25.2 用列举法求概率 同步练习（含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

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25.2 用列举法求概率
一．选择题（共7小题）
1．（2025 辽宁模拟）你还记得小时候玩过的折纸游戏吗，如图为一常见的折纸游戏叫做“东南西北”，在东北的一部分地区也叫做“选猪蹄”，玩家会将纸对折并在纸上写上东南西北以及对应的奖惩内容，并由另一位玩家来选择“东”“南”“西”“北”．若有三人参加这个游戏，一人折纸两人来选择，两人同时选择到“北”的概率为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025 凉州区校级三模）随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生．多种AI软件崭露头角，某班级为更好地了解AI软件，计划举办手抄报展览，确定了“DeepSeek”“豆包”“Kimi”三个主题，若小红和小明从中随机选择其中一个主题，则她们恰好选中一个主题的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025春 沈丘县期中）中国数学家祖冲之、刘徽、张衡、刘歆等都对π有过深入研究．某学校准备从以上4位数学家的介绍图展中随机选2幅进行文化墙的布置，请你推算一下选中祖冲之和刘徽这两位数学家的概率是（　　）
A． B． C． D．1
4．（2025 槐荫区二模）如图，“石头、剪刀、布”是一种猜拳游戏，游戏时，双方每次任意出“石头”“剪刀”“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025 南阳三模）如图，电路图上有编号为①②③④⑤共5个开关和一个小灯泡，闭合开关①或同时闭合开关②③或同时闭合开关④⑤都可使小灯泡发光，任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025 富锦市三模）一个不透明的袋子里装有除颜色外其余均相同的3个红球和2个绿球，随机从中摸出一个球，不再放回，再随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025 平舆县三模）龙门石窟位于河南省洛阳市，是世界上造像最多、规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”，位居中国各大石窟之首．某单位举办以“龙门石窟”为主题的摄影大赛，并准备了如图所示的四枚特种邮票《龙门石窟》作为奖品之一，获得第一名的参赛者可从中任送两枚．已知四枚邮票的面值分别为0.2元，0.3元，0.5元和1元，这些邮票除图案外，质地、规格完全相同．小李获得了第一名，他从这些邮票中随机抽取了两枚，则他抽到的邮票的面值正好是0.5元和1元的概率是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 浦东新区校级期末）粗心的小明、小华和小亮都没有在数学作业本上写名字，当课代表随机将他们的三本作业本发给他们时，他们恰好都能拿到自己那本作业本的概率是　 　 ．
9．（2025春 沙坪坝区校级期末）如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．如果小君转动两个转盘各一次，转盘停止后（指针指在分界线时重转），指针指向的数字之和为奇数的概率是　 　 ．
10．（2025 衢州模拟）江郎山、烂柯山、龙游石窟是衢州市三处有代表性的旅游景点，若小明和小聪从中随机选择一处去游览，他们选中同一景点的概率是 　 　 ．
11．（2025春 濉溪县期中）有四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是富、强、民、主，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同，现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，恰好组成“富强”一词的概率是　 　 ．
12．（2025 渝北区校级模拟）通常情况下无色酚酞溶液遇酸性溶液（或中性溶液）不变色，遇碱性溶液变为红色．实验室现有四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液，实验课上老师让学生用无色酚酞溶液检测其酸碱性，已知这四种溶液分别是a．盐酸（呈酸性），b．白醋（呈酸性），c．氢氧化钠溶液（呈碱性），d．氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种．学生小刚同时任选两瓶溶液用无色酚酞溶液进行检测，则两瓶溶液恰好都变红色的概率为　 　 ．
三．解答题（共3小题）
13．（2025春 青岛期末）儿童节期间，某游乐场为了吸引顾客，举行了一场游戏活动．游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有红、白两种颜色的球共60个，每个球除颜色外完全相同，游戏者依次从中任意摸出一个球（每人摸完后都把球放回盒子中），如果摸到红球就可以得到一个小熊玩具，如果摸到白球就可以得到一个创意气球．已知参加该活动的游戏者共3000人，游乐场共发放小熊玩具200个．
（1）参加此游戏得到小熊玩具的频率是　 　 ；
（2）请估计从该盒子中任意摸出一个球，摸到红球的概率是　 　 ；
（3）求该盒子中大约有多少个白球．
14．（2025春 市南区期末）端午节某商场举办了“幸运抽奖”活动，抽奖箱里共有14个小球，其中有8个红球、4个白球和2个绿球，它们除颜色外其余都相同，小颍和小亮参与了这个活动．
（1）从中任意摸出一球，若摸到红球，则小颖获得奖励；若摸到白球，小亮获得奖励，这个活动对双方公平吗？请说明你的理由；
（2）现在要从箱中取出若干个红球，再放入相同数量的白球，使得这个活动对双方公平，则要取出多少个红球？
