2025- 2026学年第一学期第一次阶段检测
高一数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1.下列各项中表示同一集合的是 ( )
A. P= -3,1 ,Q= 1,-3
B. P= -3,1 ,Q= 1,-3
C. P= x,y ∣x2-2y=1 ,Q= y∣x2-2y=1
D. P= -3,1 ,Q= -3,1
2. 若 p:x<-1，则 p的一个充分不必要条件为 ( )
A. x<-1 B. x< 2 C. - 8< x< 2 D. - 10< x<-3
3. 已知U为全集，则下列说法错误的是 ( )
A. 若A∩B= ，则 UA ∪ UB =U B. 若A∪B= ，则A=B=
C. 若A∪B= ，则 UA ∩ UB =U D. 若A∩B= ，则A= 或B=
4. 命题“ x≥ 3,x2- 1≥ 0”的否定为 ( )
A. x< 3,x2- 1≤ 0 B. x≥ 3,x 2- 1< 0 C. x< 3,x2- 1< 0 D. x≥ 3,x2- 1< 0
5. 设集合A= x y= x-1 ，集合B= x 2x-x2>0 ，则 RA ∩B等于 ( )
A. 0,2 B. 1,2 C. 0,1 D.
6. 若“ x∈R，使得 2x+1 - 3-2x A. - 5 B. 5 C. - 3 D. 3
7. 若正实数 x,y满足 x+ 2y= 4，若不等式m2- 1 m> 2 + 1+ 有解，则m 取值范围是 ( )3 x y 1
A. - 4 ,1 B. -∞,- 4 ∪ 1,+∞ 3 3
C. -1, 4 D. 4 -∞,-1 ∪3 ,+∞3
8. 关于 x的不等式-x2+ 6ax- 3a2≥ 0 a>0 6a 的解集为 x1,x2 ，则 x1-x2 + 的最小值是
x 21+x2
( )
A. 4 B. 2 3 C. 2 D. 2 6
3 3
二、多选题：本题共 3小题，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的
得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
·1·
9. 下列命题中，真命题有 ( )
A. b a任意非零实数 a,b，都有 + ≥ 2 B. x∈ 1,+∞ 4 ，使得 x+
a b x- = 61
2
C. x∈R，都有 x2- x≥ x- 1 D. 函数 y= x -5 的最小值为 4
x2-9
10. 下列说法不正确的是 ( )
A. 函数 y= x2- 4x- 5的零点是 -1,0 和 5,0
B. 正实数 a,b满足 a+ b= 2 1 1 9，则不等式 + 的最小值为
a 4b 4
C.“m< 0”是“关于 x的方程 x2- 2x+m= 0有一正一负两根”的充要条件
D. 1 > 1“ ”是“x< y”的既不充分也不必要条件
x y
11. 设 a> 1,b> 1，且 ab- a+b = 1，那么 ( )
A. a+ b有最小值 2 2+1 B. a2+ b2有最小值 18+ 12 2
C. 1- +
1
- 有最小值 2 D. 3a+ b有最小值 4+ 2 6a 1 b 1
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 集合A= x|x2-8x<0,x∈Z ，则B= y 24- ∈N *,y∈A 用列举法表示为 .y 1
(x+1)2024 3-x
13. 不等式 ≥ 0的解集为 .
(x-1)2025
2 2
, + = 3x -5y +4x+12y14. 正实数 x y满足 x 3y 4，则 的最小值是 .
2xy
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合A= x∣x2+ax+12=0 ,B= b+5,3-b,2b+1 ，且A∩B= 2 .
(1)求 a和 b；
(2)若集合C= x∣x2-2 m+1 x+m2+3=0 ,A∩C=C，求实数m的取值范围.
·2·
16. 已知集合A= x∣m-1(1)当m= 2时，求A∪B,A∩B；
(2)若“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围；
(3)若 x∈A，使得 x∈B，求实数m的取值范围.
