第六单元多边形的面积（情境化试题专练）（含解析）——2025-2026学年人教版数学五年级上册
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| 名称 | 第六单元多边形的面积（情境化试题专练）（含解析）——2025-2026学年人教版数学五年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 656.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-05 19:12:27 | ||
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文档简介
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第六单元多边形的面积（情境化试题专练）
一、选择题（每题2分，共14分）
1．光明社区开展垃圾分类宣传活动，天天为活动设计了三种宣传标语指示牌（见两平行线之间的图形）。在不影响美观的同时，指示牌的面积越小越节约成本，三个图形中成本最低的是（ ）。
A．平行四边形 B．三角形 C．梯形 D．不能确定
2．我国古代数学名著《九章算术》中记载了三角形面积的计算方法是“半广以乘正从”。著名数学家刘徽在注文中还用“以盈补虚”的方法（如图）加以说明。从图中，可以得出三角形的面积是（ ）。
A．底×（高÷2） B．（底÷2）×高
C．（底÷2）×（高÷2） D．底×高
3．河南春晚的《唐宫夜宴》古典舞将大唐盛世的传统文化形象完美地呈现在舞台上，如图，是小文贴在格子本上的“唐宫小姐姐”图案，在估算这个“唐宫小姐姐”图案的面积时，（ ）的方法更准确。（每个小方格的面积是1cm2）
A．奇奇：“把图案近似转化成长6cm、宽4cm的长方形。”
B．乐乐：“格子本上满格的按1格算，不满格的按半格算。”
C．丽丽：“格子的总面积是56cm2，图案的面积占总面积的一半。”
4．我国古代数学家刘徽利用出入相补原理来计算平面图形的面积。出入相补原理就是把一个图形分割、移补，而面积保持不变。把下图中的三角形先沿虚线剪开，再将两部分重新拼成一个新图形（两部分不重叠），不可能拼成的图形是（ ）。
A．平行四边形 B．等腰梯形 C．直角梯形
5．《九章算术》中三角形面积的计算方法是“半广以乘正从”。其中“广”指的是底边，“正从”指底边上的高。数学家刘徽注释时用“以盈补虚”的方法配图加以说明。观察这个推导过程，下面说法错误的是（ ）。
A．拼成的平行四边形与三角形的高相等
B．平行四边形的底是三角形底边的一半
C．平行四边形的面积比三角形的面积小
D．三角形的面积＝（底÷2）×高
6．王大爷和李奶奶分别用40米长的篱笆围成了一块靠墙的菜地（如图）。围成菜地的面积相比，（ ）。
A．王大爷围的面积大 B．李奶奶围的面积大
C．两块菜地面积一样大 D．无法比较
7．把一个木条订成的长方形框架拉成一个平行四边形，它的周长和面积会（ ）。
A．周长和面积都不变 B．周长不变，面积变小
C．周长不变，面积变大 D．周长变小，面积不变
二、填空题（每题2分，共14分）
8．我国魏晋时期数学家刘徽所创作的数学著作《九章算术注》是对《九章算术》一书的注解。他应用“出入相补”的方法解释了许多几何图形面积计算的道理。
亮亮也想利用“出入相补”的方法解释三角形面积计算的道理，他画出了下面的图。请你结合下图帮助亮亮进行解释说理，先想一想，再填一填。
由图可知，长方形的面积相当于三角形的面积。
长方形的长相当于三角形的( )，长方形的宽相当于三角形( )。
因为，长方形的面积＝长×宽，所以，三角形的面积＝( )。
9．在研究平行四边形面积时，我们经常用到割补法。割补法在我国古代数学著作中就有体现，三国时期魏国数学家刘徽称之为“以盈补虚”，以多余补不足，即“出入相补”。把一个面积是12cm2的直角三角形割补成一个长方形，这个长方形的长是4cm，原来三角形的高是( )cm。
10．《九章算术》卷一记载这样一道数学题：今有邪田一头广三十步，一头广四十二步，正从六十四步，问为田几何？意思是：今有直角梯形田，上底长30步，下底长42步，底边上的高长64步。这块田的面积是( )平方步。
11．太谷古称“奥壤”，因“三山为太、九口为谷”而得名，曾享有“中国华尔街”之美誉。图中每一方格代表100平方千米，请你估测一下太谷区的面积大约( )平方千米。
12．中国古代石桥，为使相邻拱石紧密贴合，常在相邻拱石之间镶嵌“腰铁”起连接作用。“腰铁”是两头宽、中间束腰，形似蝴蝶结的生铁块。一块“腰铁”截面的数据如下图所示。这块“腰铁”截面的面积是( )cm2。
13．我国古代数学家刘徽利用出入相补原理来计算梯形的面积。如下图：可以把梯形沿两腰中点的连线剪开，将上面部分旋转后与下面部分拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底与梯形的( )相等，高与梯形的( )相等。从而根据平行四边形面积公式推导出梯形的面积公式。
14．我国古代数学家刘徽利用出入相补原理来计算平面图形的面积。出入相补原理就是把一个图形分割、移补，而面积保持不变，来计算出它的面积。它显示了平面图形的转化。如下图所示，已知原来梯形上底为a，下底为b，高为h，则转化后平行四边形的底是( )，高是( )，因此可推导出梯形面积公式为( )。
三、判断题（每题2分，共8分）
15．对于不规则图形的面积计算，只能通过平移的策略将其转化为规则图形来求解，不能使用旋转策略。( )
16．一个长方形的木条框，拉住它的两个对角，使它变成一个平行四边形，拉出的平行四边形和原来的长方形周长没变，面积变了。( )
17．一个平行四边形的底扩大到原来的3倍，高也扩大到原来的3倍，面积就扩大到原来的6倍。( )
18．用四根木条钉成的长方形，拉成平行四边形后，周长一定保持不变。( )
四、计算题（每题4分，共12分）
19．求下面阴影部分或多边形的面积（单位：cm）。
