第二章 直角三角形的边角关系 章末检测（含答案）鲁教版九年级数学上册
文档属性
| 名称 | 第二章 直角三角形的边角关系 章末检测（含答案）鲁教版九年级数学上册 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 817.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-06 13:23:00 | ||
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文档简介
直角三角形的边角关系自我评估
（本试卷满分120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. sin 60°的值等于（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，AD，BC表示两座野外森林观测塔，下列说法正确的是（ ）
A. 从点D看点C的俯角是∠BDC B. 从点C看点D的仰角是∠DCE
C. 从点D看点B的俯角是∠ABD D. 从点B看点D的仰角是∠ADB
第2题图 第4题图
3. 辰辰沿着一斜坡走了100 m，相对于出发点升高了50 m，则这个斜坡的坡度为（ ）
A. 30° B. 1︰2 C. 60° D. 1︰
4. 如图，龙龙从点A出发沿公路a的东西方向前行，在A处测得目标O在其北偏东60°方向200米处，
那么点O到公路的距离为
A. 100米 B. 100米 C. 米 D. 100米
5. 如图，在△ABC中，，BC＝3，，则∠C的度数为（ ）
A. 75° B. 60° C. 45° D. 30°
第5题图 第6题图
6. 如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则tan∠BAD的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 机械钟发明于1656年，通常带有报时功能，又称自鸣钟. 如图，一个钟摆的摆长OA为a，当钟摆从最左侧摆到最右侧时，摆角∠AOB为2x，C是AB的中点，OC与AB交于点D，则CD的长为（ ）
A. asin2x B. acos2x C. a（1﹣sin x） D. a（1﹣cos x）
第7题图 第8题图
如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，sinB＝，则菱形的周长是（ ）
A．10 B．20 C．40 D．28
9. 某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长为（ ）
A. m B. m C. m D. m
第9题图 第10题图
10.【数学文化】1631年，我国学者徐光启和德国传教士邓玉函、汤若望合编的《大测》一书将三角函数的概念传入我国，利用三角函数可以解决关于三角形边长、角度、面积的问题. 如图，在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，过点B作BH⊥AC于点H，则，即AH＝c·cos A，所以CH＝b﹣c·cos A. 在Rt△ABH中，BH2＝AB2﹣AH2，在Rt△BCH中，BH2＝BC2﹣CH2，所以c2﹣c2cos2A＝a2﹣（b﹣c·cos A）2，整理得a2＝b2+c2﹣2bc·cos A. 已知在△ABC中，AB=2，BC=4，∠A=60°，则AC的长为（ ）
A. 2 B. +1 C. -1 D. 3
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 若锐角∠A满足cos A=，则∠A的度数是 .
12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣3，4），射线OB与y轴正半轴的夹角为α，则sin α的值为 .
第12题图 第13题图
13.【跨学科】实验是培养创新能力的重要途径之一. 如图是小铭同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处. 已知试管AB＝30 cm，试管倾斜角α为10°，则酒精灯与铁架台的水平距离CD的长约为 cm.（参考数据：sin 10°≈0.17，cos 10°≈0.98，
tan 10°≈0.18）
14.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB 的平分线，若tanB=，则的值为 .
第14题图 第15题图 第16题图
15. 如图，某电脑显示器由显示屏（矩形ABCD）和支架组成，显示屏对角线AC中点O固定在支架直杆OP一端处，显示屏可绕点O顺时针或逆时针旋转. 已知BC＝56 cm，∠BAC＝58°，为避免在旋转过程中显示屏与支架平台EF发生磕碰，则支架直杆OP的最小值是 cm. （结果精确到1 cm，参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60）
16. 如图，已知在△ABC中，点D在边AB上，AC=AD=3BD，∠DCB=∠A，那么cos∠ACD的值是 .
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17.（每小题4分，共8分）计算：
（1）2cos 30°+sin 45°-tan 60°； （2）tan 45°+6cos 45°-3tan2 30°.
