2025-2026学年北京市西城区育才学校高三上学期9月月考数学试卷（含答案）

2025-2026 学年北京市西城区育才学校高三上学期 9 月月考数学试卷
一、选择题：本大题共 10 小题，共 50 分。
1.若集合 = { | 3 < < 3}， = { |( + 4)( 2) > 0}，则 ∩ = ( )
A. { | 3 < < 2} B. { |2 < < 3}
C. { | 3 < < 2} D. { | < 4或 > 3}
2.已知等差数列{ }, 5 = 10, 9 = 20，则 1等于( )
A. 1 B. 0 C. 2 D. 5
3.下列函数中，是偶函数且在区间(0, + ∞)上为增函数的是( )
A. = 3 B. = | | C. = 1
D. = 2 +1
3
4 1
.函数 ( ) = ln( + 1) 的一个零点所在的区间是( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
5.设 =
0.2
1
, = 23, = 12，则( )
3
A. < < B. < < C. < < D. < <
6.“ 2 = 2”是“ 2 + 2 = 2 ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数 ( ) = 3 (1) ，则 ( )
3
A. 是奇函数，且在 上是增函数 B. 是偶函数，且在 上是增函数
C. 是奇函数，且在 上是减函数 D. 是偶函数，且在 上是减函数
8.把函数 = 2 的图象向左平移 个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为 = 3 2 ，则 的值为( )
A. 23 B. 32 C. D.
9.已知定义在 上的函数 = ( )满足 ( + 2) = ( )，当 1 < ≤ 1时， ( ) = 3，若函数
( ) = ( ) | |至少有6个零点，则 的取值范围是
A. (0,5) B. 1 [5, + ∞) C. 0, 1 ∪ [5, + ∞) D. 1 ,1 ∪ (1,5]
5 5 5
10.已知集合 = {( , )∣ = ( )}，若对于任意( 1, 1) ∈ ，存在( 2, 2) ∈ ，使得 1 2 + 1 2 = 0成立，则称集合 是“好集合”.给出下列4个集合：
① = ( , )| =
② = {( , )∣ = 2}
③ = {( , )∣ = cos } ④ = {( , )∣ = ln }
其中所有“好集合”的序号是( )
A. ②③ B. ①②④ C. ③④ D. ①③④
二、填空题：本大题共 5 小题，共 25 分。
11.已知幂函数 = ( )的图象经过点(2,4)，则 ( ) = ．
12.命题 ：“ ∈ ， 2 +2 4 ≥ 0”为假命题，则 的取值范围是 ．
13.函数 ( ) =
14.设函数 ( ) =
+ lg(4 )的定义域是 ．
, ≤ 0
2 + + 1 , > 0则 [ (0)] = ；若方程 ( ) = 有且仅有3个不同的实数根，则
4
实数 的取值范围是 ．
15.已知直线 : = + 和曲线 : = 1 ，给出下列四个结论：
①存在实数 和 ，使直线 和曲线 没有交点；
②存在实数 ，对任意实数 ，直线 和曲线 恰有1个交点；
③存在实数 ，对任意实数 ，直线 和曲线 不会恰有2个交点；
④对任意实数 和 ，直线 和曲线 不会恰有3个交点．其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知函数 ( ) = 3 3 2 +9 + ．
求 ( )的单调区间：
若 ( )在区间[ 1,2]上的最小值为15，求 ( )在该区间上的最大值．
求下列函数的导数．
(1) ( ) = cos sin ；
(2) ( ) =
3 ；
1
1+
(3) ( ) = ln1 ．
科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障，下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：
其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值(单位：十亿元)．
( )从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；
( )从2010年至2019年中随机选取两个年份，设 表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求 的分布列和数学期望；
( )根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由．
19.设函数 ( ) = 2 (4 + 1) + 4 + 3 ．
(1)若曲线 = ( )在点1, (1)处的切线与 轴平行，求 ；
(2)求 ( )的单调区间．
20.已知函数 ( ) = ln ．
(1)求函数 = ( )在点1, (1)处的切线方程；
(2)设实数 使得 ( ) < 恒成立，求 的取值范围；
(3)设 ( ) = ( ) ( ∈ )，求函数 ( )在区间1 , 2 上的零点个数．