（1）（2）（3）
五、解答题（每题6分，第24-27每题7分，共52分）
20．我例古代数学名著《九章算术》中记载了一些常见图形的面积计算方法。如长方形面积的计算方法是“广从相乘得积步”。“广”和“从”分别指长和宽。三角形面积的计算方法是“半广以乘正从”。著名数学家刘徽在注文中用“以盈补虚”的方式对这种计算方法进行了说明（如图）。数学兴趣小组的芳芳就用“以盈补虚”的方法步测得出了学校三角形花坛的面积。已知芳芳的平均步长是0.6米。
根据图中的信息求出花坛的面积。
21．2024年秋季学期开始，北京市教委要求义务教育学校实行“课间一刻钟”政策。幸福小学为了推进这一政策，设计了丰富多彩的活动。学校为了表彰在活动中表现突出的班集体，计划制作6面流动红旗（如图）。如果每平方米布料需要30元，做这些流动红旗的布料一共需要多少元？
22．山西剪纸是最古老的传统民间艺术之一，作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，其载体可以是纸张、金银箔、树皮、树叶、布、皮、革等片状材料。如图，小明计划用一张长方形的彩色卡纸，剪出一个小树，他是这样设计的：小树的树干和树冠一样长，树冠由两个完全相等的三角形组成，树干宽是4厘米。这棵“小树”的面积是多少呢？
23．升子是一种民间称量或盛装粮食的工具，现在已经基本退出了人们日常生活，成为难得一见的民俗旧物。它有五个面，四个侧面都相同，且每个侧面是一个梯形。上底是20厘米，下底是8厘米，高是10厘米。它的一个侧面的面积是多少平方厘米？
24．实验小学五年级一班的学生要为学校运动会准备60面红旗，红旗形状为同样大小的直角三角形，每面红旗的两条直角边长分别是32厘米和24厘米。学校为他们准备了一块面积是2平方米的红布，够不够用？如果不够用，至少还需要多少平方厘米红布？
25．为了优化生态环境，（如图）绿地小区在原来平行四边形草坪旁边又扩建了一块21.6平方米的三角形草坪。每平方米草坪每天大约可吸收0.04千克二氧化碳。
（1）扩建后草坪的面积一共是多少平方米？
（2）这块草坪每天一共可以吸收多少千克二氧化碳？
26．中国少先队中队旗的标准尺寸为：高为60厘米，长为80厘米；一端剪去高为20厘米、底为60厘米的等腰三角形，形成一个三角缺口，象征鲜红的红领巾；五角星及火炬在以60厘米为边长的正方形中心。请你算出少先队中队旗的面积？（提示：先作辅助线，再解答。）
27．疫情防控期间，各学校都采取扫健康码、测量体温、错峰入校等措施保障学生安全上课。学生入校后按照指定路线直接到达教室，不聚集，不打闹。
（1）如图是某学校路牌标志，这个标志的面积是多少？
（2）如果每平方厘米的标志需要0.78千克的油漆，那么刷完这个标志牌（双面，厚度不计）需要多少千克的油漆？
参考答案
1．B
【分析】假设两平行线间的距离是h，则平行四边形、三角形、梯形的高都是h，根据平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，分别计算出它们的面积，面积最小的就是成本最低的。
【详解】假设两平行线间的距离是h，则平行四边形、三角形、梯形的高都是h。
平行四边形的面积为：6h
三角形的面积为：6h÷2＝3h
梯形的面积为：
（2＋6）h÷2
＝8h÷2
＝4h
3h＜4h＜6h
所以三个图形中成本最低的是三角形。
故答案为：B
2．B
【分析】观察图片可知，将三角形通过裁减拼接可以得到一个长方形，这个长方形的面积和原三角形相等，长方形的长是三角形的高，长方形的宽是原三角形底边长度的一半，根据长方形面积＝长×宽，即可求出三角形的面积。
【详解】将三角形通过裁减拼接得到的长方形，长方形面积和原三角形面积相等，他的长是原三角形的高，宽是原三角形底边长度的一半。
三角形面积＝长方形面积＝高×（底÷2）
故答案为：B。
3．B
【分析】根据求不规则图形的面积的方法，逐一分析各项即可。
【详解】A．把图案近似转化成长6cm、宽4cm的长方形，此时长方形的面积比“唐宫小姐姐”图案的面积大的多，所以此方法求出的图案面积不准确；
B．格子本上满格的按1格算，不满格的按半格算，两个半格算一个整格，此方法求出的唐宫小姐姐”图案的面积较为准确；
C．格子的总面积是56cm2，图案的面积占总面积的一半，图案的面积远比总面积的一半小，此方法不准确。
故答案为：B
【点睛】本题考查求不规则图形的面积，明确求不规则图形的面积的方法是解题的关键。
4．C
【分析】通过题意，可将图形拼成如下图形，据此解答。
【详解】根据分析可知，两部分重新拼成一个新图形（两部分不重叠），可以拼成平行四边形、等腰梯形，不可能是直角梯形。
故答案为：C
【点睛】解答本题的关键是掌握三角形面积公式的推导过程。
5．C
【分析】观察推导过程，将三角形剪拼成平行四边形，平行四边形的底＝三角形的底÷2，平行四边形的高＝三角形的高，平行四边形面积＝三角形面积，平行四边形＝底×高，所以三角形面积＝（底÷2）×高＝底×高÷2，据此分析。
【详解】如上图：
A．拼成的平行四边形与三角形的高相等，此说法正确；
B．平行四边形的底是三角形底边的一半，此说法正确；
C．平行四边形面积＝三角形面积，平行四边形的面积比三角形的面积小，此说法错误；
D．三角形的面积＝（底÷2）×高，此说法正确。
故答案为：C
【点睛】关键是看懂题干中三角形面积公式推导过程。
6．C
【分析】分别计算出两块菜地的面积，比较即可。王大爷的菜地：篱笆长－梯形的高＝梯形上下底的和，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，列式计算；李奶奶的菜地：篱笆长－三角形的高＝三角形的底，根据三角形面积＝底×高÷2，列式计算。
【详解】王大爷的菜地：（40－10）×10÷2
＝30×10÷2
＝150（平方米）
李奶奶的菜地：（40－10）×10÷2
＝30×10÷2
＝150（平方米）
两块菜地的面积都是150平方米，两块菜地面积一样大。
故答案为：C
7．B
