2025苏科版九年级数学上学期期中模拟测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：130分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：苏科版九年级数学上册全册+二次函数。
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x（x﹣4）＝0 B．x+y﹣3＝0 C． D．3x+8＝0
2．二次函数y＝3（x﹣1）2的顶点坐标是（ ）
A．（0，﹣1） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（1，0）
3．两个同心圆的圆心为点O，大圆的半径为5cm，小圆的半径为3cm．若点P在大圆内部但在小圆外部，则（ ）
A．OP＞3cm B．OP＜5cm
C．3cm＜OP＜5cm D．OP＞5cm
4．把函数的图象平移变换，得到函数的图象，需要（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
D．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
5．下列说法正确的是（ ）
A．长度相等的弧叫等弧 B．平分弦的直径一定垂直于该弦
C．相等的圆心角所对的弦相等 D．等弧所对的圆周角相等
6．如图，为了鼓励消费，某商场设置一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 150 200 360 500 800 1000
落在“饮料”区域次数m 32 39 64 102 155 243 299
则转盘中“饮料”区域的圆心角∠AOB的度数近似是（ ）
A．120° B．108° C．102° D．90°
7．有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（ ）
A．2.76米 B．6.76米 C．6米 D．7米
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是平面内的一动点，且AD＝3，M为BD的中点，在点D运动的过程中，线段CM长度的取值范围是（ ）
A． B． C．6≤CM≤8 D．
第二部分（非选择题 共106分）
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
9．方程x2﹣2x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围是 ．
10．用配方法解方程x2+6x+5＝0，方程可化为（x+3）2＝m，则m＝ ．
11．如图是一块矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为1米的正方形后剩下的部分做成一个容积为70立方米的无盖长方体箱子，已知长方体箱子底面的长比宽多3米，则矩形铁皮的面积为 m2．
12．甲、乙两个芭蕾舞团演员的身高（单位：cm）如表：
甲 164 164 165 165 166 166 167 167
乙 163 163 165 165 166 166 168 168
两组芭蕾舞团演员身高的方差较小的是 ．（填“甲”或“乙”）
13．如图，点（1，0），（0，3）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，且抛物线的对称轴为x＝﹣1，若y＞0，则x的取值范围是 ．
14．已知点A（4，y1），B（﹣1，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a＞0）上．则y1，y2，y3的大小关系为 ．
15．如图，在⊙O中，AD⊥BC，连接AB、CD，当AB＝2，CD＝6时，则⊙O半径长为 ．
16．若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”．例如：P（1，0）、Q（2，﹣2）都是“整点”，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣1（m＞0）与x轴交于A、B两点，若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边界）恰有6个整点，则m的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共11小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x+1＝0； （2）（x+4）2＝2（x+4）．
18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0．
（1）若方程有实数根，求m的取值范围；
（2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足14．求4x2﹣10的值．
19．（6分）如图，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为570m2，求道路的宽度．
20．（6分）某同学在本学期的数学成绩如下表所示（成绩均取整数）：
测验 类别 平时（为四项的平均成绩） 期中 考试 期末 考试
测验1 测验2 测验3 课题学习
成绩 88 70 96 86 85 x
（1）计算该同学本学期的平时平均成绩；