21.已知集合 = {1,2,3, ,2 }( ∈ , ≥ 4)，对于集合 的非空子集 .若 中存在三个互不相同的元素
， ， ，使得 + ， + ， + 均属于 ，则称集合 是集合 的“期待子集”．
(1)试判断集合 1 = {3,4,5}， 2 = {3,5,7}是否为集合 4的“期待子集”；(直接写出答案，不必说明理由) (2)如果一个集合中含有三个元素 ， ， ，同时满足① < < ，② + > ，③ + + 为偶数．那么称该集合具有性质 .对于集合 的非空子集 ，证明：集合 是集合 的“期待子集”的充要条件是集合
具有性质 ；
(3)若 ( ≥ 4)的任意含有 个元素的子集都是集合 的“期待子集”，求 的最小值．
参考答案
B
B
B
B
A
B
A
A
B
A
x2
12.( 4,0]
13.[ 1,4)
14.1；(1,1)
4 4 2
15.① ② ③
16.(1)由题意 ′( ) = 3 2 6 + 9 = 3( + 3)( 1)，令 ′( ) = 0，解得 1 = 3， 2 = 1，当 < 3， > 1时， ′( ) < 0，当 3 < < 1时， ′( ) > 0，
所以 ( )在区间( ∞, 3)，(1, + ∞)上单调递减，在区间( 3,1)上单调递增．
综上所述： ( )在区间( ∞, 3)，(1, + ∞)上单调递减，在区间( 3,1)上单调递增．
(2)由(1)可得当 ∈ [ 1,1)时， ( )单调递增，当 ∈ (1,2)时， ( )单调递减，所以当 = 1时取到极大值，也是最大值 (1) = 1 3 + 9 + = 5 + ，
又 ( 1) = 1 3 9 + = 11 + ， (2) = 8 12 + 18 + = 2 + ，所以当 = 1时取到最小值 ( 1) = 11 + = 15，解得 = 26，
此时 (1) = 5 + 26 = 31．
所以 ( )在区间[ 1,2]上的最大值为31．
17.(1)由 ( ) = cos sin 可得 ′( ) = cos + ( sin ) cos = sin ；
(2)由 ( ) = 3 可得 ′( ) = 3( 1) 3 = 3
1
( 1)2
( 1)2
(3)由 ( ) = ln1+ 可得 ( ) = ln(1 + ) ln(1 )，
所以 ′( ) = 1 1 = 1 +1+ = 2 ；
1+ 1
(1+ )(1 ) 1 2
18.( )由题知，2010年到2019年共10年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，设从2010年
至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%为事件 ， ∴ ( ) = 9 ．
10
( )由题意得 的取值可能为0，1，2
2 2
2
10
1 1 5
2
10
2 2
2
10
的分布列为
0 1 2
( ) 2 5 2
9 9 9
( ) = 0 × 2 +1 × 5 +2 × 2 = 1．
9 9 9
( )2010年到2019年共10年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，每年基本上都在增加，因此公司在发展的过程中重视研发．
19.(1)因为 ( ) = 2 (4 + 1) + 4 + 3 ，
所以 ′( ) = 2 (4 + 1) + 2 (4 + 1) + 4 + 3 ( ∈ )
= 2 (2 + 1) + 2 ．
′(1) = (1 ) ．
由题设知 ′(1) = 0，即(1 ) = 0，解得 = 1．此时 (1) = 3 ≠ 0．
所以 的值为1．
(2)由(1)得 ′( ) = 2 (2 + 1) + 2 = ( 1)( 2) ．
1)当 = 0时，令 ′( ) = 0，得 = 2，所以 , ′( ), ( )的变化情况如下表：
( ∞,2) 2 (2, + ∞)
′( ) + 0
( ) 单调递增 极大值 单调递减
1
2)当 ≠ 0，令 ′( ) = 0，得 = 或2
1
①当 < 0时， < 2，所以 , ′( ), ( )的变化情况如下表：
②当 > 0时，
当0 < 1 1
< 2即 > 2时，
1 1
当 = 2即 = 2时， ′( ) ≥ 0恒成立，所以 ( )在 上单调递增；
1 1
当 > 2即0 < < 2时，
( ∞,2) 2 1 2, 1 1
, + ∞
′( ) + 0 0 +
( ) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
综上，
当 < 0时， ( )的单调递增区间是 1 ,2 ，单调递减区间是 ∞,

和(2, + ∞)；
当 = 0时， ( )的单调递增区间是( ∞,2)，单调递减区间是(2, + ∞)；
1
当0 < < 2时， ( )的单调递增区间是( ∞,2)和
1 , + ∞

，单调递减区间为
2, ；
1
当 = 2时， ( )的单调递增区间是 ，无单调递减区间；
1
当 > 2时， ( )的单调递增区间是
∞,
和(2, + ∞)，单调递减区间是 ．
20.(1)由题可得函数 ( )的定义域为(0, + ∞)，且 ′( ) = 1 ln ，
则 ′(1) = 1 ln1 = 1，因 (1) = 0，
1
