新泰中学 2025级高一上学期第一次阶段性考试
出题人：刘杨 审核：房立春
一、单项选择题：(本大题共 8小题，每小题 5分，共计 40分.每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的.)
1.已知集合A= x -3≤x≤1 ，B= x x ≤2 ，则A∩B= ( )
A. x -2≤x≤1 B. x 0≤x≤1 C. x -3≤x≤2 D. x 1≤x≤2
【答案】A
【详解】因为B= x x ≤2 = x -2≤x≤2 ，A= x -3≤x≤1 ，
所以A∩B= x -2≤x≤1 ，
故选：A
2. 已知命题 p: x< 1,x2≤ 1，则命题 p的否定为 ( )
A. x≥ 1,x2> 1 B. x< 1,x2> 1 C. x< 1,x2> 1 D. x≥ 1,x2> 1
【答案】C
【详解】因为命题 p: x< 1,x2≤ 1，
所以命题 p的否定为： x< 1,x2> 1，
故C正确；
故选：C.
3. 下列命题为真命题的是 ( )
A. a> b> 0 a+m a，当m> 0时，
b+ >m b
B. 集合A= x|y=x2+1 与集合B= y|y=x2+1 是相同的集合
C. m m若 b< a< 0，m< 0，则 >
a b
D. x+ 2+ 16
x+ x≥10 最小值为 82
【答案】C
b a+m -a b+m m b-a
【详解】选项A：∵ a+m - a+ =
= ，
b m b b b+m b b+m
∵ a> b> 0，m> 0，则 b b+m > 0，m b-a < 0，
∴ a+m a
m b-a
+ - = < 0，即 a> b> 0 m> 0
a+m a
，当 时， + < ，故A错误；b m b b b+m b m b
选项B：集合A表示 y= x2+ 1的定义域，即A=R，集合B表示 y= x2+ 1的值域，即B= y|y≥1 ，
∴A≠B，故B错误；
m m m b-a
选项C：∵ - = ，
a b ab
又∵ b< a< 0，m< 0，则 ab> 0，m b-a > 0，
∴ m - m
m b-a= > 0 m m，即 > ，故C正确；
a b ab a b
16
选项D：令 t= x+ 2，由 x≥ 10得 t≥ 12，表达式变为 t+ ，
t
·1·
t+ 16根据基本不等式： ≥ 2 t 16 = 8，当且仅当 t= 4时取等号，即等号不成立，
t t
∴ x+ 2+ 16+ (x≥ 1)的最小值不为 8，故D错误．x 2
故选：C．
4. 设 a、b∈R，则“a> b”是“a a > b b” 的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
-x
2, x≤0
【详解】设 f x = x x = ，则函数 f x 在 -∞,0 、 0,+∞ 上均为增函数，x2, x>0
又因为函数 f x 在R上连续，故函数 f x 在R上单调递增，
若 a> b，则 f a > f b ，即 a a > b b ；
若 a a > b b ，则 f a > f b ，可得 a> b.
因此，“a> b”是“a a > b b” 的充要条件.
故选：C.
5. 已知不等式 ax2+ bx+ c< 0的解集为 {x ∣ x<-1或 x> 3}，则下列结论正确的是 ( )
A. a> 0 B. c< 0
C. a+ b+ c< 0 D. cx2- bx+ a< 0 x - 1的解集为
【答案】D
【详解】对于A，由已知可得 y= ax2+ bx+ c开口向下，即 a< 0，故A错误；
对于BCD，x=-1,x= 3是方程 ax2+ bx+ c= 0的两个根，
-
b =-1+3=2
a
所以 b=-2a,c=-3a，
c =-1×3=-3a
所以 c> 0,a+ b+ c= a- 2a- 3a=-4a> 0，
cx2- bx+ a=-3ax2+ 2ax+ a< 0 3x2- 2x- 1< 0 - 1 < x< 1，故BC错误，D正确；
3
故选：D.