（2）如果学期的总评成绩是根据图所示的权重计算，那么本学期该同学的期末考试成绩x至少为多少分才能保证达到总评成绩90分的最低目标？
21．（6分）某射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加比赛，对他们进行了六次测试，测得成绩如下表：（单位：环）
（1）填空：① ；② ；
（2）请计算甲六次测试成绩的方差；
（3）若乙六次测试成绩的方差为，你认为推荐谁参加比赛更合适？请说明理由．
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 平均成绩 中位数
甲 10 8 9 8 10 9 9 ①
乙 10 7 10 10 9 8 ② 9.5
22．（6分）近期，考古学家在一次考古工作中发现了一块古代圆形残片玉佩，如图所示，为了修复这块残片，需要找出其圆心．已知弧上三点A，B，C．
（1）请用尺规作图画出该残片的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．
23．（8分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）与x轴交于点A．
（1）抛物线的对称轴是 ，经过的定点坐标是 （写一个即可）；
（2）若点A的坐标为（﹣1，0），求当﹣2≤x＜2时函数值y的取值范围；
（3）点M（x1，m）、N（x2，n）在抛物线上，若当x1＝a，2＜x2＜3时，都有m＜n，求a的取值范围．
24．（8分）如图，将Rt△ABC沿过点A的直线翻折并展开，直角顶点C的对应点C'落在边AB上，折痕为AD，点O在边AB上，⊙O经过点A，D．
（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若，∠B＝30°，求⊙O的半径．
25．（8分）某商场把一批糖果分装成小袋出售，小袋糖果成本为3元/袋，试销发现：每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支出其它费用80元．
销售单价x（元） 3.5 5.5
销售量y（袋） 280 120
（1）y与x之间的函数关系式为 ；
（2）如果每天销售获得160元的利润，销售单价为多少元？
（3）设每天所获利润为W元，当销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
26．（10分）如图，抛物线y＝2x2﹣4x﹣6与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一动点．
（1）点A的坐标 ，点B的坐标 ，点C的坐标 ；
（2）如图2，当点D在第四象限时，连接BD、CD和BC，得到△BCD，求△BCD的面积的最大值及此时点D的坐标；
（3）点E在x轴上运动，以点B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请借助图1探究，直接写出点E的坐标．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点E，其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点．
（1）求线段AB的长；
（2）当时，若△ABD的面积是△ACD面积的两倍，求点D的坐标；
（3）延长CD交x轴于点F，AD＝DF，试探究直线DE是否经过某一定点．若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
答案解析
（考试时间：120分钟 试卷满分：130分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：苏科版九年级数学上册全册+二次函数。
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x（x﹣4）＝0 B．x+y﹣3＝0 C． D．3x+8＝0
【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可．
【解答】解：A．3x（x﹣4）＝0，是一元二次方程，故此选项正确；
B．x+y﹣3＝0，含两个未知数，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程，故此选项错误；
C．，不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项错误；
D．3x+8＝0，未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的判断，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．
2．二次函数y＝3（x﹣1）2的顶点坐标是（ ）
A．（0，﹣1） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（1，0）
【分析】根据二次函数y＝3（x﹣1）2，得出顶点坐标是（1，0），即可作答．
【解答】解：由题意可得：函数为y＝3（x﹣1）2，
∴可得出顶点坐标是（1，0），
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象性质，正确计算是解题关键．
3．两个同心圆的圆心为点O，大圆的半径为5cm，小圆的半径为3cm．若点P在大圆内部但在小圆外部，则（ ）
A．OP＞3cm B．OP＜5cm
C．3cm＜OP＜5cm D．OP＞5cm
