12.7《直角三角形》——直角三角形的性质与判定 课件(共24张PPT) 2025—2026学年北京版数学八年级上册

(共24张PPT)
——直角三角形的性质和判定
12.7 直角三角形
复习导入
新课引入
如图是某商店营业大厅电梯示意图.电梯AB的倾斜角为30°，
大厅两层之间的高度BC为6 m.你能算出电梯AB的长度吗
C
B
A
30°
1.一个三角形的三个内角度数之比为1:2:3,则三个内角的度数分别为________________.
2.一个三角形的三个内角度数之比为1:1:2,则三个内角的度数分别为________________.
30°、60°、90°
45°、45°、90°
直角三角形！
有一个角是90°的三角形是直角三角形.
回顾旧知
我们知道，有一个角等于90°的三角形叫做直角三角形.直角三角形可以用“Rt△”表示，如图所示的三角形可以表示为__________.
A
B
C
Rt△ABC
思考：在Rt△ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？
已知：在Rt△ABC中， ∠C=90°.
新知探究
探究一
求证：∠A +∠B =90°.
知识小结
知识点一： 直角三角形的性质
直角三角形的性质定理
直角三角形的两个锐角互余.
A
B
C
几何语言表示：
在Rt△ABC中，
∵∠C =90°，
∴∠A +∠B =90°．
1、根据已学的知识，如何判断一个三角形是不是直角三角形？
2、如图，在△ABC中， ∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三
角形吗？
新知探究
探究二
A
B
C
由三角形内角和定理，容易验证得到：
在△ABC中，
∵∠A+∠B=90°，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=90°，△ABC是直角三角形.
直角三角形性质定理的逆定理：
如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形.
知识小结
知识点二： 直角三角形判定定理
几何语言表示：
在△ABC中，
∵∠A +∠B =90°，
∴△ABC是直角三角形．
直角三角形判定定理：
有两个角互余的三角形是直角三角形.
A
B
C
例1、如图，在 中，∠C=90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E，∠A=30°，AB=8，求DE的长度。
变式练习：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是(　　)
A．3cm B．6cm
C．9cm D．12cm
D
在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,则BC =
5
例2 已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上的高.
A
C
B
D
15 °
15 °
20
)
方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直角三角形来解决．
变式练习：如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于(　　)
A．3 B．2
C.1.5 D．1
例3：在A岛周围20海里（1海里=1852m）水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°的方向上，且与轮船相距 海里，如图所示.该船如果保持航行不变，有触暗礁的危险吗？
O
B
D
A
北
东
60°
如图是某商店营业大厅电梯示意图.电梯AB的倾斜角为30°，
大厅两层之间的高度BC为6 m.你能算出电梯AB的长度吗
巩固练习
1.如图，一棵树在一次强台风中，于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )
A．6米 B．9米
C．12米 D．15米
B
归纳总结
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
注：1.只有含30°角的直角三角形才满足上述性质.
2.若没有30°角的直角三角形，往往需要自己构造含30°角的直角三角形.
巩固练习
1.如图是某商店营业大厅电梯示意图.电梯AB的倾斜角为30°，
大厅两层之间的高度BC为6 m.你能算出电梯AB的长度吗
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
解：AB=2BC=2×6=12m
巩固练习
2.如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，CD垂直于AB，垂足为点D，∠A=30°.求证: AB=4BD.
解：在Rt△ABC中，∵∠A=30°， ∴BC= AB.
又∠A+∠B=90°，∴∠B=60°.
故BD= BC.
又BC= AB，
则BD= AB，即AB=4BD.
在Rt△BCD中，∵∠B+∠BCD=90°，
∴∠BCD=90°－∠B=30°.
巩固练习
1. 如图，线段AE与BC相交于点D，BD=CD， AD=ED， CA⊥AE，∠1=30°，且AB=3 cm.那么线段BE多长呢
解：
巩固练习
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=2，CD是斜边上的中线，CE是高，F是CD的中点.
（1）求CD的长；
（2）证明:△EDF为等边三角形.
巩固练习
3. 如图是某建筑物的屋顶架，其中AB=8m，D是AB的中点，BC，DE都垂直于AC.如果∠ABC= 60°，那么BC，DE，CD各是多少米
解：
巩固练习
4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，ED是线段AB的垂直平分线，已知∠1= ∠ABC，求∠A 的度数.
解：
巩固练习
5. 将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=14 cm，求阴影部分△ACF的面积.
解：
巩固练习
6. 如图，小芳在山下发现正前方山上有个电视塔，测得塔尖的仰角为15°. 小芳朝正前方笔直行走400 m，此时测得塔尖的仰角为30°.若小芳的眼睛离地面1.6m，你能算出这个电视塔塔尖离地面的高度吗
解：