25.3 用频率估计概率 同步练习（含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

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25.3 用频率估计概率
一．选择题（共7小题）
1．（2025 贵州）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表：
抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000
“正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750
“正面朝上”的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.55 0.55 0.55
则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（　　）
A．0.52 B．0.55 C．0.58 D．0.63
2．（2025春 榕城区期末）对某品种的麦粒在相同条件下进行发芽试验，结果如表所示：根据表格，在这批麦粒中任取一粒，估计它能发芽的概率为（　　）
试验的麦粒数n 200 500 1000 2000 5000
发芽的粒数m 191 473 954 1906 4748
发芽的频率 0.955 0.946 0.954 0.953 0.9496
A．0.92 B．0.95 C．0.97 D．0.98
3．（2025春 龙岗区期末）数学兴趣小组做“抛瓶盖试验”获得的数据如表：
抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
盖口向上的频数 64 118 189 252 310 370 434 498 558 621
盖口向上的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.61 0.62 0.62 0.62 0.62
下列说法正确的是（　　）
A．根据实验结果，“盖口向上”和“盖口向下”具有等可能性
B．若再抛掷瓶盖100次，则一定有62次“盖口向上”
C．若抛掷瓶盖10次，结果“盖口向上”8次，则“盖口向上”的概率为0.8
D．若抛掷瓶盖2000次，则“盖口向上”的次数大约有1240次
4．（2025春 徐州期末）某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率统计图，该事件可能是（　　）
A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
B．从一副扑克牌中随机抽取1张，这张牌是“红桃”
C．掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上刻有1到6的点数，出现的点数是2
D．从装有2个黄球、1个白球（除颜色外都相同）的袋中随机摸1个球，摸到白球
5．（2025春 市南区期末）数学课上，张老师与同学们做“用频率估计概率”的试验．不透明袋子中有2个白球、4个红球、5个黑球和9个黄球，这些球除颜色外完全相同，从袋子中有放回的随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（　　）
A．白色 B．红色 C．黑色 D．黄色
6．（2025春 中原区期末）小明和同学做“抛掷图钉试验”获得的数据如表：下列说法正确的是（　　）
抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
钉尖不着地的频数 64 118 189 252 310 360 434 488 549 610
钉尖不着地的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61
A．若抛掷图钉10000次“钉尖不着地”的次数大约有6100次
B．若抛掷图钉100次，则一定有64次“钉尖不着地”
C．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”具有等可能性
D．若抛掷图钉10次，“钉尖不着地”8次，则“钉尖不着地”概率为0.8
7．（2025春 紫金县期末）下列说法正确的是（　　）
A．投一枚骰子，朝上一面的点数是7，是随机事件
B．某抽奖活动的中奖概率为30%，则抽奖10次一定中奖3次
C．在大量重复试验中，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率一般会越来越接近概率
D．天气预报预计今天下雨的概率为80%，则今天80%的时间下雨
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 顺德区期末）工厂对某批乒乓球的质量进行检查，随机抽查了1000个，发现优等品有825个，估计这批乒乓球中优等品出现的概率为　 　 ．
9．（2025春 佛山期末）10名学生，每人做10次抛瓶盖的实验，实验数据如表：
姓名 小王 小陈 小明 小红 小亮 小朵 小凡 小果 小凯 小梅
盖口向上的次数 6 4 6 7 7 8 9 7 5 8
根据表中数据，可以估计：抛一次瓶盖，落地后盖口向上的概率约为 　 　 ．
10．（2024秋 婺城区校级期末）如图是小华用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，若再次抛掷一枚图钉，则可以估计“钉尖向上”的概率是 　 　 ．（精确到0.001）
11．（2025春 京口区校级期末）为测量一块不规则草地面积，某班学习小组在草地的外围画了一个长5米，宽4米的矩形，学生分四个小组在不远处蒙上双眼向草地方向掷石子，石子落点记录如下表：
项目名称组别 一组 二组 三组 四组
石子落在草地内的次数 59 63 61 57
石子落在阴影内的次数 19 20 19 22
请你用概率的相关知识算出草地的面积大约是 　 　 平方米．
12．（2025春 桓台县期末）小颖和小亮玩“抓纸牌”的游戏．在一个不透明的盒子里，有8张红桃、4张黑桃、a张方块．每张牌质地、大小都相同．一人摸牌，一人记录，经过多次的试验、数据的记录、平均值的计算．小颖和小亮发现摸出方块的频率越来越接近，请你估计a的值为　 　 ．
三．解答题（共3小题）