【分析】点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外 d＞r，②点P在圆上 d＝r，③点P在圆内 d＜r，由此即可判断．
【解答】解：∵P在大圆内部，
∴OP＜5cm，
∵P在小圆外部，
∴OP＞3cm，
∴3cm＜OP＜5cm．
故选：C．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，关键是掌握点与圆的位置关系的判定方法．
4．把函数的图象平移变换，得到函数的图象，需要（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
D．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
【分析】根据二次函数的平移规律：上加下减，左减右减，即可作答．
【解答】解：依题意：
A、把函数的图象平移变换，先向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到函数的图象，故该选项是错误的；
B、把函数的图象平移变换，先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到函数的图象，故该选项是正确的；
C、把函数的图象平移变换，先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到函数的图象，故该选项是错误的；
D、把函数的图象平移变换，先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到函数的图象，故该选项是错误的；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图像与几何变化，掌握平移规律：上加下减，左减右减，是关键．
5．下列说法正确的是（ ）
A．长度相等的弧叫等弧
B．平分弦的直径一定垂直于该弦
C．相等的圆心角所对的弦相等
D．等弧所对的圆周角相等
【分析】直接利用圆的相关概念依次分析即可．
【解答】解：A、在同圆或等圆中，长度相等的弧叫等弧，故该选项错误，不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故该选项错误，不符合题意；
C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故该选项错误，不符合题意；
D、等弧所对的圆周角相等，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了圆的相关概念，涉及到了垂径定理，圆周角定理，解题关键是掌握相关概念．
6．如图，为了鼓励消费，某商场设置一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 150 200 360 500 800 1000
落在“饮料”区域次数m 32 39 64 102 155 243 299
则转盘中“饮料”区域的圆心角∠AOB的度数近似是（ ）
A．120° B．108° C．102° D．90°
【分析】先由表格数据得到，再根据圆周角为360°，列式计算，即可作答．
【解答】解：∵，
∴0.3×360°＝108°，
故选：B．
【点评】本题考查了由频率估计概率以及求扇形统计图的圆心角，熟练掌握以上知识点是关键．
7．有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（ ）
A．2.76米 B．6.76米 C．6米 D．7米
【分析】根据已知，假设解析式为y＝ax2，把（10，﹣4）代入求出解析式．假设在水面宽度18米时，能顺利通过，即可把x＝9代入解析式，求出此时水面距拱顶的高度，然后和正常水位相比较即可解答．
【解答】解：设该抛物线的解析式为y＝ax2，在正常水位下x＝10，代入解析式可得﹣4＝a×102 a
故此抛物线的解析式为yx2．
因为桥下水面宽度不得小于18米
所以令x＝9时
可得y3.24米
此时水深6+4﹣3.24＝6.76米
即桥下水深6.76米时正好通过，所以超过6.76米时则不能通过．
故选：B．
【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题．难度中上，首先要知道水面宽度与水位上升高度的关系才能求解．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是平面内的一动点，且AD＝3，M为BD的中点，在点D运动的过程中，线段CM长度的取值范围是（ ）
A． B． C．6≤CM≤8 D．
【分析】作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后在△CEM中根据三边关系即可求解．
【解答】解：作AB的中点E，连接EM、CE，
在直角△ABC中，AB10，
∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴．
∵M是BD的中点，E是AB的中点，
∴．
∵，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
第二部分（非选择题 共106分）
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
9．方程x2﹣2x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围是 c＜1 ．
