18.3 平行线分三角形两边成比例 课件(共31张PPT) 2024-2025学年北京版九年级数学上册

(共31张PPT)
18.3平行线分三角形
两边成比例
先行组织
2、判断下列两组线段是否是比例线段
（1）a=2,b=3,c=3,d=4.5 (2)AB=3,CD=6,EF=4,GH=7
1、什么是比例线段？
四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 = ,那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。
任务一：平行线分线段成比例定理
活动1：
如图，小方格的边长均为1，直线
分别交直线m，n于格点A1，A2，A3，B1，B2，B3
（1）计算A1A2= A2A3 = A1A3= B1B2= B2B3= B1B3=
(3)通过观察上面的值，你有什么发现？
活动1评价：
1．能准确作答问题（1）
2．能准确作答问题（2） 计算出线段的比
3．能准确写出成比例线段的结论
（2）
（2）将 向下平移到如图所示的位置，直线m，n与 的交点分别为A2，B2，
你在问题(1)中发现的结论还成立吗？
如果将 平移到其他位置呢？
(1)计算A1A2= A2A3 = A1A3=
B1B2= B2B3= B1B3=
活动2评价：
1．能准确作答问题（1）和（2）
2．能用文字语言概括出两条直线被一组平行线所截，所得结论
（2）
（3）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；
平行线分线段成比例定理：(基本事实）
a
b
c
A1
A2
A3
B1
B2
B3
除此之外，还有其他对应线段成比例吗？
问题探究
平行线分线段成比例（基本事实）
如图所示，小方格的边长都是1，直线 l3∥l4∥l5，分别交直线 l1，l2于A，B，C，D，E，F.
l1
l2
l3
l4
l5
A
B
C
D
E
F
（1）计算： ,你发现什么？
问题探究
平行线分线段成比例（基本事实）
如图所示，小方格的边长都是1，直线 l3∥l4∥l5，分别交直线 l1，l2于A，B，C，D，E，F.
l1
l3
l4
l5
A
B
C
l2
D
E
F
（2）如果将l2平移到如图所示的位置，上述结论还成立吗？
成立.
问题探究
平行线分线段成比例（基本事实）
如图所示，小方格的边长都是1，直线 l3∥l4∥l5，分别交直线 l1，l2于A，B，C，D，E，F.
l1
l3
l5
A
C
l2
D
l4
B
E
F
（3）如果将l4平移到如图所示的位置，上述结论还成立吗？
成立.
由此，你发现了什么？与同伴交流.
平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
l1
l2
l3
l4
l5
A
B
C
D
E
F
归纳总结
如图所示：
若l1∥l2∥l3，则：
数学符号语言
A
B
C
D
E
平行线分线段成比例推论：
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
∵DE∥BC
合作探究，展示点评
熟悉该定理及推论的几种基本图形
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
例2 如图所示，在△ABC中，EF∥BC，EF与两边AB,AC分别相交于点E，F. 求证：
解：∵EF∥BC，
∴
如图所示,过点E作EG∥AC,EG与边BC相交于点G,
∵EF∥BC，EG∥AC，
∴
∴
∴四边形EGCF为平行四边形，从而GC=EF,
G
合作探究，展示点评
平行于三角形的一边、并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的对应边成比例．
几何语言：
如图，∵在△ABC中，EF∥BC，
平行于三角形一边的直线的性质
合作探究，展示点评
例1 如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的点，且 EF∥BC,
（1）如果AE = 7, EB = 5 , FC = 4 ，那么AF的长是多少？
（2）如果AB = 10, AE=6，AF = 5 ，那么FC的长是多少？
A
B
C
E
F
合作探究，展示点评
例1 如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的点，且 EF∥BC,
（2）如果AB = 10, AE=6，AF = 5 ，那么FC的长是多少？
A
B
C
E
F
D
练一练
A
C
E
B
D
F
l2
l1
l3
1.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是 ( )
A. B.
C. D.
练一练
A
C
E
B
D
F
2.如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
D
练一练
3.如图所示，DE∥BC，则下列比例式不成立的是( )
A. B.
C. D.
A
B
C
D
E
D
典例精析
例1 如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，DF，AC=4，CE=6，BD=3，求BF的长.
m
n
a
b
c
A
B
C
D
E
F
练一练
A
B
C
E
F
如图，在△ABC中， EF∥BC.
(1) 如果E、F分别是AB和AC上的点， AE = BE=7，
FC = 4 ，那么AF的长是多少？
(2) 如果AB = 10，AE=6，AF = 5，那么FC的长是多少？
如图所示，把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现下面两种情况：
你能写出成比例的线段吗？与同学交流.
把l4看成平行于△ABC的边BC的直线
l4
A
B
C
D
E
问题探究
A
B
C
D
E
如图所示，把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现下面两种情况：
你能写出成比例的线段吗？与同学交流.
把l3看成平行于△ABC的边BC的直线
l3
A
B
C
D
E
问题探究
A
B
C
D
E
由此，你发现了什么？与同伴交流.
平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线相交），所得的对应线段成比例.
几何语言表示为：
归纳总结
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.
问题探究
A
B
C
E
D
问题3 你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？
问题1 △ADE与△ABC的三个角分别相等吗？
问题2 分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？
通过度量，我们发现△ADE∽△ABC，
且只要DE∥BC，这个结论恒成立.
怎样证明呢
过点E作AB的平行线交BC于点F.
A
B
C
E
D
命题证明
如图所示，在△ABC中，DE∥BC,求证：△ADE∽△ABC.
证明：
F
判定三角形相似的预备定理：
平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.
几何语言表示为：
A型
总结归纳
A
B
C
E
D
∵ DE∥BC，
∴ △ADE∽ABC.
A
B
C
E
D
X型
典例精析
例2 如图,在△ABC中，DE∥BC,AD=2，AB=6，AE=3,求AC的长.
A
B
C
E
D
A
练一练
1.如图，在△ABC中，EF∥BC，AE=2cm，BE=6cm，
BC=4cm，则EF的长为 ( )
A.1cm B.5cm C.3cm D.2cm.
A
B
C
F
E
练一练
2.如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE : EA = 2 : 3，
EF =4，求CD的长．
A
B
C
D
E
F
课堂小结
谢 谢