17. 2024年 8月 16日，商务部等 7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》．根据通知，对
符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能
源乘用车补 1万元、购买燃油乘用车补 7000元，分别提高至 2万元和 1.5万元，某新能源汽车配件公
司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件．已知生产该产品的年固定成本为 2000万元，每生产
x x∈N* 百件，需另投入成本W x 万元，且 0≤ x< 45时，W x = 3x2+ 260x；当 x≥ 45时，
W x = 501x+ 4900 + - 4950，由市场调研知，该产品每百件的售价为 500万元，且全年内生产的该x 20
产品当年能全部销售完．
(1)分别写出 0≤ x< 45与 x≥ 45时，年利润 y(万元)与年产量 x(百件)的关系式 (利润=销售收入
-成本)；
(2)当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
·3·
18. 已知函数 y=m2x2+ m-1 x+ 1
(1)若该函数恰有一个零点，求实数m的值；
(2)若函数的两个零点均在 0,6 ，求实数m的取值范围；
(3)若不等式m2x2+ m-1 x+ 1> x2- 3对 x∈R恒成立，求实数m的取值范围.
19. 1 1 1问题：已知 a，b，c均为正实数，且 + + = 1，求证：a + b + c ≥ 9.证明：a + b + c =
a b c
a+b+c 1 + 1 + 1 = 3+ b + a + c + a + c + b ≥ 3+ 2+ 2+ 2= 9当且仅当 a=a b c a b a c b c
b= c= 3时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题：
(1)已知 a，b，c 1 9 16均为正实数，且 a+ b+ c= 4，求 + + 的最小值；
a b c
(2) x
2 y2
已知 a，b，x，y均为正实数，且 - = 1，求证：a2- b2≤(x- y)2；
a2 b2
(3)求T= 7t-13- t-2的最小值，并求出使得T取得最小值时 t的值.
·4·2025- 2026学年第一学期第一次阶段检测
高一数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1.下列各项中表示同一集合的是 ( )
A. P= -3,1 ,Q= 1,-3
B. P= -3,1 ,Q= 1,-3
C. P= x,y ∣x2-2y=1 ,Q= y∣x2-2y=1
D. P= -3,1 ,Q= -3,1
【答案】B
【详解】A选项， -3,1 , 1,-3 是坐标系内不同的两个点，故不表示同一集合，A错误；
B选项，P= -3,1 ,Q= 1,-3 是同一个集合，B正确；
C选项，P= x,y ∣x2-2y=1 是点集，Q= y∣x2-2y=1 是数集，不是同一集合，C错误；
D选项，P= -3,1 为点集，Q= -3,1 为数集，D错误.
故选：B
2. 若 p:x<-1，则 p的一个充分不必要条件为 ( )
A. x<-1 B. x< 2 C. - 8< x< 2 D. - 10< x<-3
【答案】D
【详解】由-10< x<-3 x<-1，反之不成立，所以P：x<-1的一个充分不必要条件为：-10< x
<-3，其它选项均不符合.
故选：D.
3. 已知U为全集，则下列说法错误的是 ( )
A. 若A∩B= ，则 UA ∪ UB =U B. 若A∪B= ，则A=B=
C. 若A∪B= ，则 UA ∩ UB =U D. 若A∩B= ，则A= 或B=
【答案】D
【详解】解：A正确，因为 UA ∪ UB = U A∩B ，A∩B= ，
所以 UA ∪ UB = U A∩B =U；
B正确，A∪B= ，即集合A，B中均无任何元素，可得A=B= ．
C正确，因为 UA ∩ UB = U A∪B ，A∪B= ，
所以 UA ∩ UB = U A∪B =U；
D错误，若A∩B= ，则集合A，B不一定为空集，只需两个集合中无公共元素即可，
故选:D．
4. 命题“ x≥ 3,x2- 1≥ 0”的否定为 ( )
A. x< 3,x2- 1≤ 0 B. x≥ 3,x 2- 1< 0 C. x< 3,x2- 1< 0 D. x≥ 3,x2- 1< 0
【答案】D
·1·
【详解】由全称命题 否定是特称命题，则原命题的否定为 x≥ 3,x2- 1< 0.