6. 已知-1< a< 5, -3< b< 1，则以下错误的是 ( )
A. -153 b
【答案】D
【详解】因为-1< a< 5, -3< b< 1，所以-1<-b< 3，
-1综上可得-15对于B，-3- 1=-4< a+ b< 1+ 5= 6，故B正确；
对于C，-1- 1=-2< a- b< 3+ 5= 8，故C正确；
·2·
对于D，当 a= 4,b= 1 a时， = 8，故D错误；
2 b
故选：D.
7. 已知关于 x的不等式 kx2- 6kx+ k+ 8≥ 0对任意 x∈R恒成立，则 k的取值范围是 ( )
A. 0≤ k≤ 1 B. 0< k≤ 1 C. k< 0或 k> 1 D. k≤ 0或 k≥ 1
【答案】A
【详解】当 k= 0时，不等式 kx2- 6kx+ k+ 8≥ 0化为 8≥ 0恒成立，
当 k< 0时，不等式 kx2- 6kx+ k+ 8≥ 0不能恒成立，
当 k> 0时，要使不等式 kx2- 6kx+ k+ 8≥ 0恒成立，需Δ= 36k2- 4 k2+8k ≤ 0，
解得 0< k≤ 1，
综上所述，不等式 kx2- 6kx+ k+ 8≥ 0对任意 x∈R恒成立，k的取值范围是 0≤ k≤ 1，
故选：A.
2 2
8. 已知 x> 0，y>-1 x+ y= 1 x +3 + y，且 ，则 最小值 ( )
x y+1
A. 20 B. 2 3 C. 2+ 3 D. 4
3
【答案】C
x2+3 + y
2
【详解】 + = x+
3 + y- 1+ 1+ ，结合 x+ y= 1
3
可知：原式= + 1+ ，x y 1 x y 1 x y 1
3 1 3 x+ y+1 3 y+1
且 + + = +
1 1 x
x y 1 x y+ =1 2 2 4+ + x y+1
≥ 1 + 3 y+14 2 × x
2 x y+
= 2+ 3
1
当且仅当 x= 3- 3，y=-2+ 3时等号成立．
x2+3 2
即 + y+ 最小值为 2+ 3．x y 1
故选：C
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 已知实数 a，b，c满足 a> b> c，且 a+ b+ c= 0，则下列说法正确的是 ( )
A. 1 > 1 B. a- c> 2b C. a3> b3 D. ab+ bc> 0
a-c b-c
【答案】BC
【详解】对于A，因 a> b> c，所以 a- c> b- c> 0 1，所以 - <
1
- ，故A错误；a c b c
对于B，由于 a> b> c且 a+ b+ c= 0，故 c< 0,a> 0，所以 a- b> 0>-a= b+ c，
故 a- c> 2b，B正确；
对于C，因为 a> b，且函数 y= x3在R上单调递增，所以 a3> b3，故C正确；
对于D，因为 a+ b+ c= 0，所以-b= a+ c，所以 ab+ bc= b a+c =-b2≤ 0，故D错误.
故选：BC
10. 中国古代重要 数学著作《孙子算经》下卷有题:“今有物，不知其数，三三数之，剩二; 五五数之，剩
·3·
三; 七七数之，剩二. 问: 物几何 ”现有数学语言表达如下: 已知 A= x∣x=3n+2，n∈N * ，B=
x∣x=5n+3，n∈N * ，C= x∣x=7n+2，n∈N * ，若 x∈ A∩B∩C ，则下列选项中符合题意的整
数 x为 ( )
A. 8 B. 23 C. 37 D. 128
【答案】BD
【详解】因为 23= 3× 7+ 2= 5× 4+ 3= 7× 3+ 2，故 23∈ A∩B∩C ；
128= 3× 42+ 2= 5× 25+ 3= 7× 18+ 2，故 128∈ A∩B∩C ；
因 8= 7× 1+ 1，则 8 C；37= 3× 12+ 1则 37 A.
故选：BD.