所以 ( )在点(1,0)处的切线方程为 0 = 1 × ( 1)，化简为 = 1．故函数 = ( )在点1, (1)处的切线方程为 = 1．
(2)由题意知得 ( ) < 恒成立，即ln < 恒成立，等价于ln < 恒成立，
2
设 ( ) = ln ( > 0)，则 ′( ) = 1 2ln ，令 ′( ) = 0，解得 = ，
2
3
当0 < < 时， ′( ) > 0；当 > 时， ′( ) < 0，
所以当 = 时， ( )取到极大值也是最大值 ( ) = ln = 1 1
所以 的取值范围为
, + ∞ ．
( )2
2
2
(3)由题知令 ( ) = ( ) = 0，即 ( ) = ，则得ln = ，从而得ln = ，
2
由(2)得函数 ( )在区间 1 , 2 上的零点个数即等价于求函数 ( ) = ln ( > 0)的图象与函数 = 的图象的

交点个数，
又因 ( ) = ln 在区间 1 ,
2
上单调递增，在区间( , 2]上单调递减，
2
且当 = 时， ( )取到极大值也是最大值 ( ) = 1
又因为
= 2， ( 2) = 2
1
或 < 时，函数 ( ) = ( > 0)的图象与函数 = 的图象的交点个数为0，
2 2
当 2 ≤ < 2 1 ln ( > 0)的图象与函数 = 的图象的交点个数为1，
4
2
2
2 1
当 ≤ < 时，函数 ( ) = ( > 0)的图象与函数 = 的图象的交点个数为2．
4
2
2
综上所述：当 > 1 2 1 , 2 上有0个零点；
2
2 1 1
或 = 时， ( )函数 ( )在区间
4
2
2 1 1
当 ≤ < 时， ( )函数在区间 上有2个零点．
4
2
21.(1)因为 4 = {1,2,3,4,5,6,7,8}，
对于集合 1 = {3,4,5}，令
+ = 3
+ = 4 ，解得
+ = 5
= 2
= 1，显然1 ∈ 4，2 ∈ 4，3 ∈ 4
= 3
所以 1是集合 4的“期待子集”；
对于集合
= {3,5,7}，令
1 + 1 = 3
1 + 1 = 5 ，则
+
+
= 15，
2
+ 1 = 7
1 1 1 2
因为 1, 1, 1 ∈ 4，即 1 + 1 + 1 ∈ ，故矛盾，所以 2不是集合 4的“期待子集”；
(2)先证明必要性：
当集合 是集合 的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的 , , ∈ ，使得 + , + , + ∈ ，不妨设 < < ，令 = + ， = + ， = + ，则 < < ，即条件 中的①成立；
又 + = ( + ) + ( + ) ( + ) = 2 > 0，所以 + > ，即条件 中的②成立；因为 + + = ( + ) + ( + ) + ( + ) = 2( + + )，
所以 + + 为偶数，即条件 中的③成立；所以集合 满足条件 ．
再证明充分性：
当集合 满足条件 时，有存在 , , ∈ ，满足① < < ，② + > ，③ + + 为偶数，
记 = + + ， = + + ， = + + ，
2 2 2
由③得 , , ∈ ，由①得 < < < ，由②得 = + + > 0，
2
所以 , , ∈ ，
因为 + = ， + = ， + = ，所以 + ， + ， + 均属于 ，即集合 是集合 的“期待子集”．
(3) 的最小值为 + 2，理由如下：
一方面，当3 ≤ ≤ 时，对于集合 = { | = 2 1, = 1,2,3, , }，其中任意三个元素之和均为奇数，由(2)知， 不是 的“期待子集”；
当 = + 1时，对于集合 = { | = 2 1, = 1,2,3, , } ∪ {2}，从中任取三个不同的元素，若不含有2，则不满足条件 的③，
若含有2，则另外两个数必都是奇数，因为任意两个奇数之差(大数减小数)都不小于2，故不满足条件 中的②，所以 不是 的“期待子集”；
所以 ≥ + 2．
另一方面，我们用数学归纳法证明集合 的任意含有 + 2个元素的子集，都是 的“期待子集”：
( )当 = 4时，对于集合 4的任意含有6个元素的子集，记为 ，
当4、6、8三个数中恰有1个属于 时，则{1,2,3,5,7} ，因为数组3,4,5、3,5,6、5,7,8、5,6,7、5,7,8都满足条件 ，
当4,6,8三个数都属于 ，因为数组4,6,8满足条件 ，所以此时集合 必是集合 4的“期待子集”，
所以当 = 4时 4的任意含有6个元素的子集都是集合 4的“期待子集”．
( )假设当 = ( ≥ 4)时结论成立，即集合 的任意含有 + 2个元素的子集都是 的“期待子集”，那么 = + 1时，对于集合 +1的任意含有 + 3个元素的子集 ，
分成两类，①若2 + 1，2 + 2至多有1个属于 ，则 中至少有 + 2个元素都在集合 ，由归纳假设知，结论成立；
②若2 + 1 ∈ ，2 ∈ ，则集合 中恰含 的 + 1个元素，此时，当 中只有一个奇数时，则集合 中包含 中的所有偶数，此时数组2 4，2 2，2 符合条件 ，结论成立；
当集合 中至少有两个奇数时，则必有一个奇数 不小于3，此时数组 ，2 1，2 符合条件 ，结论成立，所以 = + 1时结论成立，
根据( )( )知，集合 的任意含有 + 2个元素的子集，都是 的“期待子集”，所以 的最小值为 + 2