故选：D
5. 设集合A= x y= x-1 ，集合B= x 2x-x2>0 ，则 RA ∩B等于 ( )
A. 0,2 B. 1,2 C. 0,1 D.
【答案】C
【详解】∵A= x y= x-1 = x x-1≥0 = x x≥1 ，∴ RA= x x<1 ，
又B= x 2x-x2>0 = x x2-2x<0 = x 0故选C.
6. 若“ x∈R，使得 2x+1 - 3-2x A. - 5 B. 5 C. - 3 D. 3
【答案】A
【详解】由题意得 x∈R， 2x+1 - 3-2x ≥m为真命题，
-2x-1- 3-2x ,x≤-
1 1
2
-4,x≤-
2
由于 2x+1 - 3-2x = 2x+1- 3-2x ,-
1
2 3
2 = 4x-2,-
1 3
2
2x+1+
3-2x,x≥ 32 4,x≥
3
2
显然 2x+1 - 3-2x 的最小值为-4，
故只需m≤-4，所以-5满足要求.
故选：A
7. 若正实数 x,y满足 x+ 2y= 4，若不等式m2- 1 m> 2 + 1 有解，则m 取值范围是 ( )
3 x y+1
A. - 4 ,1 B. -∞,- 43 3 ∪ 1,+∞
C. -1, 4 D. -∞,-1 4 ∪ ,+∞3 3
【答案】D
【详解】由 x+ 2y= 4，则 x+ 2 y+1 = 6，
2
所以 + 1 = 2+ +
1
+ × x+2 y+1 ×
1
x y 1 x y 1 6
= 1
4
+ +
y+1 + x ≥ 1 + 4 y+1 × x 2 2 4 2 =
4
，
6 x y+1 6 x y+1 3
4 y+1 x
当且仅当 = + ，即 x= 3
1
，y= 时等号成立，
x y 1 2
则m2- 1 m> 4 4 4，即 m- m+1 > 0，解得m∈ -∞,-1 ∪ ,+∞ .
3 3 3 3
故选：D.
8. 关于 x的不等式-x2+ 6ax- 3a2≥ 0 a>0 6a 的解集为 x1,x2 ，则 x1-x2 + 的最小值是
x1+x 22
( )
·2·
A. 4 B. 2 3 C. 2 D. 2 6
3 3
【答案】B
【详解】解：因为关于 x的不等式-x2+ 6ax- 3a2≥ 0(a> 0)的解集为 x1,x2 ，
可知 x1,x2是方程-x2+ 6ax- 3a2= 0的两根，
且 x1< x2，且Δ= 36a2- 12a2= 24a2> 0，
可得 x1+ x2= 6a,x1x2= 3a2，
则 x1-x2 = x 2 2 21+x2 -4x1x2= 36a -12a = 2 6a，
x -x + 6a可得 1 2 = 2 6a+ 6 ≥ 2 2 6a 6 = 2 3 ，
x +x 2 36a 36a1 2 3
当且仅当 2 6a= 6 ，即 a= 2 时，取等号，
36a 12
所以 x1-x2 + 6a 2 3的最小值是 .
x +x 21 2 3
故选：B.
二、多选题：本题共 3小题，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的
得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 下列命题中，真命题有 ( )
A. b a 4任意非零实数 a,b，都有 + ≥ 2 B. x∈ 1,+∞ ，使得 x+
a b x- = 61
2
C. x∈R，都有 x2- x≥ x- 1 D. y= x -5函数 的最小值为 4
x2-9
【答案】BCD
b a b a
【详解】对于A，对于非零实数 a,b异号时， + < 0，不满足 + ≥ 2，故A选项不正确；
a b a b
对于B，当 x∈ 1,+∞ 时，x- 1∈ 0,+∞ ，
x+ 4 = x- 1+ 4所以 - + 1≥ 2 x-1 ×
4 + 1= 5，
x 1 x-1 x-1
4
当且仅当 x- 1= - ，即 x= 3时取等号，x 1
4
所以 x+ - ≥ 5，所以 x∈
4
1,+∞ ，使得 x+ - = 6，故B选项正确；x 1 x 1
对于C，因为 x2- x- x-1 = x2- 2x+ 1= x-1 2 ≥ 0，
所以 x∈R，都有 x2- x≥ x- 1，故C选项正确；
对于D，由 x2- 9> 0，得 x<-3或 x> 3，
x2-5
所以函数 y= 的定义域为 -∞,-3 ∪ 3,+∞ ，
x2-9
x2y= -5 x
2
= -9+4 = x2-9+ 4又 ≥ 2 x2-9× 4 = 4，
x2-9 x2-9 x2-9 x2-9
当且仅当 x2-9= 4 ，即 x=± 13时取等号，
x2-9
x2y= -5所以函数 的最小值为 4，故D正确.
