专项训练2_集合的新定义问题（北师大 必修一）（含答案）

专项训练2:集合的新定义问题（北师大必修一）
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.定义集合A，B的一种运算：A B={x|x=b2-a,a∈A，b∈B}，若A={1，4}，B={-1，2}，则A B中的元素个数为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.定义集合运算：．设A={1，2}，B={0，2}，则集合中的所有元素之和为( )．
A. 0 B. 2 C. 3 D. 6
3.定义差集A-B={x|xA,且xB},现有三个集合A,B,C分别用圆表示,则集合C-(A-B)可表示下列图中阴影部分的为 （ ）
A. B. C. D.
4.定义集合运算：，若集合，，则集合的真子集的个数为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
5.若,则就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ）
A. 15 B. 16 C. 32 D. 256
6.若，，定义,则（ ）
A. B. C. D.
7.若数集A={,,,}(1<<<,n2)具有性质P:对任意的i,j(1i< jn),与中至少有一个属于A,则称集合A为“权集”,则( )
A. “权集”中一定有1 B. {1,2,3,6}为“权集”
C. {1,2,3,4,6,12}为“权集” D. {1,3,4}为“权集”
8.对于，规定，集合，则中元素的个数为（　　）
A. B. 15 C. 8 D. 16
9.对于任意两个正整数m,n，定义某种运算“*”，法则如下：当m,n都是正奇数时，mn=m+n，当m,n不都是正奇数时，mn=mn，则在此定义下，集合A=的真子集的个数为( )
A. 256 B. 253 C. 254 D. 255
10.若是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：（1）属于，空集属于；（2）中任意多个元素的并集属于；（3）中任意多个元素的交集属于.则称是集合上的一个拓扑.已知集合，对于下面给出的四个集合：
①；②；
③；④.
其中是集合上的一个拓扑的集合的所有序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ①②④ D. ②④
11.已知,对于,若且,则称为的“孤立元”.给定集合,则的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（ ）
A. B. C. D.
12.设集合A的最大元素为，最小元素为m，记A的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知，，，，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且 ，则的最大值为（ ）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
二、多选题：本题共6小题，共36分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
13.定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为P（A），用n（A）表示有限集A的元素个数，则下列命题中正确的是（　　）
A. 对于任意集合A，都有A∈P（A）
B. 若n（A）-n（B）=1，则n（P（A））=2×n（P（B））
C. 若A∩B= ，则P（A）∩P（B）=
D. 若A B，则P（A） P（B）
14.给定数集，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合，则下列说法中不正确的是（ ）
A. 集合为闭集合
B. 正整数集是闭集合
C. 集合为闭集合
D. 若集合，为闭集合，则为闭集合
15.我们知道，如果集合,那么的子集的补集为，类似地，对于集合A,B我们把集合叫作集合A和B的差集，记作,例如：A={1,2,3,4,5},B={4,5,6,7,8},则有，,下列解答正确的是（）
A. 已知A={4,5,6,7,9},B={3,5,6,8,9}，则
B. 已知，则
C. 如果，那么
D. 已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则
16.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N= ，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴德金分割.下列结论正确的是（　　）
A. 若M={x∈Q|x＜1}，N={x∈Q|x＞1}，则（M，N）是一个戴德金分割
B. 若M={x∈Q|x＜π}，N={x∈Q|x＞π}，则（M，N）是一个戴德金分割
C. 若M中有最大元素，N中没有最小元素，则（M，N）可能是一个戴德金分割
D. 若M中没有最大元素，N中没有最小元素，则（M，N）可能是一个戴德金分割
17.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4，给出如下四个结论，其中，正确结论的是（　　）
A. 2021∈[1]
B. -13∈[3]
C. 若整数a，b属于同一“类”，则a-b∈[0]
D. 若a-b∈[0]，则整数a，b属于同一“类”
18.已知.若对于非空数集，存在个两两交集为空的集合，，使得，且任意两个集合的所有元素之和均相等，则称集合为“可分集”.设，则（ ）
A. 是“4可分集” B. 若是“4可分集”，则为偶数
C. 对于任意的偶数不为“可分集” D. 对于任意的奇数均为“可分集”
三、填空题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
19.若xA,则A,就称A是“伙伴关系”集合,集合M={-1,0,,2,3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是 .