【分析】把一个长方形框架拉成平行四边形，四条边的长度没变，所以平行四边形和长方形的周长相等；
把一个长方形框架拉成平行四边形，平行四边形的底等于长方形的长，平行四边形的高小于长方形的宽；根据长方形的面积＝长×宽，平行四边形的面积＝底×高，可得出：平行四边形的面积小于长方形的面积。
【详解】如图：
平行四边形的周长＝长方形的周长
平行四边形的底＝长方形的长
平行四边形的高＜长方形的宽
底×高＜长×宽
即平行四边形的面积＜长方形的面积
所以，把一个长方形框架拉成平行四边形，它的周长不变，面积变小。
故答案为：B
8． 底 高的一半 底×高÷2
【分析】三角形的底和高如图所示，三角形沿着底边上高的中点分割并向三角形左右两边补合，形成长方形，则三角形的面积与长方形面积相等。根据图形确定三角形的底和高与长方形长和宽的关系，再根据长方形面积＝长×宽，即可推导出三角形的面积公式，据此解答。
【详解】将三角形转化为长方形，那么长方形的面积相当于三角形的面积。长方形的长相当于三角形的底，长方形的宽相当于三角形高的一半。
因为，长方形的面积＝长×宽，所以，三角形的面积＝底×高÷2。
9．6
【分析】由图可知，大三角形的底就是长方形的长。长为4cm，所以大三角形的底为4cm，根据公式三角形的高＝面积×2÷底算出大三角形的高。
【详解】12×2÷4＝6（cm）
所以大三角形的高是6cm。
10．2304
【分析】求直角梯形田的面积，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算，即可解答。
【详解】（30＋42）×64÷2
＝72×64÷2
＝4608÷2
＝2304（平方步）
即这块田的面积是2304平方步。
11．1200
【分析】把太谷区看作一个长为4格，宽为3格的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，求出太谷区的方格的总数，再乘100即可解答。（答案不唯一）
【详解】4×3×100
＝12×100
＝1200（平方千米）
所以太谷区的面积大约1200平方千米。（答案不唯一）
12．280
【分析】观察图形，可把“腰铁”截面看作两个完全相同的梯形。梯形的上底是6cm，下底是10cm，高是35÷2＝17.5cm（因为整个图形的长是35cm，两个梯形对称，所以单个梯形的高是35的一半）。根据梯形面积公式S＝（a＋b）h÷2（其中a是上底，b是下底，h是高），把数据代入公式即可得到一个梯形的面积，再用这个梯形的面积乘2即可得到“腰铁”截面的总面积。
【详解】35÷2＝17.5（cm）
（6＋10）×17.5÷2
＝16×17.5÷2
＝280÷2
＝140（cm2）
140×2＝280（cm2）
这块“腰铁”截面的面积是280cm2。
13． 上下两底的和 高的一半
【分析】观察图可知：将梯形沿两腰中点的连线剪开，将上面部分旋转后与下面部分拼成一个平行四边形，此时平行四边形的底＝梯形的上底＋下底，平行四边形的高是原来梯形高的一半，梯形的面积＝平行四边形的面积＝底×高＝（上底＋下底）×高÷2，据此解答。
【详解】如图，可以把梯形沿两腰中点的连线剪开，将上面部分旋转后与下面部分拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底与梯形的上下两底的和相等，高与梯形的高的一半相等。从而根据平行四边形面积公式推导出梯形的面积公式。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握梯形面积公式的推导过程及应用。
14． a＋b h÷2 S＝（a＋b）h÷2
【分析】
，按图中右边腰的中点顺时针旋转，行成一个平行四边形。平行四边形的面积是底×平行四边形的高＝（上底＋下底）×高÷2，所以梯形的面积是（上底＋下底）×高÷2。
【详解】如图所示，已知原来梯形上底为a，下底为b，高为h，则转化后平行四边形的底是a＋b，高是h÷2，因此可推导出梯形面积公式为（a＋b）h÷2。
【点睛】关键是熟悉并理解梯形面积公式推导过程。
15．×
【分析】计算不规则图形的面积时，除了平移策略，旋转策略同样可以将图形转化为规则图形，据此分析。
【详解】在计算不规则图形的面积时，可以通过平移、旋转或对称等方法将其转化为规则图形。例如，将图形的一部分旋转后，可能与另一部分组合成规则图形（如长方形、平行四边形），从而简化计算，原题说法错误。
故答案为：×
16．√
【分析】根据题意，把一个长方形木框拉成平行四边形后，图形各边的长度没有变化，即周长不变；长方形的面积＝长×宽，平行四边形的面积＝底×高，长方形的一条边等于平行四边形的一条边，长方形的另一条边大于平行四边形的高，所以长方形的面积大于拉成的平行四边形的面积，即长方形的面积大。据此解答即可。
【详解】一个长方形的木条框，拉住它的两个对角，使它变成一个平行四边形，拉出的平行四边形和原来的长方形周长没变，面积变了。原题说法正确。
故答案为：√
17．×
【分析】根据平行四边形的面积公式：底×高，当高不变，底扩大到原来的3倍，则面积就会扩大到原来的3倍，当底不变，高扩大到原来的3倍，面积也会扩大到原来的3倍，则此时的面积会扩大到原来的：3×3＝9倍，据此即可填空。
【详解】3×3＝9
一个平行四边形的底扩大到原来的3倍，高也扩大到原来的3倍，面积就扩大到原来的9倍。原题说法错误。
故答案为：×
18．√
【分析】当长方形被拉成平行四边形后，它的长和宽没变，所以周长不变，但是高变小了，所以面积就变小了。
【详解】因为长方形被拉成平行四边形后，它的长和宽没变，所以周长不变。所以原题干说法正确。
故答案为：√
【点睛】此题主要考查平行四边形易变形的特征及周长和面积公式的灵活应用。
19．（1）40cm2；（2）40cm2；（3）42cm2
【分析】（1）阴影部分面积＝上底16cm，下底10cm，高是8cm的梯形面积－底16cm，高8cm的三角形面积；根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2；三角形面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。