x2-9
故选：BCD
·3·
10. 下列说法不正确的是 ( )
A. 函数 y= x2- 4x- 5的零点是 -1,0 和 5,0
B. 1 1 9正实数 a,b满足 a+ b= 2，则不等式 + 的最小值为
a 4b 4
C.“m< 0”是“关于 x的方程 x2- 2x+m= 0有一正一负两根”的充要条件
D. 1 > 1“ ”是“x< y”的既不充分也不必要条件
x y
【答案】AB
【详解】对A：函数 y= x2- 4x- 5的零点是-1和 5，
即函数的零点是数，不是点，故A错误；
B 1 + 1 = 1 a+b 1 + 1 = 1 5 + b a 1 5 9对 ：因 + ≥ +2 b a = ，a 4b 2 a 4b 2 4 a 4b 2 4 a 4b 8
b = a a 4b a= 4
当且仅当 3 a+b=2 ，即 2 时取等号，故B错误； b=a>0,b>0 3
对C：因为m< 0 方程 x2- 2x+m= 0有一正一负两根，故C正确；
x=1 1 1 1 1
对D：当 =- 时，满足 > ，但 x< y不成立，故“ > ”不是“x< y”的充分条件；y 1 x y x y
x=-1当 = 时，满足 x< y
1 1 1 1
，但 > 不成立，所以“ > ”不是“x< y”的必要条件.
y 1 x y x y
1 1
综上“ > ”是“x< y”的既不充分也不必要条件，故D正确.
x y
故选：AB
11. 设 a> 1,b> 1，且 ab- a+b = 1，那么 ( )
A. a+ b有最小值 2 2+1 B. a2+ b2有最小值 18+ 12 2
C. 1 + 1- - 有最小值 2 D. 3a+ b有最小值 4+ 2 6a 1 b 1
【答案】ACD
a+b 2≤
a+b 2
【详解】对于A：因为 ab ，所以 ab- a+ = ≤
b 1 - a+b ，
4 4
即 a+b 2 - 4 a+b - 4≥ 0，所以 a+b-2 2 ≥ 8，
解得 a+ b- 2≥ 2 2或 a+ b- 2≤-2 2 (舍，因为 a> 1,b> 1)，
所以 a+ b≥ 2 2+1 ，当且仅当 a= b= 2+ 1时取等号，
即 a+ b的最小值为 2 2+1 ，A正确；
a+b 2 2 2+1 2
对于B：由A，a2+ b2≥ ≥ = 6+ 4 2，当且仅当 a= b= 2+ 1时取等号，
2 2
即 a2+ b2的最小值为 6+ 4 2，B错误；
C ab- a+b = 1 a= b+1 1 b-1对于 ：由 得
b- ，所以 = ，1 a-1 2
1 1
所以 - + - =
b-1 + 1 1- ≥ 2 = 2，当且仅当 a= b= 1+ 2时取等号，a 1 b 1 2 b 1 2
1
即 - +
1
- 的最小值为 2，C正确；a 1 b 1
·4·
b+1 3 b+1
对于D：因为 a= - ，所以 3a+ b=
- + b= 4+
6
- + b- 1≥ 4+ 2 6，b 1 b 1 b 1
当且仅当 a= 1+ 6 ,b= 1+ 6时取等号，
3
所以 3a+ b的最小值为 4+ 2 6，D正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 集合A= x|x2-8x<0,x∈Z ，则B= 24 y - ∈N *,y∈A 用列举法表示为 .y 1
【答案】{2,3,4,5,7}
【详解】由A= x|x(x-8)<0,x∈Z ={x|0< x< 8,x∈ Z}= {1,2,3,4,5,6,7}，
24
由 *- ∈N 且 y∈A，则 y∈{2,3,4,5,7}，故B={2,3,4,5,7}.y 1
故答案为：{2,3,4,5,7}
(x+1)2024 3-x
13. 不等式 ≥ 0的解集为 .