【分析】根据方程x2﹣2x+c＝0有两个不相等的实数根，可知Δ＝4﹣4c＞0，解不等式即得答案．
【解答】解：∵方程x2﹣2x+c＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×c＝4﹣4c＞0，
解得c＜1．
故答案为：c＜1．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
10．用配方法解方程x2+6x+5＝0，方程可化为（x+3）2＝m，则m＝ 4 ．
【分析】一次项移到方程的左边，两边都加上1配成完全平方式，继而可得答案．
【解答】解：∵x2+6x+5＝0，
∴x2+6x＝﹣5，
则x2+6x+9＝﹣5+9，即（x+3）2＝4，
∴m＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
11．如图是一块矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为1米的正方形后剩下的部分做成一个容积为70立方米的无盖长方体箱子，已知长方体箱子底面的长比宽多3米，则矩形铁皮的面积为 108 m2．
【分析】设矩形铁皮的宽为x米，则长为（x+3）米，无盖长方体箱子底面长为（x+3﹣2）米，宽为（x﹣2）米，根据长方体的体积公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再利用矩形的面积公式即可求出矩形铁皮的面积．
【解答】解：设矩形铁皮的宽为x米，则长为（x+3）米，无盖长方体箱子底面长为（x+3﹣2）米，宽为（x﹣2）米，
依题意，得：1×（x+3﹣2）×（x﹣2）＝70，
整理，得：x2﹣x﹣72＝0，
解得：x1＝9，x2＝﹣8（不合题意，舍去），
∴x（x+3）＝108．
故答案为：108．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．甲、乙两个芭蕾舞团演员的身高（单位：cm）如表：
甲 164 164 165 165 166 166 167 167
乙 163 163 165 165 166 166 168 168
两组芭蕾舞团演员身高的方差较小的是 甲 ．（填“甲”或“乙”）
【分析】先算出两组数据的平均数，再计算两组数据的方差．
【解答】解：甲组演员身高的平均数为：（164×2+165×2+166×2+167×2）
＝165.5，
乙组演员身高的平均数为：（163×2+165×2+166×2+168×2）
＝165.5，
∵[（164﹣165.5）2+（164﹣165.5）2+（165﹣165.5）2+（165﹣165.5）2+（166﹣165.5）2+（166﹣165.5）2+（167﹣165.5）2+（167﹣165.5）2]
（2.25+2.25+0.25+0.25+0.25+0.25+2.25+2.25）
＝1.25；
[（163﹣165.5）2+（163﹣165.5）2+（165﹣165.5）2+（165﹣165.5）2+（166﹣165.5）2+（166﹣165.5）2+（168﹣165.5）2+（168﹣165.5）2]
（6.25+6.25+0.25+0.25+0.25+0.25+6.25+6.25）
＝3.25；
∴甲组芭蕾舞团演员身高的方差较小．
故答案为：甲．
【点评】本题考查了方差的计算，掌握计算方差的公式是解决本题的关键．
13．如图，点（1，0），（0，3）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，且抛物线的对称轴为x＝﹣1，若y＞0，则x的取值范围是 ﹣3＜x＜1 ．
【分析】根据抛物线的对称性可知抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（﹣3，0），再结合图象可得答案．
【解答】解：∵点（1，0）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，且抛物线的对称轴为x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（﹣3，0），
∴当y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．
故答案为：﹣3＜x＜1．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
14．已知点A（4，y1），B（﹣1，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a＞0）上．则y1，y2，y3的大小关系为 y1＜y2＜y3 ．
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据A，B，C三点到对称轴的距离大小求解．
【解答】解：∵y＝ax2﹣4ax+c（a＞0），
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴距离对称轴越近的点的纵坐标越小，
∵4﹣2＜2﹣（﹣1）＜2﹣（﹣3），
∴y1＜y2＜y3，
故答案为：y1＜y2＜y3．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系．
15．如图，在⊙O中，AD⊥BC，连接AB、CD，当AB＝2，CD＝6时，则⊙O半径长为 ．
【分析】如图，连接CO，延长CO交⊙O于H，连接BH，DH，BD．首先证明DH＝BA＝2，利用勾股定理求出CH即可．