（2）组合图形的面积＝底是10cm，高是5cm的三角形面积＋底是3cm，高是10cm的三角形面积，据此根据三角形面积公式，求出组合体的面积。
（3）如图：，组合图形的面积＝长9cm，宽4cm的长方形面积＋底（8－4）cm，高是（9－6）cm的三角形面积，根据长方形面积公式、三角形面积公式，求出组合图形的面积。
【详解】（1）（16＋10）×8÷2－16×8÷2
＝26×8÷2－16×8÷2
＝208÷2－128÷2
＝104－64
＝40（cm2）
阴影部分面积是40cm2。
（2）10×5÷2＋3×10÷2
＝50÷2＋30÷2
＝25＋15
＝40（cm2）
图形面积是40cm2。
（3）9×4＋（8－4）×（9－6）÷2
＝9×4＋4×3÷2
＝36＋12÷2
＝36＋6
＝42（cm2）
图形面积是42cm2。
20．43.2平方米
【分析】根据图框遏制，把盈旋转到虚处，相当于把三角形转换成了一个长方形计算，长方形的长是12步，宽是半广，即10步，用步数乘平均步长即可求出长和宽，再根据长方形的面积公式：长×宽，把数代入即可求解。
【详解】12×0.6＝7.2（米）
20÷2×0.6＝6（米）
7.2×6＝43.2（平方米）
答：学校三角形花坛的面积是43.2平方米。
21．46.8元
【分析】
如图：，流动红旗的面积＝长是0.6米，宽是0.4米的长方形面积＋底是0.4米，高是（0.7－0.6）米的三角形的面积，根据长方形面积公式：面积＝长×宽；三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，求出流动红旗的面积，再乘6，求出6面流动红旗的面积，再乘30，即可求出做这些流动红旗需要的钱数。
【详解】[0.6×0.4＋0.4×（0.7－0.6）÷2]×6×30
＝[0.24＋0.4×0.1÷2]×6×30
＝[0.24＋0.04÷2]×6×30
＝[0.24＋0.02]×6×30
＝0.26×6×30
＝1.56×30
＝46.8（元）
答：做这些流动红旗的布料一共需要46.8元。
22．149.5平方厘米
【分析】树干和树冠一共长26厘米，树干和树冠一样长，因此树干的长度等于26÷2，树干是长方形，树干的面积＝长×宽，宽是4厘米，代入数据即可计算。树冠是两个完全相同的三角形，三角形的底是15厘米，三角形的高是树冠高的一半，树冠的高和树干的长一样等于26÷2。根据三角形的面积＝底×高÷2计算。小树的面积＝树干的面积＋三角形的面积×2。
【详解】26÷2＝13（厘米）
13×4＝52（平方厘米）
13÷2＝6.5（厘米）
15×6.5÷2
＝97.5÷2
＝48.75（平方厘米）
52＋48.75×2
＝52＋97.5
＝149.5（平方厘米）
答：这棵“小树”的面积是149.5平方厘米。
23．140平方厘米
【分析】根据梯形的面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据，即可解答。
【详解】（20＋8）×10÷2
＝28×10÷2
＝280÷2
＝140（平方厘米）
答：它的一个侧面的面积是140平方厘米。
24．3040平方厘米
【分析】先根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据求出每面红旗的面积；再乘60，求出做60块红旗需要的红布的总面积；然后根据1平方米＝10000平方厘米，高级单位转化为低级单位乘进率，将2平方米换算成20000平方厘米，与做60块红旗需要的红布的总面积比较大下后求差即可。
【详解】32×24÷2×60
＝768÷2×60
＝384×60
＝23040（平方厘米）
2平方米＝20000平方厘米
23040＞20000
23040－20000＝3040（平方厘米）
答：至少还需要3040平方厘米红布。
【点睛】解答本题需熟练掌握三角形的面积公式，明确面积单位之间的进率。
25．（1）129.6平方米（2）5.184千克
【分析】（1）如图所示，平行四边形与三角形的高相等，根据三角形面积公式，可以求出三角形的高也就是平行四边形的高，再计算出平行四边形的面积，最后求面积和，据此解答。（2）用每平方米草坪每天大约可吸收0.04千克二氧化碳乘草坪的面积即可解答。
【详解】（1）21.6×2÷6
＝43.2÷6
＝7.2（米）
15×7.2＋21.6
＝108＋21.6
＝129.6（平方米）
答：扩建后草坪的面积一共是129.6平方米。
（2）129.6×0.04＝5.184（千克）
答：这块草坪每天一共可以吸收5.184千克二氧化碳。
【点睛】考查应用小数的乘除法解决实际问题，解题关键是运用三角形的面积求出高，再求组合图形的面积。
26．见详解；4200平方厘米
【分析】根据长方形和三角形的特征，画出少先队中队旗的图案，求少先队中队旗的面积实际就是求这个图形的面积，可以通过分析拼组图形的面积进行解答；把少先队中队旗看作是一个长方形中减去一个三角形，根据长方形的面积＝长×宽，三角形的面积＝底×高÷2，则求出长方形的面积和三角形的面积，再用长方形的面积减去三角形的面积即可。
【详解】如图：
80×60－60×20÷2
＝4800－600
＝4200（平方厘米）
答：少先队中队旗的面积是4200平方厘米。
【点睛】本题解题的关键是求拼组图形的面积，一般是把不规则图形先转化成规则图形，然后根据规则图形的面积公式进行计算。
27．（1）350平方厘米；
（2）546千克
【分析】（1）观察图形可知，这个标志牌的面积等于一个长20厘米、宽10厘米的长方形的面积加上一个底20厘米、高15厘米的三角形的面积，根据长方形、三角形面积计算公式解题即可。
（2）根据题意，用这个标志牌的面积乘2，求出需要刷油漆的面积，再乘每平方厘米需要油漆的质量即可。
【详解】（1）20×10＋20×15÷2
＝200＋300÷2
