黑龙江省牡丹江市第一高级中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷（含解析）

2024 级高二学年上学期 9 月考试
数学试题
时长：120 分钟 分值：150 分
一、单选题（每题 5 分，共 40 分）
1、过 A m2 , m 3 , B 1, 2m2 两点的直线l 的倾斜角为 135°，则m 的值为（ ）.
7、如图，已知 F1 2, 0 ， F2 2, 0 ， M 是圆O : x2 y2 1上任意一点，点 F1 关于点M 的对称点为 N ，线段 F1 N 的垂直平分线与直线 F2 N 相交于点T ，记点T 的轨迹为曲线 E ，若点 1, m 在曲线 E 上，则m （ ）
A． 1或2 B． 2 C． 1
D． 2
1
A．0 B． 2 C．1
2、已知直线l1： 2a 1 x ay 1 0 ，
l2： a 2 x ay 2 0 ，则“ a 1 ”是“ l1//l2 ”的（ ）
D．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
x2 y2
F F PF PF
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8、设椭圆 E：

a2 b
2 1 a b 0 的左右焦点分别为 1 ， 2 ，椭圆 E 上点 P 满足 1 2 ，直
l : x y 1 0
l : x y 3 0
线 PF 和直线 PF 分别和椭圆 E 交于异于点 P 的点 A 和点 B，若
2 ，则椭圆 E 的离心率为
3、若某直线被两平行线 1 与 2
角大小为（ ）
所截得的线段的长为2
，则该直线的倾斜 1
（ ）
2 3
A．15 B．15 或75 C． 30 D． 30 或150
4、已知直线3x 4 y 4 0 与圆M : x2 y2 2ax 0 a 0 相切，则圆M 和圆 N : (x 1)2 ( y 1)2 1
3
2
5
3
10
4
17
5
的位置关系是（ ）
外离 B．外切 C．相交 D．内切
二、多选题（每题 6 分，共 18 分）
9、已知 x2 y2 4x 6 y k 0 表示圆，则下列结论正确的是（ ）
5、一条光线从点
A( 2, 0)
射出，经过直线
l : x y 4 0
反射后，反射光线经过椭圆 x
y2
1 的右
焦点，则反射光线所在直线的方程为（ ）
9 5 A．圆心坐标为 2,3
C．圆心到直线 x y 1 0 的距离为
当k 0 时，半径r
当k 4 时，圆面积为9π
x y 2 0
x2 y2
x y 2 0
3x y 6 0
F , F
3x y 6 0
M , N F
10 下列说法正确的是（ ）
6、已知椭圆C :

