第二十一章　一元二次方程 单元素养测评卷【含解析】2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十一章　一元二次方程单元素养测评卷
时间：90分钟　　　满分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）一元二次方程的一般形式是（ ）
A． B．
C． D．
3．（本题3分）设方程的两根分别是，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
4．（本题3分）用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ）
A． B．
C． D．
5．（本题3分）方程的根的存在情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实根
C．没有实数根 D．无法确定
6．（本题3分）定义一种新运算：，，则方程的解是（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．（本题3分）关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是（ ）
A．5 B．6 C．3 D．4
8．（本题3分）关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则的值为（　　）
A． B． C．或 D．或
9．（本题3分）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
10．（本题3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为9cm2时，则点P运动的时间是（　　）
A．3s B．3s或5s C．4s D．5s
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）已知方程是关于x的一元二次方程，则a＝ ．
12．（本题3分）如果m是方程的一个根，那么代数式的值为 ．
13．（本题3分）已知一元二次方程的两根为、，则 ．
14．（本题3分）已知a、b实数且满足，则的值为 ．
15．（本题3分）已知一元二次方程的两个根分别是等腰三角形腰和底的长，则这个等腰三角形的周长为 .
16．（本题3分）如图，在一块长12m,宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分栽种花草,且栽种花草的面积为60m2，设道路的宽为x m，则根据题意,可列方程为 .
17．（本题3分）在解关于x的一元二次方程时，小明看错了一次项系数b，得到的解为；小刚看错了常数项c，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程： ．
18．（本题3分）已知矩形的一条边长为，对角线，相交于点．若，的长是关于的方程的两个根，则矩形的面积为 ．
三、解答题（共66分）
19．（本题12分）解方程：
(1)　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)
(3) 　 (4)
20．（本题8分）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根，，且，求的值．
21．（本题8分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．
22．（本题8分）已知：平行四边形的两边，的长是关于的方程的两个实数根．
(1)当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长；
(2)若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？
23．（本题10分）在“乡村振兴”工作中，某养殖场从今年起采用“场内+农户”的养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，3月份和5月份的产蛋量分别是2.5万千克与3.6万千克，若该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同，鸡蛋的市场价格为15元/千克．
（1）求养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率；
（2）求养殖场6月份的鸡蛋产值（单位：万元）．
24．（本题10分）某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元．
(1)若销售单价为每件60元，求每天的销售利润；
(2)要使每天销售这种工艺品盈利1350元，每件工艺品售价应为多少元？
(3)公司每天销售这种工艺品获利能否达到2000元？请说明理由．
25．（本题10分）如图，在矩形中，，．点从点出发，沿运动，速度为2个单位长度/秒；点从点出发，向点运动，速度为1个单位长度/秒．、两点同时出发，点运动到点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为秒．连接，，．
(1)当点到达点时，________；当点到终点时，的长为________．
(2)当在上时，如果的面积为9，求的值．
(3)当运动到上时，的长能否等于5？如果能请求出t的值，如果不能，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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《第二十一章　一元二次方程单元素养测评卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A A A A D A B A
1．C
【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解∶A、分母含未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、含2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、含2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C
2．C
【分析】根据去括号、移项及合并同类项即可求解.
【详解】∵一元二次方程可化为，
∴化为一元二次方程的一般形式为．故选C.
3．A
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
【详解】解：因为方程的两根分别是，
所以．
故选：A．
4．A
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，正确掌握配方法解一元二次方程的方法是解题的关键．将常数项移到等号右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方即可．
【详解】
故选：A
5．A
【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式即可进行解答．
【详解】解：
∵，，，
∴，
∴原方程有两个相等的实数根．
故选：A．
6．A
【分析】根据新定义列出关于x的方程，解方程即可．
【详解】解：由题意得，方程，化为，
整理得，，
，
∴，
解得：，，
故选A．
7．D
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答的关键．根据题意，由且求得m的取值范围，进而可得结果．
【详解】解：∵一元二次方程有实数根，
∴且，
解得且，
∴的最大整数值是4，
故选：D．
8．A
【分析】设，是的两个实数根，由根与系数的关系得，，再由代入即可.
【详解】设，是的两个实数根，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴或，
∴，
故选A．
9．B
【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是根据题意找准等量关系．根据单循环赛总场数的计算公式，结合总比赛场数，建立方程求解．
【详解】解：设比赛组织者应邀请个队参赛，每个队需与其他个队比赛一场，但每场比赛被计算了两次，因此总比赛场数为，
根据题意，总场数为场，
故方程为．
故选：B．
10．A
【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使四边形APQC的面积为9cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
【详解】解：设动点P，Q运动t秒后，能使四边形APQC的面积为9cm2，
则BP为（8-t）cm，BQ为2t cm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×（8-t）×2t=9，
解得t1=3，t2=5（当t=5时，BQ=10，不合题意，舍去）．
∴动点P，Q运动3秒时，能使四边形APQC的面积为9cm2．
故答案选：A
11．
【分析】形如，含有一个未知数，未知数的最高次数是2的方程是一元二次方程，根据定义列不等式或方程，从而可得答案.
【详解】解： 方程是关于x的一元二次方程，
由①得：
由②得：
故答案为：
12．2021
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，整体代入即可求出答案．
【详解】解：∵m是一元二次方程的根
∴，
整理得：，
∴
．
故答案为：2021.
13．
【分析】根据根与系数的关系可得+=，=，再把化为，整体代入求值即可.
【详解】解：∵一元二次方程的两根为、，
∴+=，=，
∴=.
故答案为.