20.若x∈A，则2-x∈A，就称A是“对偶关系”集合，若集合{a，-4，-2，0，2，4，6，7}的所有非空子集中是“对偶关系”的集合一共15个，则实数a的取值集合为 ．
21.若一个集合是另一个集合的子集,则称两个集合构成“鲸吞”;若两个集合有公共元素,且互不为对方子集,则称两个集合构成“蚕食”,对于集合A= {-1,2}, B={=2,a0},若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”,则a的取值集合为 .
22.对于任意两集合A，B，定义A-B＝{x|x∈A且x B}，A*B＝(A-B)∪(B-A)，记A＝{y|y≥0}，B＝{x|-3≤x≤3}，则A*B＝ ．
23.设A是非空数集,若对任意x,yA,都有x+yA,xyA,则称A具有性质P,给出以下命题:
若A具有性质P,则A可以是有限集;
若A具有性质P,且AR,则A具有性质P;
若,具有性质P,且,则具有性质P;
若,具有性质P,则具有性质P.
其中所有真命题的序号是 .
24.已知有限集合A={a1，a2，a3，…，an}，定义集合中的元素个数为集合A的“容量”，记为L（A）.若集合A={x∈N*|1≤x≤4}，则L（A）= ；若集合A={x∈N*|1≤x≤2n,n∈N*}，且L（A）=2709，则正整数n的值是 .
25.已知集合M={1，2，3，4，5，6}，集合S1，S2， ，Sk是集合M的含有两个元素的子集，且满足对任意的Si={ai，bi}，Sj={aj，bj}（i≠j，i，j∈{1，2，3， ，k}）都有，这里max{x，y}表示两个数x，y中的较大者，则k的最大值为 ．
26.定义集合P={p|a≤p≤b）的“长度”是b-a，其中a，b∈R．已如集合M={x|m≤x≤m+}，N={x|n-≤x≤n}，且M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，那么集合M∩N的“长度”的最小值是 ；若m=，集合M∪N的“长度”大于，则n的取值范围是 ．
27.已知有限集合A={,,,,},定义集合B={+|1i< jn,i,j}中的元素个数为集合A的“容量”,记为L(A).若集合A={x|1x4},则L(A)= ;若集合A={x|1x2n,n},且L(A)=8089,则正整数n的值是 .
28.记={1,2,3,,m}(m),表示k个元素的有限集,S(E)表示非空数集E中所有元素的和,若集合={S()},则 = ,若S()374,则m的最小值为 .
四、解答题：本题共10小题，共120分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
29.(本小题12分)
已知集合A={x|x≥1}，B={x||x|＜2}，定义：A-B={x|x∈A且x B}.
（1）求A∩B和A∪B；
（2）求A-B和A-（A-B）.
30.(本小题12分)
已知数集含有个元素，定义集合．
（1）若，写出；
（2）写出一个集合，使得；
31.(本小题12分)
设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a,b,c∈A，使得a-b=b-c,则称A为“等差集”.
（1）若集合A={1，3，5，9}，B A，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B；
（2）若集合A={1，m,m2-1}是“等差集”，求m的值；
（3）已知正整数n≥3，证明：{x,x2，，…，xn}不是“等差集”.
32.(本小题12分)
定义两种新运算“ ”与“ ”，满足如下运算法则：对任意的a，b∈R，有a b=ab，a b=．设全集U={x|x=（a b）+（a b），-2＜a≤b＜1且a∈Z，b∈Z}，A={x|x=2（a b）+，-1＜a＜b＜2且a∈Z，b∈Z}、B={x|x2-3x+m=0}．
（1）求集合U和A；
（2）集合A、B是否能满足（）∩B= ？若能，求出实数m的取值范围；若不能，请说明理由．
33.(本小题12分)
已知有限集A={a1，a2， ，an}（n≥2，n∈N），若a1+a2+ +an=a1a2 an，则称A为“完全集”.
（1）判断集合是否为“完全集”，并说明理由；
（2）若集合{a,b}为“完全集”，且a,b均大于0，证明：a,b中至少有一个大于2；
（3）若A为“完全集”，且A N*，求A.
34.(本小题12分)
若集合A具有以下性质：（ⅰ）0∈A且1∈A；（ⅱ）若x，y∈A，则x-y∈A，且当x≠0时，∈A，则称集合A为“闭集”．
（1）试判断集合B={-1，0，1}是否为“闭集”，并说明理由；
（2）设集合A是“闭集”，求证：若x，y∈A，则x+y∈A；
（3）若集合M是一个“闭集”，判断命题“若x∈M，则x2∈M”的真假，并说明理由．
35.(本小题12分)
已知集合A={（x,y）|x2+y2≤1，x,y∈Z}，B={（x,y）||x|≤2，|y|≤2，x,y∈Z}.