＝200＋150
＝350（平方厘米）
答：这个标志的面积是350平方厘米。
（2）350×2×0.78
＝700×0.78
＝546（千克）
答：刷完这个标志牌（双面，厚度不计）需要546千克的油漆。
【点睛】熟记三角形、长方形面积计算公式，求出标志牌的面积，是解答此题的关键。
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第六单元多边形的面积（情境化试题专练）
一、选择题（每题2分，共14分）
1．光明社区开展垃圾分类宣传活动，天天为活动设计了三种宣传标语指示牌（见两平行线之间的图形）。在不影响美观的同时，指示牌的面积越小越节约成本，三个图形中成本最低的是（ ）。
A．平行四边形 B．三角形 C．梯形 D．不能确定
2．我国古代数学名著《九章算术》中记载了三角形面积的计算方法是“半广以乘正从”。著名数学家刘徽在注文中还用“以盈补虚”的方法（如图）加以说明。从图中，可以得出三角形的面积是（ ）。
A．底×（高÷2） B．（底÷2）×高
C．（底÷2）×（高÷2） D．底×高
3．河南春晚的《唐宫夜宴》古典舞将大唐盛世的传统文化形象完美地呈现在舞台上，如图，是小文贴在格子本上的“唐宫小姐姐”图案，在估算这个“唐宫小姐姐”图案的面积时，（ ）的方法更准确。（每个小方格的面积是1cm2）
A．奇奇：“把图案近似转化成长6cm、宽4cm的长方形。”
B．乐乐：“格子本上满格的按1格算，不满格的按半格算。”
C．丽丽：“格子的总面积是56cm2，图案的面积占总面积的一半。”
4．我国古代数学家刘徽利用出入相补原理来计算平面图形的面积。出入相补原理就是把一个图形分割、移补，而面积保持不变。把下图中的三角形先沿虚线剪开，再将两部分重新拼成一个新图形（两部分不重叠），不可能拼成的图形是（ ）。
A．平行四边形 B．等腰梯形 C．直角梯形
5．《九章算术》中三角形面积的计算方法是“半广以乘正从”。其中“广”指的是底边，“正从”指底边上的高。数学家刘徽注释时用“以盈补虚”的方法配图加以说明。观察这个推导过程，下面说法错误的是（ ）。
A．拼成的平行四边形与三角形的高相等
B．平行四边形的底是三角形底边的一半
C．平行四边形的面积比三角形的面积小
D．三角形的面积＝（底÷2）×高
6．王大爷和李奶奶分别用40米长的篱笆围成了一块靠墙的菜地（如图）。围成菜地的面积相比，（ ）。
A．王大爷围的面积大 B．李奶奶围的面积大
C．两块菜地面积一样大 D．无法比较
7．把一个木条订成的长方形框架拉成一个平行四边形，它的周长和面积会（ ）。
A．周长和面积都不变 B．周长不变，面积变小
C．周长不变，面积变大 D．周长变小，面积不变
二、填空题（每题2分，共14分）
8．我国魏晋时期数学家刘徽所创作的数学著作《九章算术注》是对《九章算术》一书的注解。他应用“出入相补”的方法解释了许多几何图形面积计算的道理。
亮亮也想利用“出入相补”的方法解释三角形面积计算的道理，他画出了下面的图。请你结合下图帮助亮亮进行解释说理，先想一想，再填一填。
由图可知，长方形的面积相当于三角形的面积。
长方形的长相当于三角形的( )，长方形的宽相当于三角形( )。
因为，长方形的面积＝长×宽，所以，三角形的面积＝( )。
9．在研究平行四边形面积时，我们经常用到割补法。割补法在我国古代数学著作中就有体现，三国时期魏国数学家刘徽称之为“以盈补虚”，以多余补不足，即“出入相补”。把一个面积是12cm2的直角三角形割补成一个长方形，这个长方形的长是4cm，原来三角形的高是( )cm。
10．《九章算术》卷一记载这样一道数学题：今有邪田一头广三十步，一头广四十二步，正从六十四步，问为田几何？意思是：今有直角梯形田，上底长30步，下底长42步，底边上的高长64步。这块田的面积是( )平方步。
11．太谷古称“奥壤”，因“三山为太、九口为谷”而得名，曾享有“中国华尔街”之美誉。图中每一方格代表100平方千米，请你估测一下太谷区的面积大约( )平方千米。
12．中国古代石桥，为使相邻拱石紧密贴合，常在相邻拱石之间镶嵌“腰铁”起连接作用。“腰铁”是两头宽、中间束腰，形似蝴蝶结的生铁块。一块“腰铁”截面的数据如下图所示。这块“腰铁”截面的面积是( )cm2。
13．我国古代数学家刘徽利用出入相补原理来计算梯形的面积。如下图：可以把梯形沿两腰中点的连线剪开，将上面部分旋转后与下面部分拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底与梯形的( )相等，高与梯形的( )相等。从而根据平行四边形面积公式推导出梯形的面积公式。
14．我国古代数学家刘徽利用出入相补原理来计算平面图形的面积。出入相补原理就是把一个图形分割、移补，而面积保持不变，来计算出它的面积。它显示了平面图形的转化。如下图所示，已知原来梯形上底为a，下底为b，高为h，则转化后平行四边形的底是( )，高是( )，因此可推导出梯形面积公式为( )。
三、判断题（每题2分，共8分）
15．对于不规则图形的面积计算，只能通过平移的策略将其转化为规则图形来求解，不能使用旋转策略。( )
16．一个长方形的木条框，拉住它的两个对角，使它变成一个平行四边形，拉出的平行四边形和原来的长方形周长没变，面积变了。( )
17．一个平行四边形的底扩大到原来的3倍，高也扩大到原来的3倍，面积就扩大到原来的6倍。( )
18．用四根木条钉成的长方形，拉成平行四边形后，周长一定保持不变。( )
四、计算题（每题4分，共12分）
19．求下面阴影部分或多边形的面积（单位：cm）。
（1）（2）（3）
五、解答题（每题6分，第24-27每题7分，共52分）
20．我例古代数学名著《九章算术》中记载了一些常见图形的面积计算方法。如长方形面积的计算方法是“广从相乘得积步”。“广”和“从”分别指长和宽。三角形面积的计算方法是“半广以乘正从”。著名数学家刘徽在注文中用“以盈补虚”的方式对这种计算方法进行了说明（如图）。数学兴趣小组的芳芳就用“以盈补虚”的方法步测得出了学校三角形花坛的面积。已知芳芳的平均步长是0.6米。
