湖南省株洲世纪星高级中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试卷（含解析）

株洲世纪星高级中学 2025 级高一年级第一次月考
数学试题卷
（本试卷共 4 页， 19 题， 全卷满分: 150 分， 考试时间: 120 分钟）
注意事项:1. 答题前， 先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
选择题的作答： 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
考试结束后，试题卷自行妥善保管，答题卡统一上交.
第一部分（选择题 共 58 分）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
命题“ x0∈R，x 2+2x +2≤0”的否定是（ ）
x∈R，x2+2x+2＞0 B. x∈R，x2+2x+2≥0
C. x0∈R，x 2+2x +2＜0 D. x∈R，x 2+2x +2＞0
集合 A {1, 2,3, 4}， B {3, 4, 5, 6}，则图中阴影部分表示的集合为
A. B. {1, 2} C. {3, 4} D. {5, 6}
集合 M X | X kπ π Z ， N X | X kπ π Z ，则（ ）
, k
2 4
4 4 , k
M = N

M N

N M
M N
下列说法中正确的是（ ）
当 x 0 时，
1 2
当 x 2 时， x 1 的最小值是 2
x
当 x 5 时， y 4x 2
4
1
4x 5
的最小值是 5 D. 若 a 0 ，则 a3 1
a2
的最小值为2
十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈
利奥特首次使用“＞”和“＜”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知 a, b
为非零实数，且 a b ；则下列结论正确的是（ ）
b a
a b
ab2 a2b
a2 b2
1

ab2
1
a2b
下面关于集合的表示正确的个数是（ ）
① 2，3 3，2 ； ② (x，y) x y 1 y x y 1 ；
③ x x 1 y y 1 ； ④ x x y 1 y x y 1 ．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
集合 M y N y x2 5, x Z 的真子集个数是
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
2014 年 6 月 22 日，卡塔尔首都多哈召开的第 38 届世界遗产大会上宣布:中国大运河项目成功入选世界文化遗产名录，成为中国第 46 个世界遗产项目.随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的的.今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头.已知游船在顺水中的速度为v1 ，在逆水中的速度为v2
（ v v ），则游船此次行程的平均速度v 与 v1 v2 的大小关系是（ ）
1 2
A. v v1 v2
2
B. v v1 v2
2
2
C. v v1 v2
2
D. v v1 v2
2
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9 已知集合 A x, y | y x 1 ， B x, y | y 1 x ，则 A ∩ B （ ）
A 1, 0
B. 1, 0
C. 1, 0
D. x, y | x 1
y 0
下面选项判断错误的有（ ）
a b 2

ab
成立的条件是 ab 0
2

若 a 0 ，则a2 1 的最小值为2
a
函数 f (x)
1
的最小值等于2 ；
函数 f (x) x
4
x 1
(x 1) 的最大值为 3
已知正数 a, b 满足4a b ab 5 ，则下列结论正确的是（ ）
A. ab 的最大值为 1 B. 4a b 的最小值为 4
1 1 10
C. 16a2 b2 的最小值为 9 D.
a 1 b
的最小值为
9
第二部分（非选择题 共 92 分）三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
已知集合 A x | 2 x 3 ， B x | 1 x 4 ，则 A ∪ B .
已知两个正数 x ， y 满足 x y 4 ，则使不等式 1 4 m 恒成立的实数m 的范围是 .
x y
若 A x 2a 1 x 2a 1 ， B x x 3 或 x 1 ，且 A 是 B 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.
已知集合 A= x 0 ≤x ≤2 ， B= x a ≤x ≤3 2a ．
若 R A ∪ B R ，求实数a 的取值范围；
若 A ∩ B B ，求实数a 的取值范围．
已知集合 A {x | 2 x 1 5}、集合 B {x | m 1 x 2m 1}（ m R ）.
若 A ∩ B ，求实数m 的取值范围；
设命题 p ： x A ；命题 q ： x B ，若命题 p 是命题 q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.
已知集合 A x N x 4 ， B x ax 1 0 ．请从① A ∪ B B ，② A ∩ B A ，③


