专项训练3_利用基本不等式求最值的常见题型（人B 必修一）（含答案）

专项训练3:利用基本不等式求最值的常见题型（人B 必修一）
一、单选题：本题共15小题，每小题5分，共75分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若均为正数，且，则的最小值等于（ ）
A. B. C. D. 5
2.已知，，且，则当取得最小值时，（ ）
A. B. C. D. 1
3.已知3x>y>0,且7x+5y=1,则+的最小值为( )
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
4.已知实数a,b满足a>0,b>1,且a+b=5,则+的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知x>0，y>0，且2x+y=xy，则x+2y的最小值为( )
A. 8 B. 8 C. 9 D. 9
6. 已知，则的最小值是（ ）
A. 1 B. 4 C. 7 D.
7.已知a＞0，b＞0，3a+b=2ab，则a+b的最小值为（　　）
A. 2 B. 3 C. 2+ D. 2+
8.已知不等式+-2x+对满足2a+b(1-a)=0的所有正实数a,b都成立,则正数x的最大值为( )
A. B. 1 C. D. 2
9.若x>0，y>0且x+y=xy，则+的最小值为（ ）
A. 3 B. + C. 3+ D. 3+2
10.已知正数a，b满足a+2b＝2，则的最小值为（ ）
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
11.已知则的最小值为（）
A. B. C. D.
12.若实数x，y满足，则的取值范围为
A. B. C. D.
13.设a＞b＞c＞0，则的最小值是（ ）
A. B. 5 C. 4 D. 2
14.已知，，，则的最小值为（ ）
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
15.设实数满足，则的取值范围是（）
A. B.
C. 或 D.
二、多选题：本题共10小题，共60分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
16.若正实数a,b满足a+b=1，则下列说法正确的是（　　）
A. 有最小值2 B. a2+b2有最大值
C. ab有最大值 D. 有最大值
17.已知a＞0，b＞0，a+b=3，则（　　）
A. ab的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为4 D. 的最小值为
18.已知a，b为正实数，且，则（ ）
A. ab的最大值为8 B. 的最小值为8
C. 的最小值为 D. 的最小值为
19.已知正数a，b满足，则（ ）
A. b的取值范围是 B. 的最小值为
C. 的最小值为2 D. 的最小值
20.设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（）
A. 的最小值为3 B. 的最大值为1
C. 的最小值为2 D. 的最小值为2
21.已知a,b为正实数，且ab+2a+b=16，则（　　）
A. ab的最大值为8 B. 2a+b的最小值为8
C. 的最小值为 D. 的最小值为
22.已知正实数a,b,c,且a>b>c,则使得++>0恒成立的自然数x,y,z可以是( )
A. x=2,y=1,z=4 B. x=1,y=2,z=6 C. x=3,y=2,z=9 D. x=2,y=3,z=10
23.若m,n均为正实数,满足2m+n=1,则以下结论中正确的有( )
A. m+n的最大值为-3 B. +的最小值为4
C. +的最小值为5 D. +的最小值为
24.已知a>0,b>0,则下列结论正确的是 ( )
A.
B.
C. 的最小值为4
D. 若+=1,则2a+b的最小值为8
25.已知正数a,b满足a+2b=1,则（）
A. ab的最大值为 B. +的最小值为
C. +的最大值为2 D. +的最小值为6
三、填空题：本题共15小题，每小题5分，共75分。
26.知a＞0，b＞0，且ab＝1，则的最小值为__________．
27.已知x，y为正实数，则的最小值为__________．
28.当时，则的最小值为 ,当取得最小值时的值为 .
29.已知5x2y2+y4＝1(x，y∈R)，则x2+y2的最小值是 ．
30.已知a,b∈R，且a-3b+6=0，则2a+的最小值为______．
31.已知a＞0，b＞0，且ab=1，则++的最小值为 ．
32.设，则的最小值为 ．
33.已知，，，则的最小值为 ．
34.若实数满足,，则的最大值为 .
35.已知，则 的最小值为 ．
36.已知，则的最小值为 ，此时 .
37.已知正数a、b满足，则的最小值等于 ，此时 ．
38.已知正数x，y满足，则当 时，的最小值是 ．
39.已知正数，满足，则当 时，的最小值是 ．
40.已知ab>0,则的最小值为
四、解答题：本题共10小题，共120分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
41.(本小题12分)
已知，求的最小值；
已知x，y是正实数，且，求的最小值．
42.(本小题12分)
已知，
（1）求的最小值；
（2）求的最小值.
43.(本小题12分)
（1）若x＞0，求y=的最小值．
（2）已知0＜x＜，求y=x（1-3x）的最大值．
44.(本小题12分)
(1)已知正数、满足，求的最小值;
(2)求函数的最小值.
45.(本小题12分)
已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
46.(本小题12分)
已知，，且．
求证：；
求的最小值．
47.(本小题12分)
已知a>0,b>0
(1)求证:+2b(a+b);
(2)若a+b=2ab,求ab的最小值.
48.(本小题12分)
已知正数、满足.
（1）求a+b的最小值；
（2）求的最小值；
49.(本小题12分)
已知正实数a、b满足．
（1）求a+b的最小值；
（2）求的最小值；
（3）求2a2+b2-4a-2b的最小值．
50.(本小题12分)
已知a>0,b>0.
(1)若a-b=4,证明:a+7.
(2)若a+b+ab=8,求a+b的最小值.
(3)若++3ab=27,求a+3b的最大值.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】B
12.【答案】A
13.【答案】C
14.【答案】C
15.【答案】C
16.【答案】CD
17.【答案】ACD
18.【答案】ABC
19.【答案】AB
20.【答案】ABD
21.【答案】ABD
22.【答案】AC
23.【答案】AD
24.【答案】AC
25.【答案】ABD
26.【答案】4
27.【答案】6
28.【答案】7 ； 5
29.【答案】
30.【答案】
31.【答案】4
32.【答案】
33.【答案】
34.【答案】
35.【答案】
36.【答案】6 ；
37.【答案】3
；
38.【答案】 ； 1
39.【答案】
； 1
40.【答案】4
41.【答案】解：(1)∵x>3，∴x－3>0，
∴＋x＝＋(x－3)＋3，
当且仅当，即x＝5时取等号，
∴的最小值为7.
(2)法一　∵x>0,y>0，
∴(x＋y)＝4＋≥4＋2.
当且仅当＝，即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取“＝”号．
又x＋y＝4，∴＋≥1＋，
故＋的最小值为1＋.
法二　∵x>0,y>0 ，且x＋y＝4，
∴＋＝＋＝1＋≥1＋2＝1＋.
当且仅当＝，即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取“＝”号．
∴＋的最小值为1＋.
42.【答案】解：（1）由，得．
因为x＞0，y＞0，
所以，
所以xy≥4，
当且仅当即x=4，y=1时，等号成立，
所以xy的最小值为4．
（2）由，得，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以x+y的最小值为．

