12.12 勾股定理的逆定理 课件(共20张PPT) 2025-2026学年北京版数学八年级上册

(共20张PPT)
12.12勾股定理的逆定理
实践观察
画出三边分别为下列长度的三角形，观察其形状。
① 2.5cm、6cm、6.5cm
② 4cm、7.5cm、8.5cm
③ 6cm、8cm、10cm
直角三角形
量一量：用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数，判断这些三角形的形状，提出猜想.
归纳猜想
三角形的三边具有怎样的关系，才能得到一个直角三角形？
命题2：
如果三角形的三边长a，b，c 满足 a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形。
命题1和命题2有怎样的联系？
题设结论相反
互逆命题
把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
练习
说出下列命题的逆命题。这些逆命题成立吗？
① 两条直线平行，内错角相等
② 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等
原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立。
证明猜想
命题2正确吗？
命题2：
如果三角形的三边长a，b，c 满足 a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形。
探究新知
动手操作，提出猜想
活动1：实验探究
（1）做一做:同桌两人为一组，一人用教具做一个三角形，使三角形的三边长分别是3cm、4cm、5cm;另一人画一个直角三角形，使两个直角边长分别是3cm和4cm.
（2）比一比:同桌两人看一下两个三角形是否重合，是否全等？
（3）算一算: 通过计算发现数组3、4、5之间的数量关系是什么？
（4）议一议: 是不是只有三边长为3、4、5的三角形才可以成
为直角三角形？
（5）练一练:同桌两人为一组，一人用教具做一个三角形，使
三角形的三边长分别是5cm、12cm、13cm;另一人画一个直角三
角形，使两个直角边长分别是5cm和12cm.看一下两个三角形是
否重合，是否全等？接着通过计算找出此时数组5、12、13之
间的数量关系.
（6）猜一猜：由此你得出什么结论？
动手操作，提出猜想
探究新知
活动2 验证猜想
已知:在△ABC中，AB=c ，BC=a，CA=b 且a2+b2=c2
求证:△ABC是直角三角形.
探究新知
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
a
b
c
A
B
C
作用：已知三角形的三边长，判断这个三角形是否为直角三角形。
勾股定理的逆定理
符号语言：
在 ABC中
∵ a2+b2=c2
∴ ABC为直角三角形.
学以致用
（1） a =15，b =17，c =8； （2） a =13，b =15，c =14；
判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：
∴ 根据勾股定理的逆定理， 这个三角形是直角三角形。
解：
课堂练习
1.下列各组数是勾股数的是 ( )
A.3，4，7 B.5，12，13
C.1.5，2，2.5 D.1，3，5
将直角三角形的三边长扩大同样的倍数，则得到
的三角形 ( )
A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
B
A
3.在△ABC 中，∠A， ∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c.
①若∠C - ∠B = ∠A，则△ABC 是直角三角形；
②若 c2 - b2 = a2，则△ABC是直角三角形，且∠C = 90°；
③若 (c + a)(c - a) = b2，则△ABC 是直角三角形；
④若∠A∶∠B∶∠C = 5∶2∶3，则△ABC是直角三角形.
以上命题中的假命题有 （ ）
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
A
4. 若△ABC 的三边 a，b，c 满足 a2 + b2 + c2 + 50 = 6a + 8b + 10c. 试判断△ABC 的形状.
解：∵ a2 + b2 + c2 + 50 = 6a + 8b + 10c，
∴ a2－6a + 9 + b2－8b + 16 + c2－10c + 25 = 0.
即 (a－3) + (b－4) + (c－5) = 0.
∴ a = 3，b = 4，c = 5，
即 a2 + b2 = c2.
∴根据勾股定理的逆定理可得△ABC 是直角三角形.
拓展提升
如图，等腰三角形 ABC 中，AB = AC = 15，D 是边 AC 上的一点，且 AD = 12，BD = 9.
(1) 求底边的长.
(2) 取底边 BC 的中点 E ，求线段 AE 的长.
解：(1) 在△ABD 中，BD2 = 81，AD2 = 144.
∴ BD2 + AD2 =AB2 = 225.
∴ 根据勾股定理的逆定理可得△ABD 为直角三角形.
∴∠ABD = 90°.
在 Rt△BDC 中，CD = AC - AD = 3，
BC =
(2) 取底边 BC 的中点 E ，求线段 AE 的长.
解：(1) ∵△ABC 是等腰三角形，E 为 BC 的中点，
∴ AE⊥BC.
∵S△ABC = BC AE = AC BD
∴ × ×AE = ×15×9.
∴ AE =
猜 想
应 用
验 证
归 纳
在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么——毕达哥拉斯
课堂小结
这节课你有哪些收获？