A R B 这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
（1）当 a 1 时，求 A B ；
2
（2）若 ，求实数 a 的取值范围．
已知实数 a 、b 满足： 9a2 b2 4ab 10 .
求ab 和3a b 的最大值；
求9a2 b2 的最小值和最大值.
发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为 3 米，宽度为 x 6,10 （单位：米），地面面积为 81 平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：
方案一：储物室的墙面报价为每平方米 200 元，屋顶和地面报价共计 7200 元，总计报价记为 P x ；
方案二：其给出的整体报价为 f x 1200m 3 1 元， m 0
x

当宽度为 8 米时，方案二的报价为 29700 元，求m 的值；
求 P x 的函数解析式，并求报价的最小值；
若对任意的 x 6,10 时，方案二都比方案一省钱，求m 的取值范围.
株洲世纪星高级中学 2025 级高一年级第一次月考
数学试题卷
（本试卷共 4 页， 19 题， 全卷满分: 150 分， 考试时间: 120 分钟）
注意事项:1. 答题前， 先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
选择题的作答： 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
考试结束后，试题卷自行妥善保管，答题卡统一上交.
第一部分（选择题 共 58 分）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
命题“ x0∈R，x 2+2x +2≤0”的否定是（ ）
x∈R，x2+2x+2＞0 B. x∈R，x2+2x+2≥0
C. x0∈R，x 2+2x +2＜0 D. x∈R，x 2+2x +2＞0
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“ x0∈R，x 2+2x +2≤0”的否定是： x∈R，x2+2x+2
＞0． 故选 A．
集合 A {1, 2,3, 4}， B {3, 4, 5, 6}，则图中阴影部分表示的集合为
A. B. {1, 2} C. {3, 4} D. {5, 6}
【答案】B
【解析】
【详解】图中阴影部分表示为CA A B ，因为 A B= 3，4 ，所以CA A B = 1，2 ，故选 B .
集合 M X | X kπ π Z ， N X | X kπ π
Z ，则（ ）
, k
2 4
4 4 , k
M = N
【答案】B

M N

N M
M N
【解析】
【分析】对集合 M 和 N 化为统一的形式，再进行比较.
【详解】解：
kπ π
2k 1 π
对于集合 M ： X ， k Z
2 4 4
kπ π k 1 π
对于集合 N ： X ， k Z
4 4 4
Q 2k 1是奇数， k 1 是整数，
M N
故选： B
【点睛】本题考查集合之间的关系，属于基础题.
下列说法中正确的是（ ）
当 x 0 时，
1 2
当 x 2 时， x 1 的最小值是 2
x
当 x 5 时， y 4x 2
4
【答案】A
【解析】
1
4x 5
的最小值是 5 D. 若 a 0 ，则 a3 1
a2
的最小值为2
【分析】根据基本不等式适用的条件“一正二定三相等”依次讨论各选项即可求得答案．
【详解】对于 A 选项， x 0 时，
1
2 ，当且仅当
1
即 x 1 时取等号，A 正确；
对于 B 选项，当 x 2 时， y x 1 单调递增，故 y 5 ，没有最小值，B 错误；
x 2
对于 C 选项， x 5 可得4x 5 0 ，
4
y 4x 2 1 4x 5 1 3 5 4x 1 3 1，即最大值为 1，
4x 5 4x 5 5 4x

没有最小值，C 错误；
对于 D 选项， a3 1
a2
2
2
，不是定值，D 不正确.
故选：A.
十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈
利奥特首次使用“＞”和“＜”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知 a, b
为非零实数，且 a b ；则下列结论正确的是（ ）
b a
a b
【答案】D
【解析】
ab2 a2b
a2 b2
1