18.（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=，AC=，解这个直角三角形.
第18题图
19.（8分）水果摊位常采用斜面设计，方便展示的同时，可让多余的水分集中流向下水管道，再加上水果色彩丰富，形成视觉冲击，吸引顾客. 如图为一水果摊位侧面示意图，AB，CD分别是水果摊前、后挡板，均与水平地面BC垂直，AB＝50 cm，CD＝140 cm，斜坡AD是水果放置区，坡度为i＝1︰2，求水果放置区的水平宽度BC.
第19题图
20.（8分）如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，线段AB，BC的端点均在小正方形的顶点上.
（1）求tan∠ABC的值；
（2）在图中找一点D，点D在小正方形的顶点上，使.
第20题图
21.（8分）尼山圣境孔子像是世界最高、最大的孔子像. 某项目小组经审批，使用一架无人机在距离地面AC为181米的高空，沿水平直线飞行进行孔子像测绘工作. 如图，无人机悬停在点P处，测得孔子像基座壁AB的顶端B的俯角为63.5°，同时还测得孔子像DH的头顶端D的俯角为37°，且基座的高度AB为18米，基座壁与孔子像的距离BH为40米，求孔子像的高度DH.（结果精确到1米，参考数据：tan 37°≈0.75，tan 63.5°≈2.00）
第21题图 第22题图
22.（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，分别交CD，BC于点H，E，且AH=2CH.
（1）求sin B的值；
（2）若CD=，求CE的长.
23.（10分）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，BE，CD，GF为长度固定的支架，支架在A，D，G处与立柱AH连接（AH垂直于MN，垂足为H），在B，C处与篮板连接（BC所在直线垂直于MN），EF是可以调节长度的伸缩臂（旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度）．已知AD=BC，DH=208 cm，测得∠GAE=60°时，点C离地面的高度为288 cm.调节伸缩臂EF，将∠GAE由60°调节为54°，判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：sin 54°≈0.8，cos 54°≈0.6）
第23题图
24.（12分）【综合与实践】测量学校后山的高度.
数学实践小组对后山地形进行分析，画出示意图如图①，后山一侧有三段相对平直的山坡AB，BC，CD，山的高度即为三段坡面的铅直高度BH，CQ，DR之和，坡面的长度可以直接测量得到，欲求山坡高度还需要知道坡角大小，实践活动过程如下：
（1）【测量坡角】如图②，同学们将两根直杆MN，MP的一端放在坡面起始端A处，直杆MP沿坡面AB方向放置，在直杆MN另一端N用细线系小重物G，当直杆MN与铅垂线NG重合时，测得两杆夹角α的度数，由此可得山坡AB坡角β的度数. 请直接写出α，β之间的数量关系；
（2）【测量山高】实践小组测得山坡AB，BC，CD的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为24°，30°，45°，求后山高DF.（结果精确到0.1米，参考数据：sin 24°≈0.41，）
（3）【测量改进】经过实践发现测量工作量较大，小组成员围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方案：如图③，图④，在学校操场上，将直杆NP置于MN顶端，当MN与铅垂线NG重合时，转动直杆NP，使点N，P，D共线，测得∠MNP的度数，从而得到山顶仰角β1，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角β2；画一个含β1的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a1厘米，b1厘米，再画一个含β2的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a2厘米，b2厘米. 已知直杆高MN为1.6米，请用数学的语言表达后山高DF.（结果用不含β1，β2的字母表示）
① ② ③ ④
第24题图
直角三角形的边角关系自我评估 参考答案
答案详解
16. 解析：过点A作AH⊥CD于点H.设BD=m.因为AC=AD=3BD，所以AC=AD=3m.所以AB=4m.因为∠DCB=∠CAB，∠B=∠B，所以△DCB∽△CAB.所以==，即==，解得BC=2m，CD=m.因为AC=AD，AH⊥CD，所以CH=CD=m.在Rt△ACH中，cos∠ACH===，所以cos∠ACD=.