(x-1)2025
【答案】 -1 ∪ 1,3
(x+1)2024 3-x
详解】对于不等式 ≥ 0，
(x-1)2025
显然 x≠ 1，则 (x+ 1)2024≥ 0,(x- 1)2024> 0 3-x，可得 - ≥ 0，x 1
3-x x-1 ≥0等价于 ≠ ，解得 1< x≤ 3，x 1
(x+1)2024 3-x=- 注意到 x 1时， = 0，
(x-1)2025
(x+1)2024 3-x
所以不等式 ≥ 0的解集为 -1 ∪ 1,3 .
(x-1)2025
故答案为： -1 ∪ 1,3 .
, 3x
2-5y2+4x+12y
14. 正实数 x y满足 x+ 3y= 4，则 的最小值是 .
2xy
【答案】7
3x2-5y2+4x+12y 2= 3x - 5y
2
+ 4x + 12y 3x 5y 2 6【详解】因为 = - + + ，
2xy 2xy 2xy 2xy 2xy 2y 2x y x
又 x+ 3y= x+3y4，所以 = 1.
4
3x - 5y + 2所以 + 6
2y 2x y x
3x 5y 2 x+3y 6 x+3y= - + +
2y 2x 4y 4x
= 3x - 5y + x + 3 + 3 + 9y
2y 2x 2y 2 2 2x
= 2x + 2y + 3≥ 2x 2y2 + 3= 7，
y x y x
·5·
2x 2y y = x
当且仅当 x+3y=4 即 x= y= 1时取等号.
x>0,y>0
故答案为：7
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合A= x∣x2+ax+12=0 ,B= b+5,3-b,2b+1 ，且A∩B= 2 .
(1)求 a和 b；
(2)若集合C= x∣x2-2 m+1 x+m2+3=0 ,A∩C=C，求实数m的取值范围.
【答案】(1)a=-8，b= 1 (2)m≤ 1或m= 3
2
【小问 1详解】
由条件可知，22+ 2a+ 12= 0，得 a=-8，
当 a=-8时，x2- 8x+ 12= 0，得 x= 2或 x= 6，
即A= 2,6 ,
当 b+ 5= 2时，b=-3，此时B= 2,6,5 ，A∩B= 2,6 ≠ 2 ，不成立，
当 3- b= 2时，b= 1，此时B= 6,2,3 ，A∩B= 2,6 ≠ 2 ，不成立，
当 2b+ 1= 2 b= 1 B= 11 5时， ，此时 , ,2 ，满足A∩B= 2 ，成立，
2 2 2
1
所以 a=-8，b= ；
2
【小问 2详解】
由A∩C=C可知，C A，
当C= 时，Δ= 4 m+1 2 - 4 m2+3 = 8m- 8< 0，得m< 1，
Δ=8m-8=0
当C= 2 时， 4-4 m+ + 2+ = ，得m= 1，1 m 3 0
= Δ=8m-8=0当C 6 时， - + + 2+ = ，不存在m值使方程组成立，36 12 m 1 m 3 0
2
= , 4-4 m+1 +m +3=0当C 2 6 时， 36- ，得m= 3，12 m+1 +m2+3=0
综上可知，m≤ 1或m= 3
16. 已知集合A= x∣m-1(1)当m= 2时，求A∪B,A∩B；
(2)若“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围；
(3)若 x∈A，使得 x∈B，求实数m的取值范围.