a2 b
2 1 a b 0 的左、右焦点分别为 1 2 ，左右顶点分别为
，过 2 的直
A．直线l 的一个方向向量为 d ( 1,2) ，则直线l 的斜率等于 1
线l 交C 于 A, B 两点（异于点M , N ）， AF B 的周长为4 3 ，且直线 AM 与 AN 的斜率之积为 2 ， 2
1
则椭圆C 的标准方程为 （ ）
3 B．“ a 1 ”是“直线a2 x y 1 0 与直线 x ay 2 0 互相垂直”的充要条件
当点 P 3, 2 到直线mx y 1 2m 0 的距离最大时， m 的值为 1
x2 y2
A．
x2 y2
B．
3 2 3 4
已知直线l 过定点 P 1, 0 且与以 A 2, 3 ，B 3, 2 为端点的线段有交点，则直线l 的斜率k
x2 y2
C．
x2 y2
D．
12 8 12 4
的取值范围是 ∞, 3 1 , ∞
2
已知椭圆
x2 2
4
1，斜率为k 且不经过原点O 的直线l 与椭圆相交于
A, B
两点，M 为线段 AB
16、已知直线l : mx 2m 1 y 2 0 ，圆C : x2 y2 6x 6 y 9 0 ，圆C ：
的中点，则下列结论正确的是（ ）
直线 AB 与OM 垂直
若点M 的坐标为(1, 1 ) ，则直线l 的方程为 x 2 y 2 0
2
1 2
(x 2)2 ( y 3)2 16 .
判断直线l 与圆C1 的位置关系，并说明理由；
6 3
圆C1 与圆C2 交于 A B 两点，求过 A B 与 , 这三点的圆的方程.
若直线l 的方程为
y x 1
3
，则点M 的坐标为(3, 4)
5 5
若直线l 过椭圆的焦点，则1 AB 4
17、已知椭圆C : x
2
2 1 a b 0 长轴长为 4，且椭圆C 的离心率
，其左右焦点分别为 F1 , F2 ．
三、填空题（每题 5 分，共 15 分）
x2 y2
12、双曲线 1(a 0) 的两个焦点分别是 F 与 F ,焦距为 8； M 是双曲线上的一点，且
a2 12 1 2
MF1 5 ，求 MF2 .
13、已知 ABC 的顶点 A(5,1) ,边 AB 上的中线CM 所在直线方程为2x y 5 0 ，边 AC 上的高
BH 所在直线方程为 x 2 y 5 0. 则直线 BC 的方程为 .
a b 2
求椭圆C 的方程；
设过点 F2 且倾斜角为150 的直线l 与椭圆C 交于 P, Q 两点，分别求VF1PQ 的周长和面积．
18、已知圆 C： x 2 2 y2 1，点 P 是直线 l： x y 0 上一动点，过点 P 作圆 C 的两条切线，切点分别为 A，B．
若 P 的坐标为 P 3, 3 ，求过点 P 的切线方程；
14、已知点 P 在圆 x
2 y2
6 y 8 0 上，点 Q 在椭圆
x2
a2 y
1 (a >1)
上，且
PQ 的最大值等于 5，
试问直线 AB 是否恒过定点，若是，求出这个定点，若否说明理由；
直线 x y m 0 与圆 C 交于 E，F 两点，求OE OF 的取值范围（O 为坐标原点）.
则椭圆的离心率的最大值为 .
四、解答题（15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，共 77 分）
2
19、如图，椭圆的方程为
2
y2
1，左、右焦点分别为
F1 c, 0 , F2 c, 0 ．设
A, B
是椭圆上位于 x
15、已知直线l1 : x 2 y 3 0, l2 : 2x 3y 8 0 .
轴上方的两点，且直线 AF1 与直线 BF2 平行，AF2 与 BF1 交于点 P ．
A(1, 4) l
若 AF BF 6 ，求直线 AF 的斜率；
求经过点
且与直线 2 垂直的直线方程；
1 2 2
求经过直线l1 与l2 的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程.
求证： PF1 PF2 是定值．
一、选择题：
2024 级高二学年上学期 9 月考试
数学试题答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B C B C C A A D BCD CD BD
二、填空题：
12、 9 . 13、6x 5 y 9 0
. 14、 3
2
三、解答题：
15、已知直线l1 : x 2 y 3 0, l2 : 2x 3y 8 0 .
求经过点 A(1, 4) 且与直线l2 垂直的直线方程；
求经过直线l1 与l2 的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程.
16、已知直线l : mx 2m 1 y 2 0 ，圆C : x2 y2 6x 6 y 9 0 ，圆C ：
1 2
(x 2)2 ( y 3)2 16 .
判断直线l 与圆C1 的位置关系，并说明理由；
圆C 与圆C 交于 A B 两点，求过 A B 与 6 , 3 这三点的圆的方程.
1 2

a b 2
为 F1 , F2 ．
求椭圆C 的方程；
设过点 F2 且倾斜角为150 的直线l 与椭圆C 交于 P, Q 两点，分别求VF1PQ 的周长和面积．
18、已知圆 C： x 2 2 y2 1，点 P 是直线 l： x y 0 上一动点，过点 P 作圆 C 的两条切线，切点分别为 A，B．
若 P 的坐标为 P 3, 3 ，求过点 P 的切线方程；
试问直线 AB 是否恒过定点，若是，求出这个定点，若否说明理由；
直线 x y m 0 与圆 C 交于 E，F 两点，求OE OF 的取值范围（O 为坐标原点）.
【答案】(1) x 3 或4x 3y 3 0 ，(2) ( 3 , 1 )
2 2
(3)[2, 5 2 2)
【详解】（1）
由图像易知： x 3 是其一条切线，
设另切线方程为 y 3 k x 3 ，即kx y 3k 3 0
圆心坐标为(2, 0) ，半径r 1
根据圆的切线的定义可知： d 1 ，即 k 3 2 k 2 1
1 k 2
解得：
k 4
3
代回方程可求得切线方程为： 4x 3y 3 0
所以 x 3 或4x 3y 3 0 ，
过点 P 的切线方程为： x 3 或4x 3y 3 0 ，
（2）
∵圆C： x 2 2 y2 1
∴圆心C 2, 0 ，半径r 1，
设 P t, t ，由题意知 A, B 在以 PC 为直径的圆上，又
C 2, 0 ,
∴以 PC 为直径的圆的方程为： (x t)(x 2) ( y t)( y 0) 0 ，即
x2 y2 (t 2)x ty 2t 0
又圆 C： (x 2)2 y2 1，即 x2 y2 4x 3 0
故直线 AB 的方程为 2 t x ty 3 2t＝0 ，即2x 3 t(x y 2)＝0
2x 3 0
由
，解得 x 3 ， y 1
x y 2 0 2 2
3 1
即直线 AB 恒过定点( , ) .
2 2
19、如图，椭圆的方程为
x2
2
y2
1，左、右焦点分别为
F1 c, 0 , F2 c, 0 ．设
A, B
是椭圆
上位于 x 轴上方的两点，且直线 AF1 与直线 BF2 平行， AF2 与 BF1 交于点 P ．
2 AF1 BF2
AF1 BF2