三、17. 解：（1）原式=2×+×-=1.
（2）原式=1+6× 3×=3.
18. 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=，AC=，所以tan A===.所以∠A=30°.所以AB=2BC=2，∠B=90°-∠A=60°.
19. 解：过点A作AM⊥CD于点M.
易得四边形ABCM是矩形，所以CM＝AB＝50 cm，BC＝AM. 所以DM＝CD﹣CM＝90 cm.
因为斜坡AD的坡度为i＝1︰2，所以.
所以BC＝AM＝180 cm.
答：水果放置区的水平宽度BC为180 cm.
20. 解：（1）如图，连接AC.
由勾股定理，得，，.
所以. 所以△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°.
所以.
（2）如图所示，点D即为所求作.（答案不唯一）
第20题图
21. 解：如图，延长AB交PG于点E，延长CD交PG于点F.
由题意，得AE＝CF＝181米，EF＝BH＝40米，所以HF＝BE＝AE﹣AB＝163（米）.
在Rt△BEP中，∠BPE＝63.5°，所以PE＝≈81.5（米）.
所以PF＝PE+EF＝121.5（米）.
在Rt△DFP中，∠DPF＝37°，所以DF＝PF·tan 37°≈91.125（米）.
所以DH＝HF﹣DF＝71.875≈72（米）.
答：孔子像的高度DH约为72米.
第21题图
22. 解：（1）因为CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，所以CD=AB=BD.所以∠BCD=∠B.
因为AE⊥CD，∠ACB=90°，所以∠CAH+∠ACH=90°，∠BCD+∠ACH=90°.所以∠BCD=∠CAH.所以∠B=∠CAH.
在Rt△ACH中，AH=2CH，由勾股定理，得AC==CH.
所以sin∠CAH=.所以sin B=.
（2）因为CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，所以AB=2CD=.
因为sinB=，所以AC=2.
因为sin∠CAH=，所以AE=CE.
在Rt△ACE中，由勾股定理，得CE2+AC2=AE2，即CE2+22=（CE）2，解得CE=1.
所以CE的长为1.
23. 解：如图①，当∠GAE=60°时，过点C作CK⊥HA，交HA的延长线于点K，则KH=288 cm.
因为BC⊥MN，AH⊥MN，所以BC∥AH.
因为AD=BC，所以四边形ABCD是平行四边形.
所以AB∥CD.所以∠ADC=∠GAE=60°.
在Rt△CDK中，∠CDK=60°，DK=KH-DH=288-208=80（cm），所以CD===160（cm）.
① ②
第23题图
如图②，当∠GAE=54°时，过点C作CQ⊥HA，交HA的延长线于点Q.
在Rt△CDQ中，∠CDQ=54°，CD=160 cm，所以DQ=CD cos∠CDQ≈160×0.6=96（cm）.
96-80=16（cm）.
所以点C离地面的高度升高了，升高了约16 cm.
24. 解：（1）α+β＝90°.
（2）在Rt△ABH中，AB＝40，∠BAH＝24°，所以BH＝AB·sin 24°≈16.4（米）.
在Rt△BCQ中，BC＝50，∠CBQ＝30°，所以（米）.
在Rt△CDR中，CD＝40，∠DCR＝45°，所以DR＝CD·sin 45°＝≈28.2（米）.
所以DF＝BH+CQ+DR＝69.6（米）.
答：后山高DF约为69.6米.
（3）由题意，得NN'＝MM'＝40米，，.
在Rt△DNL中，，所以.
在Rt△DN′L中，，所以.
因为NL﹣N'L＝NN'＝40，所以，解得.
所以DF＝DL+LF＝米.
答：后山高DF为米.