（1）求A∩B；
（2）若定义集合A B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，求A B中元素的个数.
36.(本小题12分)
设，集合，且，称为的生成集，为的伴生集.用表示集合中元素个数，定义.
(1)当时，求和；
(2)是否存在含有三个元素的正整数集合，使得和同时取最小值？若存在，给出一种集合；若不存在，请说明理由；
(3)当时，求的最小值，并给出此时的集合.
37.(本小题12分)
设非空数集M,对于M中的任意两个元素,
如果满足:两个元素之和属于M两个元素之差属于M. 两个元素之积属于M两个元素之商(分母不为零)也属于M.
定义:满足条件的数集M为数环(即数环对于加、减、乘运算封闭);满足的数环M为数域(即数域对于加、减、乘、除运算封闭).
(1)判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C是不是数环,假如该集合是数环, 那么它是不是数域(无需说明理由) ;
(2)若M是一个数环,证明:0M;若S是一个数域,证明:1S;
(3)设A={x|x=a+b,aQ,bQ},证明A是数域.
38.(本小题12分)
若集合M={1,2,3,,2n},集合N={,,,},其中n,,,,M,则称集合N是集合M的一个“n元子集”.若“n元子集”N中的元素,,,满足对任意1 i< jn(i,j),恒有+2n+1,则称N为M的一个“个性独立子集”.已知集合A={1,2,3,,20},集合B是A的一个“个性独立子集”.
(1)求所有满足条件的集合B的个数;
(2)若=100,,,,B且互不相等,证明:为定值.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】D
11.【答案】D
12.【答案】B
13.【答案】ABD
14.【答案】ABD
15.【答案】BCD
16.【答案】BCD
17.【答案】ACD
18.【答案】BCD
19.【答案】3
20.【答案】{1，-5}
21.【答案】{0,,2}
22.【答案】[-3，0）∪（3，+∞）
23.【答案】
24.【答案】5 ； 678
25.【答案】11
26.【答案】 ；
27.【答案】5 ； 2023
28.【答案】 ； 14
29.【答案】解：（1）A={x|x≥1}，B={x||x|＜2}={x|-2＜x＜2}，
∴A∩B={x|1≤x＜2}，A∪B={x|x＞-2}；
（2）∵A-B={x|x∈A且x B}，即A-B=A（A∩B），
A={x|x≥1}，B={x|-2＜x＜2}，A∩B={x|1≤x＜2}，
∴A-B=A（A∩B）={x|x≥2}，
又D=A∩（A-B）={x|x≥1}∩{x|x≥2}={x|x≥2}，
A-（A-B）=AD={x|1≤x＜2}．
30.【答案】解：（1）因为，，
所以为中元素，
故.
（2）取，此时，满足.

31.【答案】解：（1）因为集合A={1，3，5，9}，B A，存在3个不同的元素a,b,c∈B，使得a-b=b-c,
则B={1，3，5，9}或B={1，3，5}或B={1，5，9}．
（2）因为集合A={1，m,m2-1}是“等差集”，
所以2=m+m2-1或2m=1+m2-1或1+m=2（m2-1），
计算可得或m=0或m=2或m=-1或m=，
又因为m正整数，所以m=2．
（3）假设{x,x2，， ，xn}是“等差集”，
则存在m,s,q∈{1，2，3，…，n}，m＜s＜q,2=+xq成立，
化简可得2=xm-s+xq-s，xm-s＞0，
因为x∈N*，q-s≥1，所以2＞xq-s≥x≥1，
所以x=1与{x,x2，， ，xn}集合的互异性矛盾，
所以{x,x2，， ，xn}不是“等差集”．
32.【答案】解：（1）全集U中x=（a b）+（a b）=ab+，
当a=-1时，b=0，此时x=-；
当a=-1时，b=-1，x=1；
当a=0时，b=0，此时x=0，
所以U={-，0，1}，
由A中x=2（a b）+=2ab+，
当a=0时，b=1，此时x=-，即A={-}.