15．（2025春 碑林区校级期末）电影《哪吒之魔童闹海》成为中国首部进入全球影史票房榜前十的动画电影，乐乐收集了四张印有该影片人物形象的卡片，其中A为哪吒，B为太乙真人，C为敖丙，D为申公豹，它们除所印人物形象外，无其它差别，将四张卡片洗匀，背面向上．
（1）乐乐从中随机选取一张卡片，选中“哪吒”的概率是 　 　 ；
（2）乐乐从中随机选取两张卡片，求选中“哪吒”和“太乙真人”的概率．
25.2 用列举法求概率
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 辽宁模拟）你还记得小时候玩过的折纸游戏吗，如图为一常见的折纸游戏叫做“东南西北”，在东北的一部分地区也叫做“选猪蹄”，玩家会将纸对折并在纸上写上东南西北以及对应的奖惩内容，并由另一位玩家来选择“东”“南”“西”“北”．若有三人参加这个游戏，一人折纸两人来选择，两人同时选择到“北”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】C
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两人同时选择到“北”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
东 南 西 北
东 （东，东） （东，南） （东，西） （东，北）
南 （南，东） （南，南） （南，西） （南，北）
西 （西，东） （西，南） （西，西） （西，北）
北 （北，东） （北，南） （北，西） （北，北）
共有16种等可能的结果，其中两人同时选择到“北”的结果有1种，
∴两人同时选择到“北”的概率为．
故选：C．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
2．（2025 凉州区校级三模）随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生．多种AI软件崭露头角，某班级为更好地了解AI软件，计划举办手抄报展览，确定了“DeepSeek”“豆包”“Kimi”三个主题，若小红和小明从中随机选择其中一个主题，则她们恰好选中一个主题的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】B
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及她们恰好选中一个主题的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：将“DeepSeek”“豆包”“Kimi”三个主题分别记为A，B，C，
列表如下：
A B C
A （A，A） （A，B） （A，C）
B （B，A） （B，B） （B，C）
C （C，A） （C，B） （C，C）
共有9种等可能的结果，其中她们恰好选中一个主题的结果有3种，
∴她们恰好选中一个主题的概率为．
故选：B．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
3．（2025春 沈丘县期中）中国数学家祖冲之、刘徽、张衡、刘歆等都对π有过深入研究．某学校准备从以上4位数学家的介绍图展中随机选2幅进行文化墙的布置，请你推算一下选中祖冲之和刘徽这两位数学家的概率是（　　）
A． B． C． D．1
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】A
【分析】将四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁，列表得出所有等可能结果及符合条件的结果数，根据概率公式求解即可．
【解答】解：将祖冲之、刘徽、张衡、刘歆四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁，列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲）
乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙）
丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁）
∵共有12种等可能的情况，其中选中祖冲之和刘徽这两位数学家的有2种结果，
∴选中祖冲之和刘徽这两位数学家的概率为，
故选：A．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
4．（2025 槐荫区二模）如图，“石头、剪刀、布”是一种猜拳游戏，游戏时，双方每次任意出“石头”“剪刀”“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】B
【分析】先画树状图得到所有的都可能的结果数以及符合条件的结果数，再利用概率公式求解即可．
【解答】解：如图：
由图可知，共有9种等可能的结果，其中双方出现相同手势的结果有3种，
故双方出现相同手势的概率是．
故选：B．
【点评】本题考查的是列表法或画树状图法，概率公式，根据题意画出树状图是解题的关键．
5．（2025 南阳三模）如图，电路图上有编号为①②③④⑤共5个开关和一个小灯泡，闭合开关①或同时闭合开关②③或同时闭合开关④⑤都可使小灯泡发光，任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】A
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及小灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
① ② ③ ④ ⑤
① （①，②） （①，③） （①，④） （①，⑤）
② （②，①） （②，③） （②，④） （②，⑤）
③ （③，①） （③，②） （③，④） （③，⑤）
④ （④，①） （④，②） （④，③） （④，⑤）
⑤ （⑤，①） （⑤，②） （⑤，③） （⑤，④）
共有20种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有：（①，②），（①，③），（①，④），（①，⑤），（②，①），（②，③），（③，①），（③，②），（④，①），（④，⑤），（⑤，①），（⑤，④），共12种，