答案速览
一、1. A 2. B 3. D 4. A 5. C 6. B 7. D 8. C 9. B 10. B
二、11. 30° 12. 13. 19.6 14. 15. 33 16.
三、解答题见“答案详解”
（本试卷满分120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. sin 60°的值等于（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，AD，BC表示两座野外森林观测塔，下列说法正确的是（ ）
A. 从点D看点C的俯角是∠BDC B. 从点C看点D的仰角是∠DCE
C. 从点D看点B的俯角是∠ABD D. 从点B看点D的仰角是∠ADB
第2题图 第4题图
3. 辰辰沿着一斜坡走了100 m，相对于出发点升高了50 m，则这个斜坡的坡度为（ ）
A. 30° B. 1︰2 C. 60° D. 1︰
4. 如图，龙龙从点A出发沿公路a的东西方向前行，在A处测得目标O在其北偏东60°方向200米处，
那么点O到公路的距离为
A. 100米 B. 100米 C. 米 D. 100米
5. 如图，在△ABC中，，BC＝3，，则∠C的度数为（ ）
A. 75° B. 60° C. 45° D. 30°
第5题图 第6题图
6. 如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则tan∠BAD的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 机械钟发明于1656年，通常带有报时功能，又称自鸣钟. 如图，一个钟摆的摆长OA为a，当钟摆从最左侧摆到最右侧时，摆角∠AOB为2x，C是AB的中点，OC与AB交于点D，则CD的长为（ ）
A. asin2x B. acos2x C. a（1﹣sin x） D. a（1﹣cos x）
第7题图 第8题图
如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，sinB＝，则菱形的周长是（ ）
A．10 B．20 C．40 D．28
9. 某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长为（ ）
A. m B. m C. m D. m
第9题图 第10题图
10.【数学文化】1631年，我国学者徐光启和德国传教士邓玉函、汤若望合编的《大测》一书将三角函数的概念传入我国，利用三角函数可以解决关于三角形边长、角度、面积的问题. 如图，在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，过点B作BH⊥AC于点H，则，即AH＝c·cos A，所以CH＝b﹣c·cos A. 在Rt△ABH中，BH2＝AB2﹣AH2，在Rt△BCH中，BH2＝BC2﹣CH2，所以c2﹣c2cos2A＝a2﹣（b﹣c·cos A）2，整理得a2＝b2+c2﹣2bc·cos A. 已知在△ABC中，AB=2，BC=4，∠A=60°，则AC的长为（ ）
A. 2 B. +1 C. -1 D. 3
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 若锐角∠A满足cos A=，则∠A的度数是 .
12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣3，4），射线OB与y轴正半轴的夹角为α，则sin α的值为 .
第12题图 第13题图
13.【跨学科】实验是培养创新能力的重要途径之一. 如图是小铭同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处. 已知试管AB＝30 cm，试管倾斜角α为10°，则酒精灯与铁架台的水平距离CD的长约为 cm.（参考数据：sin 10°≈0.17，cos 10°≈0.98，
tan 10°≈0.18）
14.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB 的平分线，若tanB=，则的值为 .
第14题图 第15题图 第16题图
15. 如图，某电脑显示器由显示屏（矩形ABCD）和支架组成，显示屏对角线AC中点O固定在支架直杆OP一端处，显示屏可绕点O顺时针或逆时针旋转. 已知BC＝56 cm，∠BAC＝58°，为避免在旋转过程中显示屏与支架平台EF发生磕碰，则支架直杆OP的最小值是 cm. （结果精确到1 cm，参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60）
16. 如图，已知在△ABC中，点D在边AB上，AC=AD=3BD，∠DCB=∠A，那么cos∠ACD的值是 .
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17.（每小题4分，共8分）计算：
（1）2cos 30°+sin 45°-tan 60°； （2）tan 45°+6cos 45°-3tan2 30°.
18.（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=，AC=，解这个直角三角形.