ab2
1
a2b
【分析】根据各项不等式，利用作差法、特殊值，结合不等式性质判断正误即可.
【详解】A：
b a b2 a2
，若 a b 0 有b a b ab
2 a2
0, ab 0 ，故
b a a b
，A 错误；
B： ab2 a2b ab(b a) ，若 a b 0 有b a 0 ，又 ab 0 ，故ab2 a2b ，B 错误；
C：若 a 1 b -2 ，则 a2 b2 ，C 错误；
D： 1 1
1 1 1
a b
0 ，故 1
1 ，D 正确.
ab2
a2b ab b a
(ab)2
ab2
a2b
故选：D
下面关于集合的表示正确的个数是（ ）
① 2，3 3，2 ； ② (x，y) x y 1 y x y 1 ；
③ x x 1 y y 1 ； ④ x x y 1 y x y 1 ．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【详解】∵集合中的元素具有无序性，∴①{2，3}={3，2}，①不成立；
{（x，y）x+y=1}是点集，而{yx+y=1}不是点集，②不成立；
由集合的性质知③④正确．
故选 C．
集合 M y N y x2 5, x Z 的真子集个数是
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】先求得集合 M 中元素的个数，由此求得其真子集的个数.
【详解】依题意 M 5, 4,1 共有3 个元素，故真子集个数为23 1 7 .故选 C.
【点睛】本小题主要考查集合元素，考查集合真子集个数的计算，属于基础题.
2014 年 6 月 22 日，卡塔尔首都多哈召开的第 38 届世界遗产大会上宣布:中国大运河项目成功入选世界文化遗产名录，成为中国第 46 个世界遗产项目.随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的的.今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头.已知游船在顺水中的速度为v1 ，在逆水中的速度为v2
（ v v ），则游船此次行程的平均速度v 与 v1 v2 的大小关系是（ ）
1 2
v v1 v2
2
v v1 v2
2
2
v v1 v2
2
v v1 v2
2
【答案】C
【解析】
2v v
v v v v 2
【分析】先计算平均速度v 1 2 ，再计算v 1 2 1 2 0 得到答案.
v1 v2
2 v v
1 2
v 2S 2v1v2
【详解】设两码头距离为S ，则
S S v1 v2
v1 v2
v v 2v v v v 4v v v v 2 v v 2
v v
v 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0(v v ) 即v 1 2
2 v v 2
2 v v
2 v v 1 2 2
1 2 1 2 1 2
故选 C
【点睛】本题考查了不等式的应用，意在考查学生的应用能力.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
已知集合 A x, y | y x 1 ， B x, y | y 1 x ，则 A ∩ B （ ）
1, 0
1, 0
1, 0
x, y | x 1
y 0
【答案】CD
【解析】

【分析】
y 1 x y 0
先解方程组 y x 1得 x 1 ，再根据集合的运算即可得答案.

y 1 x y 0
【详解】解：根据题意解方程组 y x 1得 x 1 ，

所以 A B x, y y x 1 x, y y 1 x 1, 0 x, y x 1 .
故选：CD.
下面选项判断错误的有（ ）
a b 2

ab
成立的条件是 ab 0
2

若 a 0 ，则a2 1 的最小值为2
a
函数 f (x)
1
的最小值等于2 ；
函数 f (x) x
【答案】ABC
4
x 1
(x 1) 的最大值为 3
【解析】
a b 2 1
1 1 1 1 1
【分析】由
ab
(a b)2 0，可判定 A 不正确；由a2 a2 33 a2 ，可
2 4
a 2a 2a
2a 2a
判定 B 不正确；根据基本不等式，可判定 C 不正确，D 正确.
a b 2
【详解】对于 A 中，由
a2 b2 2ab a2 b2 2ab
1 (a b)2 0 ，
2
a b 2
4 4 4
所以对于任意实数 a, b ，都有 ab
成立，所以 A 不正确；
2

对于 B 中，若 a 0 ，由 a2
1 a2 33 a2 33 ，
a 2a 2a 2a 2a 4 2
当且仅当
a2
1 时，即 a 时，等号成立，所以
2a 2
a2 1
a
的最小值为 ，
2
所以 B 不正确；对于 C 中，由
1 2
2 ，
当且仅当
所以 f (x)