【解答】解：如图，连接CO，延长CO交⊙O于H，连接BH，DH，BD．
∵CH是直径，
∴∠CBH＝∠CDH＝90°，
∴CB⊥BH，
∵CB⊥AD，
∴AD∥BH，
∴∠ADB＝∠DBH，
∴，
∴DH＝BA＝2，
而CD＝6，
根据勾股定理CH2，
∴⊙O半径长为．
故答案为．
【点评】此题主要考查了圆周角定理及其推论，同时也利用了勾股定理，作出正确的辅助线是解题的关键．
16．若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”．例如：P（1，0）、Q（2，﹣2）都是“整点”，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣1（m＞0）与x轴交于A、B两点，若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边界）恰有6个整点，则m的取值范围是 ．
【分析】首先将二次函数的表达式化为顶点式，确定函数的顶点，可以直接得到（1，﹣1），（1，0）必在所要求的区域内；然后向外扩充4个整点，找到（﹣1，0），（0，0），（2，0），（3，0）；最后结合图象确定函数与x轴的交点A的横坐标范围﹣2＜xA≤﹣1，进而求出m的范围．
【解答】解：由已知可得y＝mx2﹣2mx+m﹣1＝m（x﹣1）2﹣1，
∴函数的顶点是（1，﹣1），
∴点（1，﹣1），（1，0）必在抛物线在A，B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边界）的区域内，
又∵在此区域内有6个整点，
∴必有点（﹣1，0），（0，0），（2，0），（3，0），
∴当点（﹣1，0）在边界上时，，
当点（﹣2，0）在边界上时，
∵y＝m（x﹣1）2﹣1与x轴的交点A的横坐标﹣2＜xA≤﹣1，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与x轴交点，数形结合思想的应用是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x+1＝0；
（2）（x+4）2＝2（x+4）．
【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x+1＝0，
由题意得，a＝1，b＝﹣4，c＝1，
则Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×1＝12，
∴，
即，；
（2）（x+4）2＝2（x+4），
∴（x+4）2﹣2（x+4）＝0，
因式分解为（x+4）（x+2）＝0，
∴x+4＝0，x+2＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝﹣2．
【点评】此题考查一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0．
（1）若方程有实数根，求m的取值范围；
（2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足14．求4x2﹣10的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围；
（2）利用根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣2（m﹣1），x1 x2＝m2，结合14，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出实数m的值，即可求出x1+x2＝4，，代入4x2﹣10即可得答案．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×m2≥0，
解得：m，
∴实数m的取值范围为m．
（2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0的两实数根，
∴x1+x2＝﹣2（m﹣1），x1 x2＝m2．
∵14，
∴（x1+x2）2﹣2x1 x2＝14，
∴[﹣2（m﹣1）]2﹣2m2＝14，
∴4m2﹣8m+4﹣2m2＝14，
∴m＝5或﹣1，
当m＝5时，方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0变为x2+8x+25＝0，无解舍去，
当m＝﹣1时，方程变为x2﹣4x+1＝0，
∴x1+x2＝4，，
∴x1﹣1，
∴4x2﹣10＝4x1﹣1+4x2﹣10＝4（x1+x2）﹣11＝16﹣11＝5．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合（x1+x2）2＝18+4x1x2，找出关于m的一元一次方程．
19．（6分）如图，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为570m2，求道路的宽度．
【分析】设道路的宽度为x m，根据试验田面积＝矩形耕地的面积﹣三条道路的面积+道路重叠部分的两个小正方形的面积，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：设道路的宽度为x m，
根据题意得：20×32﹣20x×2﹣32x+2x2＝570，
整理得：x2﹣36x+35＝0，
解得：x1＝1，x2＝35（不符合题意，舍去），
答：道路的宽度为1m．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．（6分）某同学在本学期的数学成绩如下表所示（成绩均取整数）：