根据图中的信息求出花坛的面积。
21．2024年秋季学期开始，北京市教委要求义务教育学校实行“课间一刻钟”政策。幸福小学为了推进这一政策，设计了丰富多彩的活动。学校为了表彰在活动中表现突出的班集体，计划制作6面流动红旗（如图）。如果每平方米布料需要30元，做这些流动红旗的布料一共需要多少元？
22．山西剪纸是最古老的传统民间艺术之一，作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，其载体可以是纸张、金银箔、树皮、树叶、布、皮、革等片状材料。如图，小明计划用一张长方形的彩色卡纸，剪出一个小树，他是这样设计的：小树的树干和树冠一样长，树冠由两个完全相等的三角形组成，树干宽是4厘米。这棵“小树”的面积是多少呢？
23．升子是一种民间称量或盛装粮食的工具，现在已经基本退出了人们日常生活，成为难得一见的民俗旧物。它有五个面，四个侧面都相同，且每个侧面是一个梯形。上底是20厘米，下底是8厘米，高是10厘米。它的一个侧面的面积是多少平方厘米？
24．实验小学五年级一班的学生要为学校运动会准备60面红旗，红旗形状为同样大小的直角三角形，每面红旗的两条直角边长分别是32厘米和24厘米。学校为他们准备了一块面积是2平方米的红布，够不够用？如果不够用，至少还需要多少平方厘米红布？
25．为了优化生态环境，（如图）绿地小区在原来平行四边形草坪旁边又扩建了一块21.6平方米的三角形草坪。每平方米草坪每天大约可吸收0.04千克二氧化碳。
（1）扩建后草坪的面积一共是多少平方米？
（2）这块草坪每天一共可以吸收多少千克二氧化碳？
26．中国少先队中队旗的标准尺寸为：高为60厘米，长为80厘米；一端剪去高为20厘米、底为60厘米的等腰三角形，形成一个三角缺口，象征鲜红的红领巾；五角星及火炬在以60厘米为边长的正方形中心。请你算出少先队中队旗的面积？（提示：先作辅助线，再解答。）
27．疫情防控期间，各学校都采取扫健康码、测量体温、错峰入校等措施保障学生安全上课。学生入校后按照指定路线直接到达教室，不聚集，不打闹。
（1）如图是某学校路牌标志，这个标志的面积是多少？
（2）如果每平方厘米的标志需要0.78千克的油漆，那么刷完这个标志牌（双面，厚度不计）需要多少千克的油漆？
参考答案
1．B
【分析】假设两平行线间的距离是h，则平行四边形、三角形、梯形的高都是h，根据平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，分别计算出它们的面积，面积最小的就是成本最低的。
【详解】假设两平行线间的距离是h，则平行四边形、三角形、梯形的高都是h。
平行四边形的面积为：6h
三角形的面积为：6h÷2＝3h
梯形的面积为：
（2＋6）h÷2
＝8h÷2
＝4h
3h＜4h＜6h
所以三个图形中成本最低的是三角形。
故答案为：B
2．B
【分析】观察图片可知，将三角形通过裁减拼接可以得到一个长方形，这个长方形的面积和原三角形相等，长方形的长是三角形的高，长方形的宽是原三角形底边长度的一半，根据长方形面积＝长×宽，即可求出三角形的面积。
【详解】将三角形通过裁减拼接得到的长方形，长方形面积和原三角形面积相等，他的长是原三角形的高，宽是原三角形底边长度的一半。
三角形面积＝长方形面积＝高×（底÷2）
故答案为：B。
3．B
【分析】根据求不规则图形的面积的方法，逐一分析各项即可。
【详解】A．把图案近似转化成长6cm、宽4cm的长方形，此时长方形的面积比“唐宫小姐姐”图案的面积大的多，所以此方法求出的图案面积不准确；
B．格子本上满格的按1格算，不满格的按半格算，两个半格算一个整格，此方法求出的唐宫小姐姐”图案的面积较为准确；
C．格子的总面积是56cm2，图案的面积占总面积的一半，图案的面积远比总面积的一半小，此方法不准确。
故答案为：B
【点睛】本题考查求不规则图形的面积，明确求不规则图形的面积的方法是解题的关键。
4．C
【分析】通过题意，可将图形拼成如下图形，据此解答。
【详解】根据分析可知，两部分重新拼成一个新图形（两部分不重叠），可以拼成平行四边形、等腰梯形，不可能是直角梯形。
故答案为：C
【点睛】解答本题的关键是掌握三角形面积公式的推导过程。
5．C
【分析】观察推导过程，将三角形剪拼成平行四边形，平行四边形的底＝三角形的底÷2，平行四边形的高＝三角形的高，平行四边形面积＝三角形面积，平行四边形＝底×高，所以三角形面积＝（底÷2）×高＝底×高÷2，据此分析。
【详解】如上图：
A．拼成的平行四边形与三角形的高相等，此说法正确；
B．平行四边形的底是三角形底边的一半，此说法正确；
C．平行四边形面积＝三角形面积，平行四边形的面积比三角形的面积小，此说法错误；
D．三角形的面积＝（底÷2）×高，此说法正确。
故答案为：C
【点睛】关键是看懂题干中三角形面积公式推导过程。
6．C
【分析】分别计算出两块菜地的面积，比较即可。王大爷的菜地：篱笆长－梯形的高＝梯形上下底的和，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，列式计算；李奶奶的菜地：篱笆长－三角形的高＝三角形的底，根据三角形面积＝底×高÷2，列式计算。
【详解】王大爷的菜地：（40－10）×10÷2
＝30×10÷2
＝150（平方米）
李奶奶的菜地：（40－10）×10÷2
＝30×10÷2
＝150（平方米）
两块菜地的面积都是150平方米，两块菜地面积一样大。
故答案为：C
7．B
【分析】把一个长方形框架拉成平行四边形，四条边的长度没变，所以平行四边形和长方形的周长相等；
把一个长方形框架拉成平行四边形，平行四边形的底等于长方形的长，平行四边形的高小于长方形的宽；根据长方形的面积＝长×宽，平行四边形的面积＝底×高，可得出：平行四边形的面积小于长方形的面积。
【详解】如图：
平行四边形的周长＝长方形的周长
平行四边形的底＝长方形的长
平行四边形的高＜长方形的宽
底×高＜长×宽