13．（2025春 张店区期末）在一只不透明的袋子里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601
摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601
（1）表中的a＝　 　 ，b＝　 　 ；
（2）“摸到白球”的概率的估计值是　 　 （精确到0.1）；
（3）如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？
14．（2025春 辽中区期中）一个袋子中装有红、白、黄三种颜色的球（这些球除颜色外其余完全相同），小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球、白球的频率分别稳定在和，且白球有8个．
（1）求袋子中球的总数；
（2）求摸到黄球的概率．
15．（2025春 奉贤区月考）一个不透明的箱子里装有2个红球和1个黄球，每个小球除颜色外其他完全都相同．
（1）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率．（用画树形图或列表的方法）；
（2）如果将箱子中增加若干个白球（与其他球除颜色外完全相同）后，把箱子里的小球摇匀，再随机摸出一个小球，然后记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4左右，请你估计增加白球的个数．
25.3 用频率估计概率
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 贵州）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表：
抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000
“正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750
“正面朝上”的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.55 0.55 0.55
则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（　　）
A．0.52 B．0.55 C．0.58 D．0.63
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】B
【分析】利用频率估计概率求解即可．
【解答】解：抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为0.55，
故选：B．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
2．（2025春 榕城区期末）对某品种的麦粒在相同条件下进行发芽试验，结果如表所示：根据表格，在这批麦粒中任取一粒，估计它能发芽的概率为（　　）
试验的麦粒数n 200 500 1000 2000 5000
发芽的粒数m 191 473 954 1906 4748
发芽的频率 0.955 0.946 0.954 0.953 0.9496
A．0.92 B．0.95 C．0.97 D．0.98
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】B
【分析】利用频率估计概率即可得出答案．
【解答】解：估计它能发芽的概率为0.95，
故选：B．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
3．（2025春 龙岗区期末）数学兴趣小组做“抛瓶盖试验”获得的数据如表：
抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
盖口向上的频数 64 118 189 252 310 370 434 498 558 621
盖口向上的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.61 0.62 0.62 0.62 0.62
下列说法正确的是（　　）
A．根据实验结果，“盖口向上”和“盖口向下”具有等可能性
B．若再抛掷瓶盖100次，则一定有62次“盖口向上”
C．若抛掷瓶盖10次，结果“盖口向上”8次，则“盖口向上”的概率为0.8
D．若抛掷瓶盖2000次，则“盖口向上”的次数大约有1240次
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】D
【分析】利用频率估计概率即可得出答案．
【解答】解：A．根据实验结果，“盖口向上”的概率约为0.62，“盖口向下”的概率约为0.38，不具有等可能性，此选项错误，不符合题意；
B．若再抛掷瓶盖100次，则大约有62次“盖口向上”，此选项错误，不符合题意；
C．若抛掷瓶盖10次，结果“盖口向上”8次，则“盖口向上”的频率为0.8，次数较少，不能用来估计概率的大小，此选项错误，不符合题意；
D．若抛掷瓶盖2000次，则“盖口向上”的次数大约有2000×0.62＝1240（次），此选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
4．（2025春 徐州期末）某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率统计图，该事件可能是（　　）
A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
B．从一副扑克牌中随机抽取1张，这张牌是“红桃”
C．掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上刻有1到6的点数，出现的点数是2
D．从装有2个黄球、1个白球（除颜色外都相同）的袋中随机摸1个球，摸到白球
【考点】利用频率估计概率；频数（率）分布直方图．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】D
【分析】先由图可知，该事件发生的频率稳定在0.33附近，所以估计该事件发生的概率为，再分别计算四个出选项中事件发生的概率即可求解．
【解答】解：由图可知，该事件发生的频率稳定在0.33附近，所以估计该事件发生的概率为，