第18题图
19.（8分）水果摊位常采用斜面设计，方便展示的同时，可让多余的水分集中流向下水管道，再加上水果色彩丰富，形成视觉冲击，吸引顾客. 如图为一水果摊位侧面示意图，AB，CD分别是水果摊前、后挡板，均与水平地面BC垂直，AB＝50 cm，CD＝140 cm，斜坡AD是水果放置区，坡度为i＝1︰2，求水果放置区的水平宽度BC.
第19题图
20.（8分）如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，线段AB，BC的端点均在小正方形的顶点上.
（1）求tan∠ABC的值；
（2）在图中找一点D，点D在小正方形的顶点上，使.
第20题图
21.（8分）尼山圣境孔子像是世界最高、最大的孔子像. 某项目小组经审批，使用一架无人机在距离地面AC为181米的高空，沿水平直线飞行进行孔子像测绘工作. 如图，无人机悬停在点P处，测得孔子像基座壁AB的顶端B的俯角为63.5°，同时还测得孔子像DH的头顶端D的俯角为37°，且基座的高度AB为18米，基座壁与孔子像的距离BH为40米，求孔子像的高度DH.（结果精确到1米，参考数据：tan 37°≈0.75，tan 63.5°≈2.00）
第21题图 第22题图
22.（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，分别交CD，BC于点H，E，且AH=2CH.
（1）求sin B的值；
（2）若CD=，求CE的长.
23.（10分）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，BE，CD，GF为长度固定的支架，支架在A，D，G处与立柱AH连接（AH垂直于MN，垂足为H），在B，C处与篮板连接（BC所在直线垂直于MN），EF是可以调节长度的伸缩臂（旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度）．已知AD=BC，DH=208 cm，测得∠GAE=60°时，点C离地面的高度为288 cm.调节伸缩臂EF，将∠GAE由60°调节为54°，判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：sin 54°≈0.8，cos 54°≈0.6）
第23题图
24.（12分）【综合与实践】测量学校后山的高度.
数学实践小组对后山地形进行分析，画出示意图如图①，后山一侧有三段相对平直的山坡AB，BC，CD，山的高度即为三段坡面的铅直高度BH，CQ，DR之和，坡面的长度可以直接测量得到，欲求山坡高度还需要知道坡角大小，实践活动过程如下：
（1）【测量坡角】如图②，同学们将两根直杆MN，MP的一端放在坡面起始端A处，直杆MP沿坡面AB方向放置，在直杆MN另一端N用细线系小重物G，当直杆MN与铅垂线NG重合时，测得两杆夹角α的度数，由此可得山坡AB坡角β的度数. 请直接写出α，β之间的数量关系；
（2）【测量山高】实践小组测得山坡AB，BC，CD的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为24°，30°，45°，求后山高DF.（结果精确到0.1米，参考数据：sin 24°≈0.41，）
（3）【测量改进】经过实践发现测量工作量较大，小组成员围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方案：如图③，图④，在学校操场上，将直杆NP置于MN顶端，当MN与铅垂线NG重合时，转动直杆NP，使点N，P，D共线，测得∠MNP的度数，从而得到山顶仰角β1，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角β2；画一个含β1的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a1厘米，b1厘米，再画一个含β2的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a2厘米，b2厘米. 已知直杆高MN为1.6米，请用数学的语言表达后山高DF.（结果用不含β1，β2的字母表示）
① ② ③ ④
第24题图
直角三角形的边角关系自我评估 参考答案
答案详解
16. 解析：过点A作AH⊥CD于点H.设BD=m.因为AC=AD=3BD，所以AC=AD=3m.所以AB=4m.因为∠DCB=∠CAB，∠B=∠B，所以△DCB∽△CAB.所以==，即==，解得BC=2m，CD=m.因为AC=AD，AH⊥CD，所以CH=CD=m.在Rt△ACH中，cos∠ACH===，所以cos∠ACD=.