测验 类别 平时（为四项的平均成绩） 期中 考试 期末 考试
测验1 测验2 测验3 课题学习
成绩 88 70 96 86 85 x
（1）计算该同学本学期的平时平均成绩；
（2）如果学期的总评成绩是根据图所示的权重计算，那么本学期该同学的期末考试成绩x至少为多少分才能保证达到总评成绩90分的最低目标？
【分析】（1）平时成绩利用平均数公式计算；
（2）根据加权平均数公式列出不等式，解之即可得．
【解答】解：（1）该学期的平时平均成绩为：（88+70+96+86）÷4＝85（分）．
（2）按照如图所示的权重，
依题意得：85×10%+85×30%+60% x≥90．
解得：x≥93.33，
又∵成绩均取整数，
∴x≥94．
答：期末考试成绩至少需要94分．
【点评】此题主要考查了加权平均数的应用，注意学期的总评成绩是根据平时成绩，期中成绩，期末成绩的权重计算得出，注意加权平均数算法的正确运用，在考试中是易错点．
21．（6分）某射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加比赛，对他们进行了六次测试，测得成绩如下表：（单位：环）
（1）填空：① 9 ；② 9 ；
（2）请计算甲六次测试成绩的方差；
（3）若乙六次测试成绩的方差为，你认为推荐谁参加比赛更合适？请说明理由．
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 平均成绩 中位数
甲 10 8 9 8 10 9 9 ①
乙 10 7 10 10 9 8 ② 9.5
【分析】（1）根据中位数的定义先把这组数据从小到大排列，再找出最中间两个数的平均数即可求出①；根据平均数的计算公式即可求出②；
（2）根据方差的计算公式S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，代值计算即可；
（3）根据方差的意义：反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，即可得出答案．
【解答】解：（1）甲的中位数是：9，
乙的平均数是：（10+7+10+10+9+8）÷6＝9；
故答案为：9，9；
（2）S甲2[2×（10﹣9）2+2×（8﹣9）2+2×（9﹣9）2]；
（3）推荐甲参加比赛合适，理由如下：
∵S2乙，S甲2，
∴S甲2＜S2乙，
∴甲的成绩比较稳定，故推荐甲参加比赛合适．
【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
22．（6分）近期，考古学家在一次考古工作中发现了一块古代圆形残片玉佩，如图所示，为了修复这块残片，需要找出其圆心．已知弧上三点A，B，C．
（1）请用尺规作图画出该残片的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．
【分析】（1）作线段AB，AC的垂直平分线交于点O，点O即为所求；
（2）连接BC，OA，OC，AO交BC于点T．利用勾股定理规划局发出求解．
【解答】解：（1）如图，点O即为所求；
（2）连接BC，OA，OC，AO交BC于点T．
∵AB＝AC，
∴，
∴OA⊥BC，BT＝CT16＝8（cm），
∴AT6，
在Rt△OTC中，R2＝82+（R﹣6）2，
∴R．
答：圆片的半径R为cm．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
23．（8分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）与x轴交于点A．
（1）抛物线的对称轴是 直线x＝1 ，经过的定点坐标是 （0，3） （写一个即可）；
（2）若点A的坐标为（﹣1，0），求当﹣2≤x＜2时函数值y的取值范围；
（3）点M（x1，m）、N（x2，n）在抛物线上，若当x1＝a，2＜x2＜3时，都有m＜n，求a的取值范围．
【分析】（1）解析式化成顶点式即可求得对称轴，抛物线与y轴的交点是定点；
（2）利用待定系数法求得解析式，即可求得当﹣2≤x＜2时函数值y的取值范围；
（3）由题意，m＜n，得到a（a﹣x2）（a+x2﹣2）＜0，讨论a的大小，从而得到结果．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+3＝a（x﹣1）2+3﹣a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵x＝0时，y＝ax2﹣2ax+3＝3，
∴抛物线经过的定点（0，3），
故答案为：直线x＝1，（0，3）；
（2）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+3的对称轴为直线x＝1，与x轴交于点A（﹣1，0），
∴抛物线x轴交于另一个点为（3，0），
∴y＝a（x+1）（x﹣3），
∵抛物线经过的定点（0，3），
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），
∵x＝﹣2时，y＝﹣5；x＝1时，y＝4，
∴当﹣2≤x＜2时函数值y的取值范围是﹣5≤y≤4．
（3）∵点M（x1，m）、N（x2，n）在抛物线上，x1＝a，
∴m﹣n＝（2ax1+3）2ax2+3）＝a（x1﹣x2）（x1+x2﹣2），
又∵m＜n，
∴a（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）＜0，
∴a（a﹣x2）（a+x2﹣2）＜0，
