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1.3探索三角形全等的条件(第2课时)
第一章 三角形
鲁教版七年级上册
学 习 目 标
1
2
3
掌握“角边角”“角角边”判定定理,能运用尺规作图验证并证明三角形全等.
发展几何推理能力,规范书写证明过程,区分“夹边”与“对边”的不同情况.
体会数学的严谨性,通过合作探究培养逻辑思维和转化思想(如AAS→ASA)
知识回顾
对应相等的两个三角形全等,简写为 .
1.三角形全等的条件:
“边边边”
三边
“SSS”
2.三角形具有 ,在生活和工程中广泛应用.
稳定性
几何语言:
在△ABC和△DEF中
∵ AB=DE,
BC=EF,
AC=DF,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
A
B
C
D
E
F
新课引入
木匠需要制作一些三角形支架,已知两个角的度数和它们之间的木板长度,能否确保做出的支架都相同?"
(2)如果给的边不是夹边,而是其中一个角的对边,情况会怎样?
思考
(1)这种情况下我们知道了哪些具体信息?
①三角形的两角及其夹边;
新课引入
由上节课我们知道,如果给出一个三角形三条边的长度,那么因此得到的三角形都是全等.如果已知一个三角形的两角及一边,那么有几种可能的情况呢?
每种情况下得到的三角形都是全等的吗?能否确保木匠做出的支架都相同?下面我们一起来探究吧!
①两角及其夹边;
②两角及其中一角的对边.
合作探究
(1)两角及其夹边(ASA)
如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边,比如三角形的两个内角分别是50°和70°,它们所夹的边为 6 cm,并用尺规作出这个三角形.
50°
70°
6 cm
50°
70°
6 cm
这是我
画的
这是我
画的
两个三角形完全重合,一定全等.
你作的三角形与同伴作的一样吗?
新知讲授
三角形全等的条件:“角边角”
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简称“角边角” ,简记为“ASA”)
因为
∠B = ∠E,
BC = EF,
∠C = ∠F,
几何语言:
所以△ABC≌△DEF(ASA).
D
E
F
A
B
C
新知讲授
回顾上述作图过程,请你总结“已知三角形的两角及其夹边,用尺规作这个三角形”的方法和步骤.
如图,已知∠α,∠β,线段c,用尺规作△ABC,使∠A=∠α,∠B=∠β,AB=c.
α
β
c
作法思路:先作一角,截一边,在边同侧的另一端作另一角.
1.作∠DAF=∠α.
2.在射线 AF上截取线段 AB=c.
3.以点B为顶点,以BA为一边作∠ABE=∠B,BE交AD于点C.
△ABC就是所要作的三角形.
A
α
F
D
B
c
β
C
E
思考
还有其他作法吗?
典例分析
例1 如图,AB与CD相交于点O,O是AB的中点.∠A = ∠B, △AOC和△BOD全等吗?为什么?
A
B
C
D
O
根据两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等即可证明.
解: ∴△AOC≌△BOD .理由如下:
因为O是AB的中点, 所以AO=BO,
在△AOC和△BOD中,
因为点O是AB的中点,所以OA = OB,
又已知∠A = ∠B,且∠AOB = ∠BOD,
根据ASA,所以△AOC≌△BOD.
合作探究
思考·交流
如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边,情况会怎样呢 你能将它转化为两角及其夹边的条件么 与同伴进行交流并举例说明.
如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边,两个三角形全等.
可以转化为两角及其夹边的条件
因为三角形内角和为180°,已知两个角,可以求出第三个角,这样条件就转化为两角及其夹边,从而证明三角形全等.
新课讲授
如图,△ABC和△DEF的两个内角分别是60°和50°,且60°所对的边为 3cm,利用角边角条件证明这两个三角形全等.
解:根据三角形的内角和为180°,所以第三个角度数为 180°-60°-50°=70°.
所以∠C=∠F=70°.
在△ABC 和△DEF中,
∴△ABC ≌△DEF.
A
B
C
D
E
F
50
50
60
60
3
3
∠B=∠E,
BC=EF,
∠C=∠F,
∵
知识归纳
两角分别相等且其中一组对角的对边相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”.
三角形全等的条件:“角角边”
在△ABC和△DEF中,
B
A
C
D
E
F
AC=DF(已知),
所以 △ABC≌△ DEF(AAS).
∠A=∠D(已知),
∠B=∠E (已知),
几何语言:
典例分析
例2,如图,如果DF=CE,∠DAE=∠CBF∠D=∠C,那么△AED≌△BFC成立吗 请说明理由.
典例分析
例3 如图,AB=AE,∠B=∠AED,∠1=∠2,求证:AC=AD..
归纳总结
知识卡片
基础等角
公共角(共享角) 对顶角(必然相等) 直角(所有直角均90°)
场景:共顶点、相交线、直角三角形
2. 角度运算
等角加/减等角 → 和/差相等;例:若∠A=∠B,则∠A+∠C=∠B+∠C
3. 余补性质
同角余角相等 、 等角补角相等
4. 几何工具
角平分线 → 角等分
平行线 → 同位角/内错角
寻找等角的方法
课堂小结
1.如图,某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃,那么最省事的办法是带( )去配
A.① B.② C.③ D.①和②
A
知识点:
根据全等三角形的判定,已知两角及其夹边,就可以确定一个三角形.
随堂练习
知识点:
2.如图,为了测量B点到河对岸的目标A之间的距离,在与B点同侧的河岸上选择了一点C,测得∠ABC=65°,∠ACB=30°,然后在M处立了标杆,使∠CBM=65°,∠MCB=30°,测得MB的长是20米,BC的长是30米,则A,B两点间的距离为( )
A.10米 B.15米 C.20米 D.30米
解:在△ABC和△MBC中,
∠ABC=∠CBM,
∠ACB=∠MCB
BC=BC
∴△ABC≌△MBC(AAS),
∴AB=MB=20米,
∴A,B两点间的距离为20米.
本题考查了全等三角形的判定与性质,利用AAS证明△ABC ≌△MBC,从而利用全等三角形的性质即可解答.
C
随堂练习
知识点:
3.如图,点C在线段BD上,CE∥AB,BC=CE,∠ACB=∠E.求证:△ABC≌△DCE.
【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定,根据“两直线平行,同位角相等”,得出∠ABC=∠DCE,熟练掌握平行线的性质、全等三角形的判定是解题的关键.
证明:∵点C在线段BD上,CE∥AB,
∴∠ABC=∠DCE(两直线平行,同位角相等)
在△ABC和△DCE中,
∠ABC=∠DCE,
BC=CE,
∠ACB=∠E,
∴△ABC≌△DCE(ASA).
随堂练习
(1)证明:∵ AD=BE,
∴ AD+BD=BE+BD,
∴ AB=ED,
在△ABC和△EDF中
∠A=∠E
∠C=∠F
AB=ED,
∴ △ABC≌△EDF(AAS)
本题考查了全等三角形的判定、线段的和差.
知识点:
课堂小结
探索三角形全等的条件(2)
ASA(角边角)
AAS(角角边)
作图应用
条件:两角及其夹边对应相等
结论:两三角形全等
关键点:边必须是两边的夹角
条件:两角及其一角的对边对应相等
结论:两三角形全等
关键点:边是某一角的对边,非夹角
已知两边及其夹角(ASA),可用尺规唯一作出三角形