三、17. 解：（1）原式=2×+×-=1.
（2）原式=1+6× 3×=3.
18. 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=，AC=，所以tan A===.所以∠A=30°.所以AB=2BC=2，∠B=90°-∠A=60°.
19. 解：过点A作AM⊥CD于点M.
易得四边形ABCM是矩形，所以CM＝AB＝50 cm，BC＝AM. 所以DM＝CD﹣CM＝90 cm.
因为斜坡AD的坡度为i＝1︰2，所以.
所以BC＝AM＝180 cm.
答：水果放置区的水平宽度BC为180 cm.
20. 解：（1）如图，连接AC.
由勾股定理，得，，.
所以. 所以△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°.
所以.
（2）如图所示，点D即为所求作.（答案不唯一）
第20题图
21. 解：如图，延长AB交PG于点E，延长CD交PG于点F.
由题意，得AE＝CF＝181米，EF＝BH＝40米，所以HF＝BE＝AE﹣AB＝163（米）.
在Rt△BEP中，∠BPE＝63.5°，所以PE＝≈81.5（米）.
所以PF＝PE+EF＝121.5（米）.
在Rt△DFP中，∠DPF＝37°，所以DF＝PF·tan 37°≈91.125（米）.
所以DH＝HF﹣DF＝71.875≈72（米）.
答：孔子像的高度DH约为72米.
第21题图
22. 解：（1）因为CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，所以CD=AB=BD.所以∠BCD=∠B.
因为AE⊥CD，∠ACB=90°，所以∠CAH+∠ACH=90°，∠BCD+∠ACH=90°.所以∠BCD=∠CAH.所以∠B=∠CAH.
在Rt△ACH中，AH=2CH，由勾股定理，得AC==CH.
所以sin∠CAH=.所以sin B=.
（2）因为CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，所以AB=2CD=.
因为sinB=，所以AC=2.
因为sin∠CAH=，所以AE=CE.
在Rt△ACE中，由勾股定理，得CE2+AC2=AE2，即CE2+22=（CE）2，解得CE=1.
所以CE的长为1.
23. 解：如图①，当∠GAE=60°时，过点C作CK⊥HA，交HA的延长线于点K，则KH=288 cm.
因为BC⊥MN，AH⊥MN，所以BC∥AH.
因为AD=BC，所以四边形ABCD是平行四边形.
所以AB∥CD.所以∠ADC=∠GAE=60°.
在Rt△CDK中，∠CDK=60°，DK=KH-DH=288-208=80（cm），所以CD===160（cm）.
① ②
第23题图
如图②，当∠GAE=54°时，过点C作CQ⊥HA，交HA的延长线于点Q.
在Rt△CDQ中，∠CDQ=54°，CD=160 cm，所以DQ=CD cos∠CDQ≈160×0.6=96（cm）.
96-80=16（cm）.
所以点C离地面的高度升高了，升高了约16 cm.
24. 解：（1）α+β＝90°.
（2）在Rt△ABH中，AB＝40，∠BAH＝24°，所以BH＝AB·sin 24°≈16.4（米）.
在Rt△BCQ中，BC＝50，∠CBQ＝30°，所以（米）.
在Rt△CDR中，CD＝40，∠DCR＝45°，所以DR＝CD·sin 45°＝≈28.2（米）.
所以DF＝BH+CQ+DR＝69.6（米）.
答：后山高DF约为69.6米.
（3）由题意，得NN'＝MM'＝40米，，.
在Rt△DNL中，，所以.
在Rt△DN′L中，，所以.
因为NL﹣N'L＝NN'＝40，所以，解得.
所以DF＝DL+LF＝米.
答：后山高DF为米.
答案速览
一、1. A 2. B 3. D 4. A 5. C 6. B 7. D 8. C 9. B 10. B
二、11. 30° 12. 13. 19.6 14. 15. 33 16.
三、解答题见“答案详解”