∴小灯泡发光的概率为．
故选：A．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
6．（2025 富锦市三模）一个不透明的袋子里装有除颜色外其余均相同的3个红球和2个绿球，随机从中摸出一个球，不再放回，再随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】A
【分析】先画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出两次都摸到红球的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为6种，
所以两次都摸到红球的概率为，
故选：A．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
7．（2025 平舆县三模）龙门石窟位于河南省洛阳市，是世界上造像最多、规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”，位居中国各大石窟之首．某单位举办以“龙门石窟”为主题的摄影大赛，并准备了如图所示的四枚特种邮票《龙门石窟》作为奖品之一，获得第一名的参赛者可从中任送两枚．已知四枚邮票的面值分别为0.2元，0.3元，0.5元和1元，这些邮票除图案外，质地、规格完全相同．小李获得了第一名，他从这些邮票中随机抽取了两枚，则他抽到的邮票的面值正好是0.5元和1元的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】C
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及他抽到的邮票的面值正好是0.5元和1元的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
0.2元 0.3元 0.5元 1元
0.2元 （0.2元，0.3元） （0.2元，0.5元） （0.2元，1元）
0.3元 （0.3元，0.2元） （0.3元，0.5元） （0.3元，1元）
0.5元 （0.5元，0.2元） （0.5元，0.3元） （0.5元，1元）
1元 （1元，0.2元） （1元，0.3元） （1元，0.5元）
共有12种等可能的结果，其中他抽到的邮票的面值正好是0.5元和1元的结果有：（0.5元，1元），（1元，0.5元），共2种，
∴他抽到的邮票的面值正好是0.5元和1元的概率为．
故选：C．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 浦东新区校级期末）粗心的小明、小华和小亮都没有在数学作业本上写名字，当课代表随机将他们的三本作业本发给他们时，他们恰好都能拿到自己那本作业本的概率是　　 ．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】．
【分析】画树状图可得出所有等可能的结果数以及他们恰好都能拿到自己那本作业本的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：将他们的三本作业本分别记为A，B，C，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中他们恰好都能拿到自己那本作业本的结果有1种，
∴他们恰好都能拿到自己那本作业本的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
9．（2025春 沙坪坝区校级期末）如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．如果小君转动两个转盘各一次，转盘停止后（指针指在分界线时重转），指针指向的数字之和为奇数的概率是　　 ．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】．
【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出两个指针所指区域的数字之和为奇数的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：列表如下：
1 2
3 4 5
4 5 6
5 6 7
由表知，共有6种等可能结果，其中指针指向的数字之和为奇数的有3种结果，
所以指针指向的数字之和为奇数的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
10．（2025 衢州模拟）江郎山、烂柯山、龙游石窟是衢州市三处有代表性的旅游景点，若小明和小聪从中随机选择一处去游览，他们选中同一景点的概率是 　　 ．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】．
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及他们选中同一景点的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：将这三处景点分别记为A，B，C，
列表如下：
A B C
A （A，A） （A，B） （A，C）
B （B，A） （B，B） （B，C）
C （C，A） （C，B） （C，C）
共有9种等可能的结果，其中他们选中同一景点的结果有3种，
∴他们选中同一景点的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
11．（2025春 濉溪县期中）有四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是富、强、民、主，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同，现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，恰好组成“富强”一词的概率是　．　 ．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】．