当a＞0时，
又∵2＜x2＜3，
∴a＜a+x2﹣2＜1+a，
∴a+x2﹣2＞0，
∴a﹣x2＜0，
∴a＜x2，
又∵2＜x2＜3，
∴a≤2，
∴0＜a≤2，
当a＜0时，
又∵2＜x2＜3，
∴a﹣x2＜0，
∴a+x2﹣2＜0，
∴a＜2﹣x2，
又∵2＜x2＜3，
∴﹣1＜2﹣x2＜0，
∴a≤﹣1，
综上所述，a的取值范围是0＜a≤2或a≤﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
24．（8分）如图，将Rt△ABC沿过点A的直线翻折并展开，直角顶点C的对应点C'落在边AB上，折痕为AD，点O在边AB上，⊙O经过点A，D．
（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若，∠B＝30°，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质得∠OAD＝∠ODA，再由折叠的性质得∠CAD＝∠OAD，进而证明AC∥OD，则∠ODB＝∠ACB＝90°，因此OD⊥BC，然后由切线的判定即可得出结论；
（2）根据三角形的内角和定理得到∠CAO＝60°，求得∠CAD＝∠OAD＝∠ODA＝30°，根据折叠的性质得到AC＝AC′＝4，求得AD＝2DC'，设DC'＝x，则AD＝2x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）BC与⊙O相切．理由如下：
证明：连接OD．
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵图形沿过点A的直线翻折，点C的对应点C'落在边AB上，
∴∠CAD＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴AC∥OD，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠ODC＝90°，即OD⊥BC，
又∵CB经过半径OD的外端D，
∴BC与⊙O相切；
（2）∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，
∴∠CAO＝60°，
∴∠CAD＝∠OAD＝∠ODA＝30°，
∴∠DOC'＝60°，∠ODC'＝90°﹣60°＝30°．
将Rt△ABC沿过点A的直线翻折并展开，直角顶点C的对应点C'落在边AB上，
∴AC＝AC′＝4，
∵在Rt△ADC'中，AC′＝4，∠OAD＝30°，
∴AD＝2DC'，
设DC'＝x，则AD＝2x，
∴（2x）2﹣x2＝（4）2，
解得x＝4，
∴DC'＝4，
同样地，在Rt△ODC'中，OC′，OD＝2OC′，
即半径为．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
25．（8分）某商场把一批糖果分装成小袋出售，小袋糖果成本为3元/袋，试销发现：每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支出其它费用80元．
销售单价x（元） 3.5 5.5
销售量y（袋） 280 120
（1）y与x之间的函数关系式为 y＝﹣80x+560 ；
（2）如果每天销售获得160元的利润，销售单价为多少元？
（3）设每天所获利润为W元，当销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），用待定系数法求解即可；
（2）根据每袋的利润乘以销售量，再减去其它费用80元，等于160元，列出关于x的一元二次方程，求得方程的解，结合3.5≤x≤5.5，可得答案；
（3）根据W等于每袋的利润乘以销售量，再减去其它费用80元，列出W关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（3.5，280），（5.5，120）代入，
得，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣80x+560，
故答案为：y＝﹣80x+560；
（2）由题意，得（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80＝160，
整理，得x2﹣10x+24＝0，
解得x1＝4，x2＝6，
∵3.5≤x≤5.5，
∴x＝4．
∴如果每天销售获得160元的利润，销售单价为4元；
（3）由题意，得W＝（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80
＝﹣80x2+800x﹣1760
＝﹣80（x﹣5）2+240，
∵3.5≤x≤5.5，
∴当x＝5时，W有最大值为240．
∴当销售单价定为5元时，每天获得的利润最大，最大利润是240元．
【点评】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
26．（10分）如图，抛物线y＝2x2﹣4x﹣6与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一动点．
（1）点A的坐标 （﹣1，0） ，点B的坐标 （3，0） ，点C的坐标 （0，﹣6） ；
（2）如图2，当点D在第四象限时，连接BD、CD和BC，得到△BCD，求△BCD的面积的最大值及此时点D的坐标；
（3）点E在x轴上运动，以点B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请借助图1探究，直接写出点E的坐标．