11. 已知 x，y均为正实数，则 ( )
xy
A. 1的最大值为
x2+y2 2
B. 若 x+ y= 4，则 x2+ y2的最大值为 8
C. 2若 + y= 1，则 x+ 1 的最小值为 3+ 2 2
x y
2+ 2= - x+y+1D. x y x y 16若 ，则 + 的最小值为x 2y 9
【答案】ACD
【详解】A中，因为 x> 0,y> 0，可得 x2+ y2≥ 2xy，当且仅当 x= y时，等号成立，
xy 1 xy 1
所以 ≤ ，即 的最大值为 ，所以A正确；
x2+y2 2 x2+y2 2
+ = 2+ 2= ( + )2- ≥ - × x+y
2
B中，由 x y 4，则 x y x y 2xy 16 2 = 8，2
当且仅当 x= y时，等号成立，所以 x2+ y2的最小值为 8，所以B不正确；
C 2 + y= 1 x+ 1中，若 ，则 = x+ 1 2 +y = 3+ xy+ 2 ≥ 3+ 2 xy+ 2 = 3+ 2 2，x y y x xy xy
2
当且仅当 xy= 时，即 x= 2+ 2 ,y= 2- 1时，等号成立，所以C正确；
xy
x2+y2
D中，由 x2+ y2= x- y> 0，可得 = 1，
x-y
x2x+y+ +y
2
x+y+1 = x-y 2x
2 2
则
x+2y x+ = = ，2y x2+xy-2y2 2-2 yx +
y
x +1
y
令 t= ∈ 0,
x+y+1
1 ，则 = 2 ，
x x+2y -2t2+t+1
2
又由 f t
1 9 1 1 9
=-2t2+ t+ 1=-2 t- + ，所以当 t= ，可得 f t 4 8 4 max= f = ，4 8
x+y+1 2 16
所以 + = ≥ ，所以D正确.x 2y -2t2+t+1 9
故选：ACD.
三、填空题：(本大题共 3小题，每小题 5分，共计 15分.)
12. 已知集合A= m+2,2m2+m ，若 3∈A，则m的值为 .
·4·
3
【答案】-
2
【详解】因为 3∈A，所以m+ 2= 3或 2m2+m= 3，
当m+ 2= 3，即m= 1时，2m2+m= 3，此时集合A中有重复元素 3，所以m= 1不符合题意，舍去；
3 3 1
当 2m2+m= 3时，解得m=- 或m= 1(舍去)，此时当m=- 时，m+ 2= ≠ 3符合题意，
2 2 2
综上可知，m=- 3 ，
2
3
故答案为：- .
2
13. 若关于 x的不等式 x2- m+1 x+m< 0的解集中恰有 3个整数，则实数m的取值范围是 .
【答案】{m| -3≤m<-2或 4【详解】由 x2- m+1 x+m< 0得： x-m x-1 < 0，
①当m< 1时，不等式 x-m x-1 < 0的解集为： m,1 ，
因为解集中恰有 3个整数，所以-3≤m<-2；
②当m= 1时，不等式 x-m x-1 < 0的解集为 ，不符合题意；
③当m> 1时，不等式 x-m x-1 < 0的解集为： 1,m ，
因为解集中恰有 3个整数，所以 4综上所述：实数m的取值范围是：{m| -3≤m<-2或 4故答案为：{m| -3≤m<-2或 414. x已知函数 f(x) = - ，g(x) = f(x- 3)，则 g(x) =x 1
x-3
【答案】 - ，{x|x≥ 3且 x≠ 4}x 4
= - = x-3 = x-3 x-3≥0【详解】由 g x f x 3 - ，且 - ，可得 x≥ 3且 x≠ 4， x-3 -1 x 4 x 4≠0
所以 g(x) = x-3- ，其定义域为 {x|x≥ 3且 x≠ 4}.x 4
x-3
故答案为： - ，{x|x≥ 3且 x≠ 4}x 4
四、解答题：(本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15. 已知集合A={x x< 0或 x> 2},B= x a≤x≤3-2a .
(1)若A∪B=R，求实数 a的取值范围；
(2)若B RA，求实数 a的取值范围.
【答案】(1) -∞,0 (2)a≥ 1
2
【小问 1详解】
因为A={x x< 0或 x> 2},B= x a≤x≤3-2a ,A∪B=R,
3-2a≥a所以 a≤0 ，解得 a≤ 0，3-2a≥2
所以实数 a的取值范围是 -∞,0 .