43.【答案】解：（1）因为x>0，
所以，
当且仅当，即x=2时，取等号，
所以 的最小值为12；
（2）因为，
所以0<3x<1，则1-3x>0，
则.
当且仅当3x=1-3x，即时取等号，
所以y＝x（1－3x）的最大值是.

44.【答案】解：(1)，
所以，
则
，
所以，
当且仅当，即当时，等号成立，
因此，的最小值为.
（2）因为，所以，
令t=x+1，所以t＞0，
所以
，
当且仅当t=2，即x=1时，等号成立；
所以函数y=(x>-1)的最小值为9.

45.【答案】解：（1）∵x＞0，y＞0，2x+8y-xy=0，
∴xy=2x+8y≥2，
∴≥8，
∴xy≥64，当且仅当x=4y=16时取等号，
故xy的最小值为64；
（2）由2x+8y=xy，得+=1，
又x＞0，y＞0，
∴x+y=（x+y） （+）=10++
≥10+2=18，
当且仅当x=2y=12时，等号成立．
故x+y的最小值为18．
46.【答案】（1）证明：欲证，
需证，
由于a+b=2，则需证，
，
因为，，
所以，（当且仅当a=b=1时等号成立）
所以，
所以成立．
所以成立．
（2）解：因为a＞0，b＞0，
所以
=，
当且仅当，即，取“=”，
故的最小值为.

47.【答案】解：(1)【证明】+-2b(a+b)=-
2ab+=0,+
2b(a+b).
(2)a>0,b>0,2ab=a+b
2,即2ab2,
1,ab1,
当且仅当a=b=1时取等号,故ab的最
小值为1.
48.【答案】解：（1）因为、是正数，
所以，
当且仅当时等号成立，
故a+b的最小值为4；
（2）因为,故，，
整理得ab=a+b,即(a-1)(b-1)=1,
则，
当且仅当,即、时等号成立，
故的最小值为.

49.【答案】解：（1）因为、是正数，所以
，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为.
（2）,
即, , ，，，
因为，，所以，，
则，
当且仅当、时等号成立，故的最小值为.
（3）因为，，，
所以
，
当且仅当、时等号成立，
故的最小值为.
50.【答案】解：（1）由 ，得 ，a>0,b>0，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
即 得证；
(2)依题意,a+b+ab=8,a>0,b>0，
所以8-(a+b)=ab,当且仅当a=b=2时等号成立,
整理得[(a+b)+8][(a+b)-4]0,解得a+b4,
所以a+b的最小值为4.
（3）因为 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，
则 ，
所以 的最大值为6．

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