A、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为，故不符合题意；
B、从一副扑克牌中随机抽取1张，这张牌是“红桃”的概率为故不符合题意；
C、掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2的概率为，故不符合题意；
D、从装有2个黄球、1个白球（除颜色外都相同）的袋中随机摸1个球，摸到白球的概率为，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
5．（2025春 市南区期末）数学课上，张老师与同学们做“用频率估计概率”的试验．不透明袋子中有2个白球、4个红球、5个黑球和9个黄球，这些球除颜色外完全相同，从袋子中有放回的随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（　　）
A．白色 B．红色 C．黑色 D．黄色
【考点】利用频率估计概率；扇形统计图．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】B
【分析】由图知，摸到该颜色球的概率约为0.2，据此再求出摸到红球的概率即可得出答案．
【解答】解：由图知，摸到该颜色球的概率约为0.2，
而摸到红球的概率为0.2，
故选：B．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
6．（2025春 中原区期末）小明和同学做“抛掷图钉试验”获得的数据如表：下列说法正确的是（　　）
抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
钉尖不着地的频数 64 118 189 252 310 360 434 488 549 610
钉尖不着地的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61
A．若抛掷图钉10000次“钉尖不着地”的次数大约有6100次
B．若抛掷图钉100次，则一定有64次“钉尖不着地”
C．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”具有等可能性
D．若抛掷图钉10次，“钉尖不着地”8次，则“钉尖不着地”概率为0.8
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】A
【分析】利用频率估计概率逐一判断即可．
【解答】解：A．若抛掷图钉10000次“钉尖不着地”的次数大约有6100次，正确，符合题意；
B．若抛掷图钉100次，则可能有64次“钉尖不着地”，错误，不符合题意；
C．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”可能性不相等，错误，不符合题意；
D．若抛掷图钉10次，“钉尖不着地”8次，次数较少，不能用来估计“钉尖不着地”概率，错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
7．（2025春 紫金县期末）下列说法正确的是（　　）
A．投一枚骰子，朝上一面的点数是7，是随机事件
B．某抽奖活动的中奖概率为30%，则抽奖10次一定中奖3次
C．在大量重复试验中，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率一般会越来越接近概率
D．天气预报预计今天下雨的概率为80%，则今天80%的时间下雨
【考点】利用频率估计概率；随机事件；概率的意义．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】C
【分析】根据随机事件、不可能事、概率的概念及利用频率估计概率逐一判断即可．
【解答】解：A．投一枚骰子，朝上一面的点数是7，是不可能事件，此选项错误，不符合题意；
B．某抽奖活动的中奖概率为30%，则抽奖10次可能中奖3次，此选项错误，不符合题意；
C．在大量重复试验中，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率一般会越来越接近概率，正确，符合题意；
D．天气预报预计今天下雨的概率为80%，则今天80%的可能性下雨，此选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 顺德区期末）工厂对某批乒乓球的质量进行检查，随机抽查了1000个，发现优等品有825个，估计这批乒乓球中优等品出现的概率为　0.825　 ．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】0.825．
【分析】利用频率估计概率求解即可．
【解答】解：估计这批乒乓球中优等品出现的概率为825÷1000＝0.825，
故答案为：0.825．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
9．（2025春 佛山期末）10名学生，每人做10次抛瓶盖的实验，实验数据如表：
姓名 小王 小陈 小明 小红 小亮 小朵 小凡 小果 小凯 小梅
盖口向上的次数 6 4 6 7 7 8 9 7 5 8
根据表中数据，可以估计：抛一次瓶盖，落地后盖口向上的概率约为 　0.67　 ．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】0.67．
【分析】用盖口向上的总次数除以抛掷的总次数即可得出答案．
【解答】解：抛一次瓶盖，落地后盖口向上的概率约为0.67，
故答案为：0.67．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
10．（2024秋 婺城区校级期末）如图是小华用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，若再次抛掷一枚图钉，则可以估计“钉尖向上”的概率是 　0.618　 ．（精确到0.001）
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】0.618．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，结合图形解答即可．
【解答】解：由图象可知随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．