【小问 2详解】
·5·
A={x x< 0或 x> 2}, RA= x 0≤x≤2 ，
由B RA得当B= 时，3- 2a< a，解得 a> 1；
当B≠ 时，3- 2a≥ a，即 a≤ 1，
a≥0
要使B A 1，则 - ≤ ，得 ≤ a≤ 1.3 2a 2 2
综上，a≥ 1 .
2
16. 设集合M= x x+a x-1 ≤0 a>0 ，N= x 4x2-4x-3<0 ．
(1)若M∪N= 3 x -2≤x< ，求实数 a的值；2
(2)若 RM ∪N=R，求实数 a的取值范围．
1
【答案】(1)a= 2；(2) 0, .2
【详解】(1) ∵ a> 0，M= x x+a x-1 ≤0 = x -a≤x≤1 ，
N= x 4x2-4x-3<0 = x - 1 所以，-a=-2，解得 a= 2；
(2) ∵ a> 0，M= x -a≤x≤1 ，则 RM= x x<-a 或 x>1 .
-a>- 1 1
又 RM ∪N=R，所以 2 ，解得 0< a< .a>0 2
1
因此，实数 a的取值范围是 0, .2
17. 已知二次函数 f x = ax2+ bx+ c a≠0 的图像过点 -2,0 和原点，对于任意 x∈R，都有 f x ≥
2x．
(1)求函数 f x 的表达式；
(2)设 g x =m(x- 1)，若函数 f(x)≥ g(x)在 x∈ [1, +∞)上恒成立，求实数m的最大值．
【答案】(1)f(x) = x2+ 2x (2)4+ 2 3
【小问 1详解】
c=0由题意得 - + = ，所以 b= 2a,c= 0,f(x) = ax
2+ 2ax，
4a 2b c 0
因为对于任意 x∈R，都有 f(x)≥ 2x，即 ax2+ 2(a- 1)x≥ 0恒成立，
a>0
故 = - 2≤ ，解得 a= 1，∴ b= 2.Δ 4 a 1 0
所以 f(x) = x2+ 2x；
【小问 2详解】
由 f(x)≥ g(x)得 x2+ 2x≥m(x- 1)
当 x= 1时，不等式恒成立；
2
x> 1 m≤ x +2x当 时， ，
x-1
x2+2x t2+4t+3
令 t= x- 1> 0，则 - = = t+
3 + 4≥ 4+ 2 3，
x 1 t t
即m≤ 4+ 2 3，
当且仅当 t= 3时，即 x= 3+ 1时，实数m取得最大值 4+ 2 3 .
·6·
18. 如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目即图中阴影部分，这两
栏的面积之和为 45m2，四周空白的宽度为 0.5m，两栏之间的中缝空白的宽度为 0.25m，设广告牌的
高为 xm．
(1)求广告牌的面积 y关于 x的表达式；
(2)如何设计才能使广告牌的面积最小，并求出最小值．
【答案】(1)y= x 1.25+ 45- (x> 1)；(2)设计广告牌的高度为 7m时广告牌的面积最小，且最小值x 1
为 61.25 m2 ．
【详解】解：(1)依题意设广告牌的宽为 tm，则 (x- 1) (t- 1.25) = 45，
所以 t= 1.25+ 45- ，且 x> 1，x 1
所以广告牌的面积 y= xt= x 1.25+ 45 (x> 1)．x-1
(2)由 (1)知，y= 1.25x+ 45x- = 1.25(x- 1) +
45
- + 46.25x 1 x 1
≥ 2 1.25(x-1) 45- + 46.25= 61.25，x 1
45
当且仅当 1.25(x- 1) = - ，即 x= 7时等号成立．x 1
所以当 x= 7时，广告牌的面积最小最小值为 61.25 m2 ．
答：设计广告牌的高度为 7m时广告牌的面积最小，且最小值为 61.25 m2 ．
19. 已知函数 y= ax2+ bx+ c.