【答案】(1)A∪B= x -2【小问 1详解】
m= 2时，A= x∣1【小问 2详解】
因为“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，所以A B，
因为 m2+1 - m-1 =m2-m+ 2> 0恒成立，所以m2+ 1>m- 1恒成立，所以A≠ ，
m-1≥-2
由 2+ ≤ ，解得-1≤m≤ 1，m 1 2
当m=-1时，A= x∣-2·6·
当m= 1时，A= x 0所以要使得A B，则m的取值范围是 -1,1 ；
【小问 3详解】
由“ x∈A，使得 x∈B”得A∩B≠ ，
若A∩B= ，则m2+ 1≤-2或m- 1≥ 2，解得m≥ 3，
所以要使得A∩B≠ ，m的取值范围是 -∞,3 .
17. 2024年 8月 16日，商务部等 7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》．根据通知，对
符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能
源乘用车补 1万元、购买燃油乘用车补 7000元，分别提高至 2万元和 1.5万元，某新能源汽车配件公
司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件．已知生产该产品的年固定成本为 2000万元，每生产
x x∈N* 百件，需另投入成本W x 万元，且 0≤ x< 45时，W x = 3x2+ 260x；当 x≥ 45时，
W x = 501x+ 4900 + - 4950，由市场调研知，该产品每百件的售价为 500万元，且全年内生产的该x 20
产品当年能全部销售完．
(1)分别写出 0≤ x< 45与 x≥ 45时，年利润 y(万元)与年产量 x(百件)的关系式 (利润=销售收入
-成本)；
(2)当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
【答案】(1)答案见解析； (2)年产量为 50百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是 2830万元.
【小问 1详解】
由题意可得当 0≤ x< 45时，y= 500x- 3x2- 260x- 2000=-3x2+ 240x- 2000，
当 x≥ 45时，y= 500x- 501x+ 4900+ -4950 - 2000= 2950- x+
4900
x 20 x+20
【小问 2详解】
由 (1)得 0≤ x< 45时，y=-3x2+ 240x- 2000=-3 x-40 2 + 2800，
此时 x= 40(百件)时，ymax= 2800(万元)，
x≥ 45 y= 2950- x+ 4900当 时， + = 2970- x+20+
4900
，
x 20 x+20
因为 x+ 20> 0 4900， + > 0，所以：x 20
2970- x+20+ 4900+ ≤ 2970- 2 (x+20)×
4900
+ = 2970- 2× 70= 2830，x 20 x 20
即 y≥ 2830
x+ 20= 4900当且仅当 ，即 x= 50时等号成立，y
x+20 max= 2830(万元)，
而 2800< 2830，故 x= 50(百件)时，利润最大，
综上所述，年产量为 50百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是 2830万元.
18. 已知函数 y=m2x2+ m-1 x+ 1
(1)若该函数恰有一个零点，求实数m的值；
(2)若函数的两个零点均在 0,6 ，求实数m的取值范围；
(3)若不等式m2x2+ m-1 x+ 1> x2- 3对 x∈R恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)m= 0或m= 1 或m=-1
3
·7·
(2) -1,
-1- 21 ∪ -1+ 21 ,
1
12 12 3
(3)m<- 17 或m≥ 1
15
【小问 1详解】
当m= 0时：函数为 y=-x+ 1，恰有一个零点，符号题意；
当m≠ 0时：
函数 y=m2x2+ m-1 x+ 1是二次函数，Δ= (m- 1)2- 4×m2× 1= 0，
化简得 3m2+ 2m- 1= 0 m= 1，解得 或m=-1.
3
m= 0 m= 1综上， 或 或m=-1.