（2）因为={0，1}，当（）∩B= 时，B= 或B=A，
当B= 时，方程无实根，=（-3）2-4m＜0，解得m＞；
B=A时，方程有二等实根为-，，此时m的值不存在；
综上知，实数m的取值范围是m＞．
33.【答案】解：（1）
因为，，
所以
，
故集合是“完全集”；
（2）证明：由题设，令a+b=ab=t＞0，
则a,b是x2-tx+t=0的两个不同的正实数根，
所以=t2-4t＞0 t＞4 或t＜0（舍），
即t=ab＞4，又a＞0，b＞0，
若a,b都不大于2，则ab≤4，矛盾，
所以a,b至少有一个大于2；
（3）不妨令1≤a1＜a2＜ ＜an，
则a1a2 an=a1+a2+ +an＜nan，
所以a1a2 an-1＜n，
当n=2，即a1＜2，故a1=1，
显然1+a2=1×a2无解，不满足；
当n=3，即a1a2＜3，
只能有a1=1，a2=2，a3=3，
故存在一个“完美集”A={1，2，3}；
当n≥4，a1a2 an-1≥1×2× ×（n-1），
即n＞1×2×…×（n-1），
又n-（n-2）（n-1）=-n2+4n-2
=-（n-2）2+2＜0，
且（n-2）（n-1）≤1×2×…×（n-1），
此时n＜1×2×…×（n-1），显然有矛盾，
所以n≥4时不存在“完美集”，
综上，A={1，2，3}．
34.【答案】解：（1）因为-1-1=-2 B，
所以B={-1，0，1}不是闭集，
（2）证明：因为集合A是闭集，x，y∈A，
所以0-y=-y∈A，
故x-（-y）=x+y∈A；
（3）当x=0或x=1时，命题“若x∈M，则x2∈M”为真命题，
当x≠0且x≠1时，因为x∈M，
所以x-1∈M，
所以∈M，∈M，
所以-∈M，即∈M，
所以x（x-1）∈M，
又0-x=-x∈M，
所以x（x-1）-（-x）∈M，即x2∈M，得证．
所以命题“若x∈M，则x2∈M”为真命题．
35.【答案】解：（1）由题意可知已知集合A={（x,y）|x2+y2≤1，x,y∈Z}，
B={（x,y）||x|≤2，|y|≤2，x,y∈Z}
则B={（x,y）|x=-2，-1，0，1，2；y=-2，-1，0，1，2}，
A={（-1，0），（1，0），（0，0），（0，1），（0，-1）}，
所以A∩B={（-1，0），（1，0），（0，0），（0，1），（0，-1）}．
（2）由x1=-1，0，1，x2=-2，-1，0，1，2，可得x1+x2=-3，-2，-1，0，1，2，3，
由y1=-1，0，1，y2=-2，-1，0，1，2，可得y1+y2=-3，-2，-1，0，1，2，3，
所以共可以构成7×7=49个不同元素，
所以A B中一共有49个元素．
36.【答案】解:(1)由，可得：;
,
所以.
(2)不存在，理由如下：
假设存在这样的三元正整数集合满足条件，不妨设,
考虑：注意到，所以,
当时，，此时，
所以,
事实上，，
所以当取最小值时，一定有;
考虑：注意到，所以,
当时，，此时，
所以,
事实上，，
所以当取最小值时，一定有,
所以,
即，此时，矛盾,
所以满足上述条件的集合不存在.
(3)当时，不妨假设，
此时总有，所以;
对应的，考虑中元素个数最多的情况，
此时显然有互不相同，所以,
所以.
下面证明当时，等号成立,
事实上，，且在和之间的所有整数值都取得到，所以此时;
对于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
从小到大排序为：，，，，，，，，，
,
显然这10个数互不相等，此时,
综上，当时，，
即为的最小值.

37.【答案】解(1)自然数集N不是数环;
整数集Z是数环,不是数域;
有理数集Q、实数集R、复数集C是数环也是数域
(2)若xM,则(x-x)M,即0M;
若yS,y0,则(yy)S,即1S
(3)设,A,
则=+,=+,(,,,Q),
则+=+++=(+)+(+),
因为,,,Q,
所以(+)Q,(+)Q,
所以+A,满足条件；
-=-+-=(-)+(-),
因为,,,Q,
所以(-)Q,(-)Q,
所以-A, 满足条件
=++(+),
因为,,,Q,
所以(+)Q,(+)Q,
所以A,满足条件
==+,
因为,,,Q,,0,
所以Q,Q,
所以A, 满足条件
综上所述, A是数域
38.【答案】解:(1) 将集合A分成10个2元子集,={1,20},={2,19},={3,18},,={10,11},
其中每个集合中两元素之和均为21，
故从,,,中各取1个元素，
作为集合B的元素,则符合题意，
故集合B的个数为=1024；
(2)证明:由题意得
+(21-)2=+++，
即+(-2+)
=+++，
故+10-221+
=+++，
又=100，
故2=+++
-10+221100，
故为定值.
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