1
时，即 x2 2 1，此时不成立，
1
的最小值不等于2 ，所以 C 不正确；
对于 D 中，当 x 1时，可得1 x 0 ，
由 x 4 x 1
4 1 [(1 x) 4 ] 1 2
1 3 ，
x 1 x 1 1 x
当且仅当1 x 4 时，即 x 1 时，等号成立，
1 x
所以. 函数 f (x) x
故选：ABC.
4
x 1
(x 1) 的最大值为 3 ，所以 D 正确.
已知正数 a, b 满足4a b ab 5 ，则下列结论正确的是（ ）
ab 的最大值为 1 B. 4a b 的最小值为 4
1 1 10
C. 16a2 b2 的最小值为 9 D. 的最小值为
a 1 b 9
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据均值不等式分别建立不等式解不等式可判断 AB，先变形16a2 b2 为关于 ab 的二次函数求最
值判断 C，利用条件变形可得 a 1 (b 4) 9 ，转化 1
a 1
1 为关于b 的式子由均值不等式判断 D.
b
【详解】由正数 a, b 满足4a b ab 5 ，可得4a b 5 ab 4
当且仅当4a b ，即 a 1 ,b 2 时等号成立，故 A 正确；
2
，解得0 1，即 ab 1，
1 1 4a b 2
由正数 a, b 满足4a b ab 5 ，可得4a b 5 4 4ab 4 2 ，

解得4a b 4 或4a b 20 （舍去），当且仅当4a b ，即 a 1 ,b 2 时等号成立，故 B 正确；
2
16a2 b2 (4a b)2 8ab 5 ab 2 8ab ab 9 2 56 ，由 A 知 ab 1，
由二次函数的单调性知 ab 9 2 56 (1 9)2 56 8 ，即ab 1 时，16a2 b2 的最小值为 8，故 C 错
误；
由4a b ab 5 可得4a 4 b ab 9 ，即 a 1 (b 4) 9 ，所以 1
b 4 b 4 ，
所以 1 1 b 1 4 2
a 1 9 9 9
4 10 ，当且仅当 b 1 ，即b 3 ， a 2 时等号成立，故 D 正
a 1 b
9 b 9
9 9 9 b 7
确.
故选：ABD
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
已知集合 A x | 2 x 3 ， B x | 1 x 4 ，则 A ∪ B .
【答案】 x | 2 x 4
【解析】
【分析】由并集的性质及 A x | 2 x 3 ， B x | 1 x 4 ，可得 A ∪ B 的值.
【详解】解：由 A x | 2 x 3 ， B x | 1 x 4 ，可得 A ∪ B x | 2 x 4 ，
故答案为： x | 2 x 4
【点睛】本题主要考查并集的概念，考查学生对基础概念的理解，属于基础题.
已知两个正数 x ， y 满足 x y 4 ，则使不等式 1 4 m 恒成立的实数m 的范围是 .
x y
【答案】 m 9
4
【解析】
【分析】根据题意，将 x y 4 代入 1 4 进行整体代换和合理拆项得 5 y x ，再利用基本不等式求
x y 4 4x y
出它的最小值，最后根据不等式恒成立求出m 的取值范围.
【详解】解：由题意知，两个正数 x ， y 满足 x y 4 ，则 x y 1，
4
则 1 4
x y
4
x y x y x y 5
y x 5 1 9 ，
x y x y
4x y
4 4x y 4 4
当 y x 时取等号，∴ 1 4 的最小值是 9 ，
4x y x y 4
∵不等式 1 4 m 恒成立，∴ m 9 .
x y 4
故答案为： m 9 .
4
【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值和解决恒成立问题，首先利用条件进行整体代换和合理拆项，再根据基本不等式求最值，考查化简运算能力.
若 A x 2a 1 x 2a 1 ， B x x 3 或 x 1 ，且 A 是 B 的充分不必要条件，则实数 a 的取
值范围为 ．
【答案】 , 2 ∪ 1,
【解析】
【分析】依题意有 A B，根据集合的包含关系，列不等式求实数 a 的取值范围.
【详解】因为 A 是 B 的充分不必要条件，所以 A B，
又 A x 2a 1 x 2a 1 ， B x x 3 或 x 1 ，因此2a 1 3 或2a 1 1，解得 a 2 或a 1
所以实数 a 的取值范围是 , 2 ∪ 1, ．故答案为： , 2 ∪ 1,
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.
已知集合 A= x 0 ≤x ≤2 ， B= x a ≤x ≤3 2a ．
若 R A ∪ B R ，求实数a 的取值范围；
若 A ∩ B B ，求实数a 的取值范围．
【答案】（1） , 0
（2） 1 ,
2
【解析】
【分析】（1）求出 R A ，根据题意列出不等式组，求解即可；
（2）由 A ∩ B B 得 B A ，分 B ， B 两种情况讨论可求得a 的取值范围．
【小问 1 详解】
由集合 A= x 0 ≤x ≤2 ，所以 R A= x x<0或x>2 ， 又 B= x a ≤x ≤3 2a ， R A ∪ B R ，
3 2a ≥a
所以 a ≤0 ，解得a 0 ；
3 2a ≥2
所以实数a 的取值范围是 , 0 ．
【小问 2 详解】
若 A ∩ B B ，则 B A ，
当 B 时， 3 2a a ，解得a 1；
a ≥0
当 B 时，有 a 1 ，要使 B A ，则
3 2a ≤2
，解得 1 a 1，
2
综上，实数a 的取值范围是 1 , ．
2
已知集合 A {x | 2 x 1 5}、集合 B {x | m 1 x 2m 1}（ m R ）.
若 A ∩ B ，求实数m 的取值范围；
设命题 p ： x A ；命题 q ： x B ，若命题 p 是命题 q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.
【答案】（1） ∞, 2 5, ∞
（2） ∞, 7
2

