时，则必有一个奇数不小于，此时数组，，符合条件，结论成立，所以时结论成立，
根据知，集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”，所以的最小值为

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