【分析】（1）分别令y＝0，x＝0，即可求得答案；
（2）过点D作DH∥y轴，交BC于H，利用待定系数法可得直线BC的解析式为y＝2x﹣6，设D（t，2t2﹣4t﹣6），则H（t，2t﹣6），可得DH＝2t﹣6﹣（2t2﹣4t﹣6）＝﹣2t2+6t，进而可得S△BCD＝S△BDH+S△CDH＝﹣3（t）2，运用二次函数的性质即可求得答案；
（3）设D（m，2m2﹣4m﹣6），E（n，0），又B（3，0），C（0，﹣6），分三种情况：当BC、DE为平行四边形的对角线时，当BD、CE为平行四边形的对角线时，当BE、CD为平行四边形的对角线时，分别根据中点坐标公式建立方程组求解即可．
【解答】解：（1）由y＝0，得2x2﹣4x﹣6＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
当x＝0时，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
故答案为：（﹣1，0），（3，0），（0，﹣6）；
（2）过点D作DH∥y轴，交BC于H，如图，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（3，0），C（0，﹣6）代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝2x﹣6，
设D（t，2t2﹣4t﹣6），则H（t，2t﹣6），
∴DH＝2t﹣6﹣（2t2﹣4t﹣6）＝﹣2t2+6t，
∴S△BCD＝S△BDH+S△CDH
DH （xB﹣xD） DH （xD﹣xC）
DH （xB﹣xC），
（﹣2t2+6t）×3
＝﹣3（t）2，
∵﹣3＜0，
∴当t时，S△BCD取得最大值，此时点D的坐标为（，）；
（3）设D（m，2m2﹣4m﹣6），E（n，0），又B（3，0），C（0，﹣6），
当BC、DE为平行四边形的对角线时，
，
解得：，，
当m＝0时，D与C重合，不符合题意，舍去；
当m＝2时，D（2，﹣6），E（1，0）；
当BD、CE为平行四边形的对角线时，
，
解得：（不符合题意，舍去），或，
∴D（2，﹣6），E（5，0）；
当BE、CD为平行四边形的对角线时，
，
解得：或，
∴D（1，6），E（﹣2，0）或D（1，6），E（2，0）；
综上所述，点E的坐标为（1，0）或（5，0）或（﹣2，0）或（2，0）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，三角形面积等，解题关键是运用分类讨论思想，避免漏解．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点E，其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点．
（1）求线段AB的长；
（2）当时，若△ABD的面积是△ACD面积的两倍，求点D的坐标；
（3）延长CD交x轴于点F，AD＝DF，试探究直线DE是否经过某一定点．若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
【分析】（1）令y＝ax2﹣4ax﹣5a＝0，则x＝﹣1或5，即可求解；
（2）△ABD的面积是△ACD面积的两倍，则TM＝2TN，则xM+2xN＝3xT，即m+1﹣2mm，则m，即可求解；
（3）设点D坐标，根据C，D坐标求出直线CD的解析式，从而求得F的坐标，根据AD＝DF可得D在AF的垂直平分线上，根据横坐标的关系，可以求出D点坐标，然后根据D，E的坐标求出直线DE的解析式从而求得定点．
【解答】解：（1）令y＝ax2﹣4ax﹣5a＝0，则x＝﹣1或5，
即点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（5，0），
则AB＝6；
（2）当时，抛物线的表达式为：y（x2﹣4x﹣5），则点C（2，），
设D的横坐标为m，
连接AD，分别过点B、C作AD的平行线BM、CN，两条直线和y轴的交点为M、N，
由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝（m）（x+1），
则点T（0，m），
同理可得，点M、N的坐标分别为：（0，m）、（0，m），
∵△ABD的面积是△ACD面积的两倍，
则TM＝2TN，
则xM+2xN＝3xT，
即m+1﹣2mm，则m，
则点D（，）；
（3）过定点，理由：
设D（t，at2﹣4at﹣5a），
∴点C（2，﹣9a），
设直线CD的解析式为：y＝kx+b，
∴，
解得：k＝a（t﹣2），b＝﹣2at﹣5a，
∴直线CD的解析式为：y＝a（t﹣2）x﹣2at﹣5a，
令y＝0，则x，
∵AF＝DF，
∴D在AF的垂直平分线上，
∴2t＝﹣1，
解得：t＝﹣1（舍）或，
∴D（，a），
∴kDEa，
∴直线DE的解析式为：yax﹣5aa（x+10），
∴直线DE过定点（﹣10，0）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．2025苏科版九年级数学上学期期中模拟测试卷
答题卡
第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂)
第Ⅱ卷
25.（8分）
（1） ；
26.（10分）
（1） ； ； ；
B
A
C
2
0
C
C
D
A
C
B
y不
yA
A
O
B
x
A
O
B
C
C
C
图1
图2
y
y
A
0
B
C
A
O
B
C
D
D
E
E
C
备用图