【解析】
【分析】（1）分 B 、 B 讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解；
（2）根据充分不必要条件分 B 、 B 讨论，即可求解.
【小问 1 详解】
由题意可知 A {x | 2 x 1 5} {x | 1 x 6}，
又 A ∩ B ，当 B 时， m 1 2m 1，解得 m 2 ，
当 B 时， m 1 2m 1， m 1 6 或2m - 1 < - 1，解得 m 5 ，综上所述，实数m 的取值范围为 ∞, 2 5, ∞ ；
【小问 2 详解】
∵命题 p 是命题 q 的必要不充分条件，∴集合 B 是集合 A 的真子集，当 B 时， m 1 2m 1，解得 m 2 ，
m 1 2m 1
当 B 时， m 1 1
2m 1 6
（等号不能同时成立），解得2 m 7 ，
2
综上所述，实数m 的取值范围为 ∞, 7 .
2

已知集合 A x N x 4 ， B x ax 1 0 ．请从① A ∪ B B ，② A ∩ B A ，③


A R B 这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
（1）当 a 1 时，求 A B ；
2
（2）若 ，求实数 a 的取值范围．
【答案】（1） A B 2, 3 ；
（2）条件选择见解析， 1, .
【解析】
【分析】(1)取 a 1 化简 B ，化简 A，再根据交集的定义求 A B ；
2
(2)若选①，由 A ∪ B B 可得 A B ，讨论 a 的正负，由条件列不等式求 a 的取值范围；若选②，讨论 a的正负，化简集合 B ，结合条件 A ∩ B A 列不等式求 a 的取值范围；若选③，讨论 a 的正负，化简集合 B ，结合条件 A R B 列不等式求 a 的取值范围.
【小问 1 详解】
由题意得， A x N x 4 1, 2, 3 ．

当 a 1 时， B x x 1 0 x x 2 ，


∴ A B 2, 3 ；
【小问 2 详解】
选择①．
∵ A ∪ B B ，∴ A B ，
当 a 0 时， B ，不满足 A B ，舍去；
当 a 0 时， B x x 1 ，要使 A B ，则 1 1 ，解得a 1 ；
a a

当 a 0 时， B x x 1 ，此时 1 0 ，不满足 A B ，舍去．
a a

综上，实数 a 的取值范围为 1, ．选择②
∵ A ∩ B A ，∴ A B ，
当 a 0 时， B ，不满足 A B ，舍去；
当 a 0 时， B x x 1 ，要使 A B ，则 1 1 ，解得a 1 ；
a a

当 a<0 时， B x x 1 ，此时 1 0 ，不满足 A B ，舍去．
a a

综上，实数 a 的取值范围为 1, ．选择③
∵ A R B ，∴ A B ，
当 a 0 时， B ，不满足 A B ，舍去；
当 a 0 时， B x x 1 ，要使 A B ，则 1 1 ，解得a 1 ；
a a