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及恰好组成“富强”一词的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共有12种等可能的结果，其中恰好组成“富强”一词的结果有：（A，B），（B，A），共2种，
∴恰好组成“富强”一词的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
12．（2025 渝北区校级模拟）通常情况下无色酚酞溶液遇酸性溶液（或中性溶液）不变色，遇碱性溶液变为红色．实验室现有四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液，实验课上老师让学生用无色酚酞溶液检测其酸碱性，已知这四种溶液分别是a．盐酸（呈酸性），b．白醋（呈酸性），c．氢氧化钠溶液（呈碱性），d．氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种．学生小刚同时任选两瓶溶液用无色酚酞溶液进行检测，则两瓶溶液恰好都变红色的概率为　　 ．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】．
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两瓶溶液恰好都变红色的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
a b c d
a （a，b） （a，c） （a，d）
b （b，a） （b，c） （b，d）
c （c，a） （c，b） （c，d）
d （d，a） （d，b） （d，c）
共有12种等可能的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色的结果有：（c，d），（d，c），共2种，
∴两瓶溶液恰好都变红色的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
三．解答题（共3小题）
13．（2025春 青岛期末）儿童节期间，某游乐场为了吸引顾客，举行了一场游戏活动．游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有红、白两种颜色的球共60个，每个球除颜色外完全相同，游戏者依次从中任意摸出一个球（每人摸完后都把球放回盒子中），如果摸到红球就可以得到一个小熊玩具，如果摸到白球就可以得到一个创意气球．已知参加该活动的游戏者共3000人，游乐场共发放小熊玩具200个．
（1）参加此游戏得到小熊玩具的频率是　　 ；
（2）请估计从该盒子中任意摸出一个球，摸到红球的概率是　　 ；
（3）求该盒子中大约有多少个白球．
【考点】列表法与树状图法；频数与频率；概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】（1）；（2）；（3）56个．
【分析】（1）频数÷总数＝频率，据此求解即可；
（2）利用频率估计概率即可得出答案；
（3）先求出摸到白球的概率，再乘总个数即可．
【解答】解：（1）参加此游戏得到小熊玩具的频率是200÷3000，
故答案为：；
（2）从该盒子中任意摸出一个球，摸到红球的概率是，
故答案为：；
（3）由题意知，摸出白球的概率约为1，
所以盒子中白球的个数约为6056（个）．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是掌握频数÷总数＝频率及利用频率估计概率的运用．
14．（2025春 市南区期末）端午节某商场举办了“幸运抽奖”活动，抽奖箱里共有14个小球，其中有8个红球、4个白球和2个绿球，它们除颜色外其余都相同，小颍和小亮参与了这个活动．
（1）从中任意摸出一球，若摸到红球，则小颖获得奖励；若摸到白球，小亮获得奖励，这个活动对双方公平吗？请说明你的理由；
（2）现在要从箱中取出若干个红球，再放入相同数量的白球，使得这个活动对双方公平，则要取出多少个红球？
【考点】游戏公平性；概率公式．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】（1）活动对双方不公平；
（2）取出2个白球．
【分析】（1）利用概率公式分别求出小颍和小亮获胜的概率，进而得出答案；
（2）直接利用当黑球与黄球个数相等时，游戏公平，求出答案．
【解答】解：（1）不公平．
由题意可得：小颍获胜的概率为，小亮获胜的概率为；
∵，
∴活动对双方不公平；
（2）设取出了x个红球，则：
8﹣x＝4+x，
∴x＝2．
答：取出2个白球．
【点评】本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
15．（2025春 碑林区校级期末）电影《哪吒之魔童闹海》成为中国首部进入全球影史票房榜前十的动画电影，乐乐收集了四张印有该影片人物形象的卡片，其中A为哪吒，B为太乙真人，C为敖丙，D为申公豹，它们除所印人物形象外，无其它差别，将四张卡片洗匀，背面向上．
（1）乐乐从中随机选取一张卡片，选中“哪吒”的概率是 　　 ；
（2）乐乐从中随机选取两张卡片，求选中“哪吒”和“太乙真人”的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）列表得出共有12种等可能的结果，其中选中“哪吒”和“太乙真人”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）乐乐从中随机选取一张卡片，选中“哪吒”的概率是，
故答案为：；
（2）列表如下：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共有12种等可能的结果，其中选中“哪吒”和“太乙真人”的结果有（A，B），（B，A），共2种，
∴选中“哪吒”和“敖丙”的概率为．
【点评】此题考查的是用列表法与树状图法求概率．列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
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