即平行四边形的面积＜长方形的面积
所以，把一个长方形框架拉成平行四边形，它的周长不变，面积变小。
故答案为：B
8． 底 高的一半 底×高÷2
【分析】三角形的底和高如图所示，三角形沿着底边上高的中点分割并向三角形左右两边补合，形成长方形，则三角形的面积与长方形面积相等。根据图形确定三角形的底和高与长方形长和宽的关系，再根据长方形面积＝长×宽，即可推导出三角形的面积公式，据此解答。
【详解】将三角形转化为长方形，那么长方形的面积相当于三角形的面积。长方形的长相当于三角形的底，长方形的宽相当于三角形高的一半。
因为，长方形的面积＝长×宽，所以，三角形的面积＝底×高÷2。
9．6
【分析】由图可知，大三角形的底就是长方形的长。长为4cm，所以大三角形的底为4cm，根据公式三角形的高＝面积×2÷底算出大三角形的高。
【详解】12×2÷4＝6（cm）
所以大三角形的高是6cm。
10．2304
【分析】求直角梯形田的面积，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算，即可解答。
【详解】（30＋42）×64÷2
＝72×64÷2
＝4608÷2
＝2304（平方步）
即这块田的面积是2304平方步。
11．1200
【分析】把太谷区看作一个长为4格，宽为3格的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，求出太谷区的方格的总数，再乘100即可解答。（答案不唯一）
【详解】4×3×100
＝12×100
＝1200（平方千米）
所以太谷区的面积大约1200平方千米。（答案不唯一）
12．280
【分析】观察图形，可把“腰铁”截面看作两个完全相同的梯形。梯形的上底是6cm，下底是10cm，高是35÷2＝17.5cm（因为整个图形的长是35cm，两个梯形对称，所以单个梯形的高是35的一半）。根据梯形面积公式S＝（a＋b）h÷2（其中a是上底，b是下底，h是高），把数据代入公式即可得到一个梯形的面积，再用这个梯形的面积乘2即可得到“腰铁”截面的总面积。
【详解】35÷2＝17.5（cm）
（6＋10）×17.5÷2
＝16×17.5÷2
＝280÷2
＝140（cm2）
140×2＝280（cm2）
这块“腰铁”截面的面积是280cm2。
13． 上下两底的和 高的一半
【分析】观察图可知：将梯形沿两腰中点的连线剪开，将上面部分旋转后与下面部分拼成一个平行四边形，此时平行四边形的底＝梯形的上底＋下底，平行四边形的高是原来梯形高的一半，梯形的面积＝平行四边形的面积＝底×高＝（上底＋下底）×高÷2，据此解答。
【详解】如图，可以把梯形沿两腰中点的连线剪开，将上面部分旋转后与下面部分拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底与梯形的上下两底的和相等，高与梯形的高的一半相等。从而根据平行四边形面积公式推导出梯形的面积公式。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握梯形面积公式的推导过程及应用。
14． a＋b h÷2 S＝（a＋b）h÷2
【分析】
，按图中右边腰的中点顺时针旋转，行成一个平行四边形。平行四边形的面积是底×平行四边形的高＝（上底＋下底）×高÷2，所以梯形的面积是（上底＋下底）×高÷2。
【详解】如图所示，已知原来梯形上底为a，下底为b，高为h，则转化后平行四边形的底是a＋b，高是h÷2，因此可推导出梯形面积公式为（a＋b）h÷2。
【点睛】关键是熟悉并理解梯形面积公式推导过程。
15．×
【分析】计算不规则图形的面积时，除了平移策略，旋转策略同样可以将图形转化为规则图形，据此分析。
【详解】在计算不规则图形的面积时，可以通过平移、旋转或对称等方法将其转化为规则图形。例如，将图形的一部分旋转后，可能与另一部分组合成规则图形（如长方形、平行四边形），从而简化计算，原题说法错误。
故答案为：×
16．√
【分析】根据题意，把一个长方形木框拉成平行四边形后，图形各边的长度没有变化，即周长不变；长方形的面积＝长×宽，平行四边形的面积＝底×高，长方形的一条边等于平行四边形的一条边，长方形的另一条边大于平行四边形的高，所以长方形的面积大于拉成的平行四边形的面积，即长方形的面积大。据此解答即可。
【详解】一个长方形的木条框，拉住它的两个对角，使它变成一个平行四边形，拉出的平行四边形和原来的长方形周长没变，面积变了。原题说法正确。
故答案为：√
17．×
【分析】根据平行四边形的面积公式：底×高，当高不变，底扩大到原来的3倍，则面积就会扩大到原来的3倍，当底不变，高扩大到原来的3倍，面积也会扩大到原来的3倍，则此时的面积会扩大到原来的：3×3＝9倍，据此即可填空。
【详解】3×3＝9
一个平行四边形的底扩大到原来的3倍，高也扩大到原来的3倍，面积就扩大到原来的9倍。原题说法错误。
故答案为：×
18．√
【分析】当长方形被拉成平行四边形后，它的长和宽没变，所以周长不变，但是高变小了，所以面积就变小了。
【详解】因为长方形被拉成平行四边形后，它的长和宽没变，所以周长不变。所以原题干说法正确。
故答案为：√
【点睛】此题主要考查平行四边形易变形的特征及周长和面积公式的灵活应用。
19．（1）40cm2；（2）40cm2；（3）42cm2
【分析】（1）阴影部分面积＝上底16cm，下底10cm，高是8cm的梯形面积－底16cm，高8cm的三角形面积；根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2；三角形面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。
（2）组合图形的面积＝底是10cm，高是5cm的三角形面积＋底是3cm，高是10cm的三角形面积，据此根据三角形面积公式，求出组合体的面积。
（3）如图：，组合图形的面积＝长9cm，宽4cm的长方形面积＋底（8－4）cm，高是（9－6）cm的三角形面积，根据长方形面积公式、三角形面积公式，求出组合图形的面积。
