19.3 二次函数的性质 y=ax2+k的图象和性质 同步课件(共24张PPT) 2024-2025学年北京版数学九年级上册

(共24张PPT)
——y=ax2+k的图象和性质
19.3二次函的性质
y＝ax2 a＞0 a＜0
图象
开口方向
开口大小 对称性 顶点最值
增减性
开口向上
开口向下
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0.
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0.
当x=0时，y最大值=0.
复习回顾：二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质
越大，开口越小.
在对称轴左侧（x＜0），y随x的增大而减小；
在对称轴右侧（x＞0），y随x的增大而增大．
在对称轴左侧（x＜0），y随x的增大而增大；
在对称轴右侧（x＞0），y随x的增大而减小．
y=ax2（a≠0） a>0 a<0
图象
顶点坐标 （0,0） （0,0）
对称轴 y轴 y轴
增减性 当x<0时,y随x的增大而减小； 当x>0时,y随x的增大而增大. 当x<0时,y随x的增大而增大；
当x>0时,y随x的增大而减小.
极值 最小值 最大值
知识回顾
x
y
0
x
y
0
例 在同一平面直角坐标系中画出二次函数y=2x2，y=2x2+1，y=2x2-1的图象.
第一步：列表
x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ...
y=2x2 ... ...
y=2x2+1 ... ...
y=2x2-1 ... ...
问题探究
第二步：描点
第三步：连线
1.已知二次函数
① y=-x2; ② y= x2; ③ y=15x2;
④ y=-4x2; ⑤ y=- x2; ⑥ y=4x2.
(1)其中开口向上的有 (填题号)；
(2)其中开口向下，且开口最大的是 (填题号)；
(3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后逐渐变小的有 (填题号).
②
③
⑥
⑤
①
④
⑤
2.一次函数y=2x与y=2x+2的图象的位置关系.
3.你能由此推测二次函数y=2x2与y=2x2+1的图象之间有何关系吗？二次函数y=2x2+1与y=2x2-1的图象之间又有何关系
平行
二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＞0)
画出二次函数 y=2x , y=2x2+1 ，y=2x2-1的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性。
x -1.5 -1 -0.5 0 1 0.5 1.5
y=2x2-1
y=2x2
y=2x2+1
3.5
1
-0.5
-1
1
-0.5
3.5
4.5
2
0.5
0
2
0.5
4.5
5.5
3
1.5
1
3
1.5
5.5
y
二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0)
做一做
在同一坐标系内画出
下列二次函数的图象：
根据图象回答下列问题:
(1)图象的形状都是 .
(2)三条抛物线的开口方向_______;
(3)对称轴都是__________
(4) 从上而下顶点坐标分别是 _____________________
(5)顶点都是最____点，函数都有
最____值，从上而下最大值分别
为_______、_______﹑________
(6) 函数的增减性都相同：
____________________________
__________________________
抛物线
向下
直线x=0
( 0，2)
( 0,0)
( 0,-2)
高
大
y=2
y=0
y= -2
对称轴左侧y随x增大而增大
对称轴右侧y随x增大而减小
二次函数y=ax2+k（a ≠ 0）的图象和性质
归纳总结
解析式 形状 开口方向 对 称 轴 顶点 坐标 顶点高低 函数最值 函数的增减性 a＞0 a＜0 a＞0 a＜0 a＞0 a＜0 a＞0 a＜0
y = ax2+k ﹙a≠0)
抛物线
向
上
向
下
x=0
（0，k）
最低
最高
最小y=k
最大y=k
对称轴左
侧y随x增
大而减小，
对称轴右
侧y随x增
大而增大
对称轴左
侧y随x增
大而增大，
对称轴右
侧y随x增
大而减小
知识总结
二次函数y=ax2+k（a ≠ 0）的图象与性质
1、图象的形状：抛物线
2、图象的三要素：
（1）开口方向：a>0时，向上；a<0时，向下
（2）顶点坐标：（0，k）
（3）对称轴：y轴
思考：
抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2有什么关系？
数量关系
位置关系
函数值相差k
平移后能够完全重合
二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到：
当k > 0 时,向上平移k个单位长度得到.
当k < 0 时,向下平移-k个单位长度得到.
知识要点
二次函数y=ax2 与y=ax2+k（a ≠ 0）的图象关系
新课探究
(2）抛物线 与抛物线 有什么关系？
把抛物线 向 平移1个单位长度,就得到抛物线 ；
把抛物线 向 平移1个单位长度,就得到抛物线 _________.
(1)直接说出函数 的图象开口方向，对称轴和顶点坐标。
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
探究归纳
二次函数 y=ax2+k（a ≠ 0）的图象特点
a>0时开口向上
a<0时开口向下
a>0时开口向上
a<0时开口向下
y轴
y轴
（0.0）
（0.k)
a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.
1.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线
2.填表：
y = 2x2-4
函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点
y = ３x2
y = 3x2＋1
y = -4x2－5
向上
向上
向下
（0,0）
(0,1)
(0,-5)
y轴
y轴
y轴
有最低点
有最低点
有最高点
新知应用
二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质
图象
性质
与y=ax2的关系
抛物线
增减性
平移完全重合
课堂小结
1.填表：
函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点
y = ３x2
y = 3x2＋1
y = -4x2－5
向上
向上
向下
(0,1)
（0,0）
(0,-5)
y轴
y轴
y轴
有最低点
有最低点
有最高点
2.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线
y = 2x2－４
3.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n) ___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.
4. 若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k .
在
=2
>2
<2
5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：
（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.
向下平移1个单位.
（2）函数y=-x2+1，当x 时， y随x的增大而减小；当x 时，函数y有最大值，最大值y是 ，其图象与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 .
>0
=0
1
(0,1)
(-1,0),(1,0)
（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.
6.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大，则m=____.
7.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）则a=____.
8.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______.
9.二次函数y=ax2+c与一次函数y=ax+c的图象在同一坐标系中的是 ( )
2
-2
8
B