当 a 0 时， B x x 1 ，此时 1 0 ，不满足 A B ，舍去．
a a

综上，实数 a 的取值范围为 1, ．
已知实数 a 、b 满足： 9a2 b2 4ab 10 .
求ab 和3a b 的最大值；
求9a2 b2 的最小值和最大值.
【答案】（1）1, 2 3 ；
（2）最小值为6 ，最大值为30 .
【解析】
【分析】（1）使用基本不等式根据所求解的目标代数式进行合理的配凑计算求解；
使用基本不等式，注意根据所求解的目标代数式进行合理的配凑计算求解.
【小问 1 详解】
∵ 9a2 b2 4ab 10 ，∴ 9a2 b2 10 4ab ，
∵ 9a2 b2 6ab ，∴10 4ab 6ab ，∴ ab 1，
当且仅当 a
3 、b 或 a
3
3 、b 时等号成立，∴ ab 的最大值为1，
3
∵ 9a2 b2 4ab 10 ，∴ (3a b)2 10 2ab ，
2 2 3a b
∵ 2ab 3a b ( )2
(3a b)2
，
3 3 2 6
∴ (3a b)
2
10 ，∴ (3a b)2
6
12 ，
∴ 3a b 2 3 ，当且仅当 a
3 、b 时等号成立，∴ 3a b 的最大值为2 ；
3
【小问 2 详解】
10 9a2 b2
∵ 9a2 b2 4ab 10 ，∴ ab ，
4
2 2 10 9a2 b2
∵ 9a2 b2 6ab ，∴ 9a b
6 ，即9a2 b2 6 ，
4
当且仅当 a
3 、b 或 a
3
3 、b 时等号成立，∴ 9a2 b2 的最小值为6 ，
3
2 2 10 9a2 b2
又9a2 b2 6ab ，∴ 9a b
6 ，即9a2 b2 30 ，
4
当且仅当 a
15 、b 或 a
3
15 、b 时等号成立，
3
∴ 9a2 b2 的最大值为30 .
发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为 3 米，宽度为 x 6,10 （单位：米），地面面积为 81 平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：
方案一：储物室的墙面报价为每平方米 200 元，屋顶和地面报价共计 7200 元，总计报价记为 P x ；
方案二：其给出的整体报价为 f x 1200m 3 1 元， m 0
x

当宽度为 8 米时，方案二的报价为 29700 元，求m 的值；
求 P x 的函数解析式，并求报价的最小值；
若对任意的 x 6,10 时，方案二都比方案一省钱，求m 的取值范围.
【答案】（1）18 （2） P x 1200 x 81 7200, x 6,10
28800
x

0，17
【解析】
【分析】（1）根据函数定义直接代入可计算；
根据题意求出长方体侧面积，然后可求函数 P x ，再利用基本不等式求最值；
代入进行参变分离，接着求函数最值即可.
【小问 1 详解】
宽度为 8 米时，方案二的报价为 29700 元，
f 8 1200m 3 1 29700 m 18 ，
8

所以m 的值为 18.
【小问 2 详解】
设底面长为 y ， S xy 81 y 81 ，
x
所以墙面面积为2 x y 3 6 x 81 ，
x

P x
81
81 81
1200 x x 7200, x 6,10 ， P x 1200 x x 7200 28800 ，当 x
9 时取
x

等，
P x
81
所以
1200 x x 7200, x 6,10 ，最小值为28800 .

【小问 3 详解】
对任意的 x 6,10 时，方案二都比方案一省钱，
即 x 6,10 时，1200m 3 1 1200 x 81 7200 恒成立，
x x

x2 6x 81
整理得 m
x 3 ，
min
x2 6x 81
72 ， x 6,10 ，
y x 3
x 3
x 3
设t x 3 ，则 y t 72 ， t 9,13
t
又由对勾函数性质可得 y t 72 在在 9,13 上单调递增，
t
x2 6x 81 72
m
x 3
9 9
17 ，
min
又 m 0 ，所以 m 0，17 ，
所以方案二都比方案一省钱， m 的取值范围为 0，17 .