【详解】（1）（16＋10）×8÷2－16×8÷2
＝26×8÷2－16×8÷2
＝208÷2－128÷2
＝104－64
＝40（cm2）
阴影部分面积是40cm2。
（2）10×5÷2＋3×10÷2
＝50÷2＋30÷2
＝25＋15
＝40（cm2）
图形面积是40cm2。
（3）9×4＋（8－4）×（9－6）÷2
＝9×4＋4×3÷2
＝36＋12÷2
＝36＋6
＝42（cm2）
图形面积是42cm2。
20．43.2平方米
【分析】根据图框遏制，把盈旋转到虚处，相当于把三角形转换成了一个长方形计算，长方形的长是12步，宽是半广，即10步，用步数乘平均步长即可求出长和宽，再根据长方形的面积公式：长×宽，把数代入即可求解。
【详解】12×0.6＝7.2（米）
20÷2×0.6＝6（米）
7.2×6＝43.2（平方米）
答：学校三角形花坛的面积是43.2平方米。
21．46.8元
【分析】
如图：，流动红旗的面积＝长是0.6米，宽是0.4米的长方形面积＋底是0.4米，高是（0.7－0.6）米的三角形的面积，根据长方形面积公式：面积＝长×宽；三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，求出流动红旗的面积，再乘6，求出6面流动红旗的面积，再乘30，即可求出做这些流动红旗需要的钱数。
【详解】[0.6×0.4＋0.4×（0.7－0.6）÷2]×6×30
＝[0.24＋0.4×0.1÷2]×6×30
＝[0.24＋0.04÷2]×6×30
＝[0.24＋0.02]×6×30
＝0.26×6×30
＝1.56×30
＝46.8（元）
答：做这些流动红旗的布料一共需要46.8元。
22．149.5平方厘米
【分析】树干和树冠一共长26厘米，树干和树冠一样长，因此树干的长度等于26÷2，树干是长方形，树干的面积＝长×宽，宽是4厘米，代入数据即可计算。树冠是两个完全相同的三角形，三角形的底是15厘米，三角形的高是树冠高的一半，树冠的高和树干的长一样等于26÷2。根据三角形的面积＝底×高÷2计算。小树的面积＝树干的面积＋三角形的面积×2。
【详解】26÷2＝13（厘米）
13×4＝52（平方厘米）
13÷2＝6.5（厘米）
15×6.5÷2
＝97.5÷2
＝48.75（平方厘米）
52＋48.75×2
＝52＋97.5
＝149.5（平方厘米）
答：这棵“小树”的面积是149.5平方厘米。
23．140平方厘米
【分析】根据梯形的面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据，即可解答。
【详解】（20＋8）×10÷2
＝28×10÷2
＝280÷2
＝140（平方厘米）
答：它的一个侧面的面积是140平方厘米。
24．3040平方厘米
【分析】先根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据求出每面红旗的面积；再乘60，求出做60块红旗需要的红布的总面积；然后根据1平方米＝10000平方厘米，高级单位转化为低级单位乘进率，将2平方米换算成20000平方厘米，与做60块红旗需要的红布的总面积比较大下后求差即可。
【详解】32×24÷2×60
＝768÷2×60
＝384×60
＝23040（平方厘米）
2平方米＝20000平方厘米
23040＞20000
23040－20000＝3040（平方厘米）
答：至少还需要3040平方厘米红布。
【点睛】解答本题需熟练掌握三角形的面积公式，明确面积单位之间的进率。
25．（1）129.6平方米（2）5.184千克
【分析】（1）如图所示，平行四边形与三角形的高相等，根据三角形面积公式，可以求出三角形的高也就是平行四边形的高，再计算出平行四边形的面积，最后求面积和，据此解答。（2）用每平方米草坪每天大约可吸收0.04千克二氧化碳乘草坪的面积即可解答。
【详解】（1）21.6×2÷6
＝43.2÷6
＝7.2（米）
15×7.2＋21.6
＝108＋21.6
＝129.6（平方米）
答：扩建后草坪的面积一共是129.6平方米。
（2）129.6×0.04＝5.184（千克）
答：这块草坪每天一共可以吸收5.184千克二氧化碳。
【点睛】考查应用小数的乘除法解决实际问题，解题关键是运用三角形的面积求出高，再求组合图形的面积。
26．见详解；4200平方厘米
【分析】根据长方形和三角形的特征，画出少先队中队旗的图案，求少先队中队旗的面积实际就是求这个图形的面积，可以通过分析拼组图形的面积进行解答；把少先队中队旗看作是一个长方形中减去一个三角形，根据长方形的面积＝长×宽，三角形的面积＝底×高÷2，则求出长方形的面积和三角形的面积，再用长方形的面积减去三角形的面积即可。
【详解】如图：
80×60－60×20÷2
＝4800－600
＝4200（平方厘米）
答：少先队中队旗的面积是4200平方厘米。
【点睛】本题解题的关键是求拼组图形的面积，一般是把不规则图形先转化成规则图形，然后根据规则图形的面积公式进行计算。
27．（1）350平方厘米；
（2）546千克
【分析】（1）观察图形可知，这个标志牌的面积等于一个长20厘米、宽10厘米的长方形的面积加上一个底20厘米、高15厘米的三角形的面积，根据长方形、三角形面积计算公式解题即可。
（2）根据题意，用这个标志牌的面积乘2，求出需要刷油漆的面积，再乘每平方厘米需要油漆的质量即可。
【详解】（1）20×10＋20×15÷2
＝200＋300÷2
＝200＋150
＝350（平方厘米）
答：这个标志的面积是350平方厘米。
（2）350×2×0.78
＝700×0.78
＝546（千克）
答：刷完这个标志牌（双面，厚度不计）需要546千克的油漆。
【点睛】熟记三角形、长方形面积计算公式，求出标志牌的面积，是解答此题的关键。
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