14．3
【分析】考查了换元法解一元二次方程，设，由原方程得到求得t的值即可．
【详解】解：设，由原方程得到，
整理，得，
所以或（舍去），
即的值为3．
故答案为：3．
15．20或22/22或20
【分析】先求解方程的两根，然后分两种情况结合三角形的三边关系解答即可.
【详解】解：方程的两根为，
∵方程的两个根分别是等腰三角形腰和底的长，
∴当腰为8，底为6时，可以构成三角形，此时这个三角形的周长是，
当腰为6，底为8时，也可以构成三角形，此时这个三角形的周长是；
故答案为：20或22.
16．
【分析】利用平移的思想把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个矩形，根据矩形面积公式列出方程即可.
【详解】解：因为道路的宽为x m，所以根据题意可得：.
故答案为.
17．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系等知识点，灵活运用根与系数的关系是解题关键．
分别运用根与系数的关系求得正确的b、c的值即可解答．
【详解】解：∵小明看错了一次项系数b，得到的解为，
．
小刚看错了常数项c，得到的解为，
，
．
∴正确的一元二次方程为．
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了根的判别式，矩形的性质，勾股定理，解一元二次方程，由四边形是矩形，则，，又，的长是关于的方程的两个根，故有，求得，从而得，，然后通过勾股定理和面积公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，的长是关于的方程的两个根，
∴，
整理得：，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴矩形面积为，
故答案为：．
19．(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，能灵活的选择适当的方法解方程是关键．
（1）将常数项移到等式右边，然后利用配方法求解即可：等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再直接开方即可求解．
（2）先移项，再提取公因式，利用因式分解法求解即可．
（3）确定，，的值，再运用判定根的情况，利用公式法求解即可．
（4）先利用完全平方公式将等式右边因式分解，再移项，利用平方差公式因式分解求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，．
（2）解：，
，
，
，．
（3）解：，
，，，
，
，
，．
（4）解：，
，
，
，
或．
，．
20．（1）见解析；（2）．
【分析】（1）求出△的值即可证明；
（2），根据根与系数的关系得到，代入，得到关于m的方程，然后解方程即可．
【详解】（1）证明：依题意可得
故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）由根与系数的关系可得：
由，得，解得．
21．可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形
【详解】解：设AB=xm，则BC=（50﹣2x）m．
根据题意可得，x（50﹣2x）=300，
解得：x1=10，x2=15，
当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去）．
答：可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形．
根据可以砌50m长的墙的材料，即总长度是50m，AB=xm，则BC=（50﹣2x）m，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．
22．(1)
(2)5
【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，一元二次方程根的判别式以及根据系数的关系，解一元二次方程，综合运用各知识点是解答本题的关键．
（1）根据菱形的性质可知方程有两个相等的实数根，由根的判别式求出m，进而可求出方程的根；
（2）由的长为2，可知2是方程的一个根，代入方程求出m，根据根与系数的关系可求出平行四边形的周长．
【详解】（1）解：∵平行四边形是菱形，
∴，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
当时，方程为，
解得，
即菱形的边长为；
（2）解：∵，的长是方程的两个实数根，的长为2，
∴，2是方程的一个根，
∴，
∴解得，
∴，
∴，
∴平行四边形的周长为5．
23．（1）20%；（2）64.8万元
【分析】（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x，根据题意列出方程求解即可；
（2）根据（1）中求得的增长率求出6月份的鸡蛋产量，乘以市场单价即可得出结果．
【详解】解：（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x，
根据题意得： 2.5（1+x）2=3.6，
解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去），
答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%；
（2）∵6月份的产蛋量＝3.6（1+20%）＝4.32，
∴养殖场6月份的鸡蛋产值＝15×4.32＝64.8（万元）．
24．(1)1600元
(2)55元
(3)不能，见解析
【分析】（1）利用总利润等于每件的销售利润×每天的销售量，即可求出结论；
（2）设每件工艺品售价为元，则每天的销售量是件，根据利用总利润=每件的销售利润×每天的销售量列方程求解即可；
（3）设每件工艺品售价为元，则每天的销售量是件，利用总利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，根据一元二次方程无解判断即可．
【详解】（1）解：由题意得，（元）．
答：每天的销售利润为1600元；
（2）解：设每件工艺品售价为元，则每天的销售量是件，
由题意得，，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去）．
答：每件工艺品售价应为55元；
（3）解：不能．理由如下：
设每件工艺品售价为元，则每天的销售量是件，
由题意得，，
整理得，，
，
方程无解，
答：利润不能达到2000元．
25．(1)6，4
(2)
(3)的长不能等于5，理由见解析
【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握矩形的性质是解题关键．
（1）先根据矩形的性质可得，再根据路程、速度与时间的关系求解即可得；
（2）先求出当点在上时，，，，则可得，，再根据建立方程，解方程即可得；
（3）假设，先求出当运动到上时，，，，再在中，利用勾股定理建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：∵在矩形中，，，
∴，
∴当点到点时，（秒）；
当点到终点时，（秒），
∴此时点运动的路程为，
又∵，
∴此时点运动到点，
∴此时的长等于，
故答案为：6，4．
（2）解：点从点运动到达点所需时间为秒，
∴当点在上时，，，，
∴，，
∵，且的面积为9，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
所以的值为1．
（3）解：的长不能等于5，理由如下：
假设，
由题意可知，点从点运动到点所需时间为秒，运动到点所需时间为秒，
∴当运动到上时，，，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴在中，，即，
整理得：，
解得或（均不符合题意，舍去），
所以的长度不能等于5．
答案第1页，共2页
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