3
【小问 2详解】
函数 y= f x =m2x2+ m-1 x+ 1，
函数有两个零点，故m2≠ 0，即m≠ 0，
Δ=-3m2- 2m+ 1≥ 0 1，即 3m2+ 2m- 1≤ 0，解得-1≤m≤ 且m≠ 0；
3
m-1 m-1 1 1
对称轴为 x=- ，需满足 0<- ≤ 6，解得 ≤m< 1或m≤- ，
2m2 2m2 4 3
f 0 = 1> 0，
f 6 = 36m2+ 6 m-1 + 1= 36m2+ 6m- 5≥ 0，解得m≤ -1- 21 m≥ -1+ 21或 ，
12 12
m -1, -1- 21综上 的取值范围为： ∪ -1+ 21 1 , .12 12 3
【小问 3详解】
不等式m2x2+ (m- 1)x+ 1> x2- 3对 x∈R恒成立，
(m2- 1)x2+ (m- 1)x+ 4> 0对 x∈R恒成立，
分情况讨论：
当m2- 1= 0时：
即m= 1或m=-1，
当m= 1时，不等式变为 4> 0，对 x∈R恒成立。
当m=-1时，不等式变为-2x+ 4> 0，即 x< 2，不满足对 x∈R恒成立；
当m2- 1≠ 0时：
此时函数 y= (m2- 1)x2+ (m- 1)x+ 4是二次函数，要使其对 x∈R恒大于 0，需满足
m2-1>0 Δ=(m-1)2-16(m2- ，1)<0
由m2- 1> 0得m<-1或m> 1，
计算Δ= m-1 2 - 16 m2-1 =-15m2- 2m+ 17< 0，即 15m2+ 2m- 17> 0，
17
解得m<- 或m> 1，
15
结合m<-1或m> 1，得到m<- 17 或m> 1，
15
17
综上，实数m的取值范围是m<- 或m≥ 1.
15
19. 问题：已知 a，b c 1 1 1， 均为正实数，且 + + = 1，求证：a + b + c ≥ 9.证明：a + b + c =
a b c
a+b+c 1 + 1 + 1 = 3+ b a c a + + +a b c a b a c +
c + b ≥ 3+ 2+ 2+ 2= 9当且仅当 a=b c
·8·
b= c= 3时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题：
(1)已知 a，b 1 9 16，c均为正实数，且 a+ b+ c= 4，求 + + 的最小值；
a b c
2 2
( y2) x已知 a，b，x，y均为正实数，且 - = 1，求证：a2- b2≤(x- y)2；
a2 b2
(3)求T= 7t-13- t-2的最小值，并求出使得T取得最小值时 t的值.
【答案】(1)16 (2)证明见解析； (3) 42 85；t= .
7 42
【小问 1详解】
a+ b+ c= 4 a+b+c由 ，得 = 1，且 a，b，c均为正实数，所以
4
1 + 9 + 16 = 1 + 9 + 16 a+b+c = 1 26+ b + 9a + c + 16a + 9c + 16b a b c a b c 4 4 a b a c b c
≥ 1 26+2 b × 9a +2 c × 16a +2 9c × 16b
1
= [26+ 6+ 8+ 24]= 16.4 a b a c b c 4
b=3a
1 3
当且仅当 c=4a 时等号成立，又 a+ b+ c= 4，得 a= ，b= ，c= 2时等号成立.= 2 23c 4b
1 + 9故 + 16 的最小值为 16.
a b c
【小问 2详解】
2 y2
由 a，b x y x，， 均为正实数，且 - = 1，所以
a2 b2
2
2- 2= ( 2- 2) x - y
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b a b = x2+ y2- b x + a y ≤ x2+ a yy2- 2 b x × = x2+ y2- 2xy= (xa2 b2 a2 b2 a2 b2
- y)2，
2 2 a2y2 2 2 y2 4
即 a2- b2≤(x- y)2. b x b x a当且仅当 = 时等号成立，即 y= x，又 - = 1，解得 x2= ，
a2 b2 a2 a2 b2 a2-b2
4 4
所以 a> b时，x= a ，y= b 时等号成立.
a2-b2 a2-b2
故 a2- b2≤(x- y)2.
【小问 3详解】
7t-13≥0
由T= 7t-13- t-2，得 t-2≥ ，即 t≥ 2.0
x2 y2
令 x= 7t-13，y= t-2，则 x≥ 1，y≥ 0，x> y，x2- 7y2= 1，即 - = 1.
1 1
7
所以T= x- y，由 (2)可得T2= (x- y)2≥ 1- 1 = 6 ，
7 7
2
>
1
由T 0，所以T≥ 42 ，当且仅当 y= t-2= 7 = 42 851 时等号成立，此时 t= .7 1- 42 427
t= 85 T 42故 时 取得最小值 .
42 7
·9·