故答案为：0.618．
【点评】本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
11．（2025春 京口区校级期末）为测量一块不规则草地面积，某班学习小组在草地的外围画了一个长5米，宽4米的矩形，学生分四个小组在不远处蒙上双眼向草地方向掷石子，石子落点记录如下表：
项目名称组别 一组 二组 三组 四组
石子落在草地内的次数 59 63 61 57
石子落在阴影内的次数 19 20 19 22
请你用概率的相关知识算出草地的面积大约是 　15　 平方米．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】15．
【分析】先求出石子落在草地内的次数与总次数的比值，然后用总面积乘以该比值，即可估算出草地的面积．
【解答】解：∵学习小组在草地的外围画了一个长5米，宽4米的矩形，
∴矩形的面积为：5×4＝20（平方米），
石子落在草地内的概率为：，
∴草地的面积大约是：（平方米）．
故答案为：15．
【点评】本题主要考查了利用频率估计概率，熟记概率公式是解题的关键．
12．（2025春 桓台县期末）小颖和小亮玩“抓纸牌”的游戏．在一个不透明的盒子里，有8张红桃、4张黑桃、a张方块．每张牌质地、大小都相同．一人摸牌，一人记录，经过多次的试验、数据的记录、平均值的计算．小颖和小亮发现摸出方块的频率越来越接近，请你估计a的值为　6　 ．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】6．
【分析】先根据摸出方块的频率越来越接近，得出摸出方块的概率为，再求出纸牌的总数为18，再求出a的值即可．
【解答】解：由题意知，摸出方块的频率越来越接近，
则摸到其他花色的频率约为，
所以袋中纸牌的张数为1218（张），
则a＝18﹣12＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
13．（2025春 张店区期末）在一只不透明的袋子里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601
摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601
（1）表中的a＝　0.59　 ，b＝　116　 ；
（2）“摸到白球”的概率的估计值是　0.6　 （精确到0.1）；
（3）如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】（1）0.58，122；
（2）0.6；
（3）10个．
【分析】（1）利用频率＝频数÷样本容量直接求解即可；
（2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6；
（3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数．
【解答】解：（1）依题意得：a0.59，b＝200×0.58＝116，
故答案为：0.59，116；
（2）根据题意，概率的估计值为0.6，
故答案为：0.6；
（3）15÷0.6﹣15＝10 （个），
答：除白球外，还有大约10个其它颜色的小球．
【点评】本题主要考查了利用频率估计概率、频数与频率，概率公式，掌握用频率估计概率的方法是解题的关键．
14．（2025春 辽中区期中）一个袋子中装有红、白、黄三种颜色的球（这些球除颜色外其余完全相同），小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球、白球的频率分别稳定在和，且白球有8个．
（1）求袋子中球的总数；
（2）求摸到黄球的概率．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】（1）袋子中球的总数为20个；
（2）摸到黄球的概率为．
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）根据概率公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵摸到白球的频率稳定在且白球有8个，
∴球的总数为个，
答：袋子中球的总数为20个；
（2）∵红球频率为
∴红球个数为个，
∴黄球个数为 20﹣8﹣2＝10 个，
∴摸到黄球的概率，
答：摸到黄球的概率为．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，正确地理解题意是解题的关键．
15．（2025春 奉贤区月考）一个不透明的箱子里装有2个红球和1个黄球，每个小球除颜色外其他完全都相同．
（1）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率．（用画树形图或列表的方法）；
（2）如果将箱子中增加若干个白球（与其他球除颜色外完全相同）后，把箱子里的小球摇匀，再随机摸出一个小球，然后记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4左右，请你估计增加白球的个数．
【考点】利用频率估计概率；列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】（1）两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为；
（2）估计增加白球的个数为2个．
【分析】（1）画出树状图，求出概率即可；
（2）设增加白球有x个，利用概率公式列出关于x的分式方程，解分式方程即可求解．
【解答】解：（1）画出树状图，如下：
共有9种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为4，
∴两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为；
（2）设增加白球的个数为x，
根据题意得，0.4，
解得x＝2，
经检验，x＝2是方程的解，
答：估计增加白球的个数为2个．
【点评】本题考查利用频率估计概率，利用概率求小球的数量，以及画树状图求概率．熟练掌握概率是频率的稳定值，求出小球的数量，是解题的关键．
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