(1)关于 x的不等式 ax2+ bx+ c< 0的解集为 {x ∣-1< x< 3}，求关于 x的不等式 bx2- a(c- 2)x
- 3a2≥ 0的解集;
(2)已知 a> 0,b> 0，当 x= 2时，y= 2ab+ c，
b
①若存在正实数 a，b，使不等式 t2+ 3t- a- > 0有解，求 t的取值范围;
2
4b 16a
②求
b- +2 a- 的最小值.1
【答案】(1)答案见解析 (2)① (-∞,-4) ∪ (1, +∞)，② 36
小问 1详解】
因为关于 x的不等式 ax2+ bx+ c< 0的解集为 {x ∣-1< x< 3}，
a>0,
所以 -1+3=-
b
a ，即
a>0
b=-2a, -1×3= c , c=-3aa
所以不等式 bx2- a(c- 2)x- 3a2≥ 0可转化为-2ax2- a(-3a- 2)x- 3a2≥ 0，
·7·
又 a> 0，所以 2x2- (3a+ 2)x+ 3a≤ 0，即 (2x- 3a) (x- 1)≤ 0，
3 a> 1 2当 ，即 a> 时，解得 1≤ x≤ 3 a;
2 3 2
3
当 a= 1 2，即 a= 时，解得 x= 1;
2 3
3 a< 1 0< a< 2 3当 ，即 时，解得 a≤ x≤ 1，
2 3 2
2 3
综上所述:当 a> 时，不等式的解集为
3
1, a
2
;
当 a= 2 时，不等式的解集为 {1}，
3
0< a< 2 3当 时，不等式的解集为 a,1
3 2
.
【小问 2详解】
因为当 x= 2时，y= 2ab+ c，所以 4a+ 2b+ c= 2ab+ c，
即 2a+ b= ab 1 + 2，所以 = 1，
a b
b b
①若存在正实数 a，b，使不等式 t2+ 3t- a- > 0有解，则 t2+ 3t> a+ ，2 2 min
a+ b = a+ b 1 + 2 = 2+ 2a + b ≥ 2+ 2 2a b = 4，2 2 a b b 2a b 2a
2a b
当且仅当 = ，即 a= 2,b= 4 b时， a+ = 4，b 2a 2 min
所以 t2+ 3t> 4，解得 t<-4或 t> 1，
即 t的取值范围是 (-∞,-4) ∪ (1, +∞).
②由 2a+ b= ab，可得 (a- 1) (b- 2) = 2，
4b + 16a = 4(b-2)+8 + 16(a-1)+16所以
b-2 a-1 b-2 a-1
= + 1 + 2 = + 8(a+2b-5)20 8 - - 20 = 20+ 4(a+ 2b- 5) = 4(a+ 2b)b 2 a 1 (a-1)(b-2)
= 4(a+ 2b) 1 + 2 = 4 5+ 2b + 2a ≥ 4 5+2 2b 2a = 36，a b a b a b
2b = 2a当且仅当 ，即 a= b= 3时，等号成立，
a b
4b + 16a所以 - 的最小值为 36.b 2 a-1
·8·新泰中学 2025级高一上学期第一次阶段性考试
出题人：刘杨 审核：房立春
一、单项选择题：(本大题共 8小题，每小题 5分，共计 40分.每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的.)
1.已知集合A= x -3≤x≤1 ，B= x x ≤2 ，则A∩B= ( )
A. x -2≤x≤1 B. x 0≤x≤1 C. x -3≤x≤2 D. x 1≤x≤2
2. 已知命题 p: x< 1,x2≤ 1，则命题 p的否定为 ( )
A. x≥ 1,x2> 1 B. x< 1,x2> 1 C. x< 1,x2> 1 D. x≥ 1,x2> 1
3. 下列命题为真命题的是 ( )
A. a> b> 0 m> 0 a+m，当 时， > a
b+m b
B. 集合A= x|y=x2+1 与集合B= y|y=x2+1 是相同的集合
C. 若 b< a< 0 m< 0 m > m， ，则
a b
D. x+ 2+ 16+ x≥10 最小值为 8x 2
4. 设 a、b∈R，则“a> b”是“a a > b b” 的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知不等式 ax2+ bx+ c< 0的解集为 {x ∣ x<-1或 x> 3}，则下列结论正确的是 ( )
A. a> 0 B. c< 0
C. a+ b+ c< 0 D. cx2- bx+ a< 0的解集为 x - 1 6. 已知-1< a< 5, -3< b< 1，则以下错误的是 ( )
A. -153 b
7. 已知关于 x的不等式 kx2- 6kx+ k+ 8≥ 0对任意 x∈R恒成立，则 k的取值范围是 ( )
A. 0≤ k≤ 1 B. 0< k≤ 1 C. k< 0或 k> 1 D. k≤ 0或 k≥ 1
2 2
8. 已知 x> y0，y>-1，且 x+ y= 1 x +3，则 + + 最小值 ( )x y 1
A. 20 B. 2 3 C. 2+ 3 D. 4
3
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
·1·
9. 已知实数 a，b，c满足 a> b> c，且 a+ b+ c= 0，则下列说法正确的是 ( )
A. 1 1- > - B. a- c> 2b C. a
3> b3 D. ab+ bc> 0
a c b c
10. 中国古代重要 数学著作《孙子算经》下卷有题:“今有物，不知其数，三三数之，剩二; 五五数之，剩
三; 七七数之，剩二. 问: 物几何 ”现有数学语言表达如下: 已知 A= x∣x=3n+2，n∈N * ，B=
x∣x=5n+3，n∈N * ，C= x∣x=7n+2，n∈N * ，若 x∈ A∩B∩C ，则下列选项中符合题意的整
数 x为 ( )
A. 8 B. 23 C. 37 D. 128
11. 已知 x，y均为正实数，则 ( )
xy
A. 1的最大值为
x2+y2 2
B. 若 x+ y= 4，则 x2+ y2的最大值为 8
C. 2若 + y= 1，则 x+ 1 的最小值为 3+ 2 2
x y
2+ 2= - x+y+1D. 若 x y x y 16，则 的最小值为
x+2y 9
三、填空题：(本大题共 3小题，每小题 5分，共计 15分.)
12. 已知集合A= m+2,2m2+m ，若 3∈A，则m的值为 .
13. 若关于 x的不等式 x2- m+1 x+m< 0的解集中恰有 3个整数，则实数m的取值范围是 .
14. 已知函数 f(x) = x- ，g(x) = f(x- 3)，则 g(x) =x 1
四、解答题：(本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15. 已知集合A={x x< 0或 x> 2},B= x a≤x≤3-2a .
(1)若A∪B=R，求实数 a的取值范围；
(2)若B RA，求实数 a的取值范围.
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16. 设集合M= x x+a x-1 ≤0 a>0 ，N= x 4x2-4x-3<0 ．
(1)若M∪N= x -2≤x< 3 ，求实数 a的值；2
(2)若 RM ∪N=R，求实数 a的取值范围．
17. 已知二次函数 f x = ax2+ bx+ c a≠0 的图像过点 -2,0 和原点，对于任意 x∈R，都有 f x ≥
2x．
(1)求函数 f x 的表达式；
(2)设 g x =m(x- 1)，若函数 f(x)≥ g(x)在 x∈ [1, +∞)上恒成立，求实数m的最大值．
18. 如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目即图中阴影部分，这两
栏的面积之和为 45m2，四周空白的宽度为 0.5m，两栏之间的中缝空白的宽度为 0.25m，设广告牌的
高为 xm．
(1)求广告牌的面积 y关于 x的表达式；
(2)如何设计才能使广告牌的面积最小，并求出最小值．
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19. 已知函数 y= ax2+ bx+ c.
(1)关于 x的不等式 ax2+ bx+ c< 0的解集为 {x ∣-1< x< 3}，求关于 x的不等式 bx2- a(c- 2)x
- 3a2≥ 0的解集;
(2)已知 a> 0,b> 0，当 x= 2时，y= 2ab+ c，
①若存在正实数 a，b，使不等式 t2+ 3t- a- b > 0有解，求 t的取值范围;
2
4b 16a
②求 - + - 的最小值.b 2 a 1
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