20.4 解直角三角形 课件(共20张PPT)2024-2025学年北京版九年级数学上册

(共20张PPT)
20.4 解直角三角形
复习回顾
在Rt△ABC中，其中∠C=90
如图,在 Rt△ABC 中，∠C =90°
(1)边的关系：
a2+b2=c2(勾股定理)；
(2)角的关系：
∠A +∠B =90°；
(3)边角关系：
b
A
B
C
a
┌
c
数量关系：
tanB=
cosA=
sinA=
sinB=
cosB=
tanA=
1
三角函数 锐角α 正弦sinα 余弦cosα 正切tanα
300
450
600
┌
┌
300
600
450
450
特殊角的三角函数值：
探究新知
如图是意大利的比萨斜塔，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的交点为A ，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2米，AB=54.5米.
知道以上条件，你能求出∠A的度数吗？
已知：
求问：
∠A的度数.
Rt△ABC中，∠C=90°，
BC=5.2 m，AB=54.5 m.
C
B
A
C
B
A
　　一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.
已知：
求问：
∠A的度数.
Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2 m，AB=54.5 m.
利用计算器可得∠A ≈ 5°28′.
探究新知
C
B
A
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC= ，BC=　 ，解这个直角三角形．
提问
需求的未知元素？
要求：斜边AB、锐角A、锐角B.
知道哪些元素？
知道：两条直角边：AC、BC.
例题讲解
有哪些解法？
例题讲解
例2 如图，在 Rt△AB中，∠C=90°，∠B=35°，b=20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）．
sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70
还有别的
解法吗？
提问
需求的未知元素？
要求：另一直角边BC、斜边AB、锐角A.
知道哪些元素？
知道：锐角B和一直角边AC.
跟踪训练
归纳新知
已知 选择的边角关系
斜边和一直角边 c,a 勾股定理求b，由sin A求∠A，∠B=90°-∠A
两直角边 a,b 勾股定理求c，由tan A求∠A，∠B=90°-∠A
斜边和一锐角 c，∠A ∠B=90°-∠A，a=c·sinA，b=c·cosA
一直角边和一锐角 a,∠A ∠B=90°-∠A，b=a÷tanA，c=a÷sinA
知斜求直正余弦
知直求直用正切
知边求角要选好
能用乘法不用除
A
B
C
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = ， ，解这个直角三角形.
类型一：已知两边
例题精析
解：
∵∠C=90°
未知：AB、∠A、∠B
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = ， ，解这个直角三角形.
在直角三角形中，如果不是特殊角的函数值，可以借助计算器计算求出角度。
如果将本题条件改为:AC=3,BC=4，能求出AB和∠A，∠B的值吗？
例题精析
A
B
C
3
4
例2、如图，在Rt△ABC中∠C=90°，∠A=30°，a=5，解这个直角三角形（求∠B，b，c.）
解： ∠B=900-∠A= 900-300=600
∴ b=a tanB=5tan60°=5√3
又 ∵tanB=
b
a
∵ sinA=
a
c
∴ c= = = =10
a
sinA
5
sin300
5
1
2
还可以用勾股定理求c
类型二：已知一边和一角
(或：c= = =10 )
书本P122
∵∠A=30°，∴c=2a=10
解： ∠B=900-∠A= 900-300=600
∵a=5,c=10,
未知：b、c、∠B
A
B
C
未知：AB、AC、∠B、∠A、∠C
是否利用边角关系？
例3.在Rt△ABC中,∠C=90°,已知BC=5,cosA= ,试求AB的长。
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
AB=8，则BC的长是（　　）
D
当堂练习
2.在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，则cosB 的值是_________.
3.如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB= ，则AC的长为（　　）
A．3 B．3.75
C．4.8 D．5
B
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；
（1）a = 30 , b = 20 ;
A
B
C
b=20
a=30
c
(2) ∠B＝72°，c = 14.
A
B
C
b
a
c=14
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的平分线 ，解这个直角三角形.
D
A
B
C
6
图②
当△ABC为锐角三角形时，如图②，
BC=BD+CD=12+5=17.
图①
解：∵cos∠B= ，∴∠B=45°，
当△ABC为钝角三角形时，如图①，
∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5
∴BC=BD-CD=12-5=7；
∴BC的长为7或17.
当三角形的形状不确定时，一定要注意分类讨论.
6. 在△ABC中，AB= ，AC=13，cos∠B= ，求
BC的长.
归纳总结
已知 选择的边角关系
斜边和一直角边 c,a 勾股定理求b，由sin A求∠A，∠B=90°-∠A
两直角边 a,b 勾股定理求c，由tan A求∠A，∠B=90°-∠A
斜边和一锐角 c，∠A ∠B=90°-∠A，a=c·sinA，b=c·cosA
一直角边和一锐角 a,∠A ∠B=90°-∠A，b=a÷tanA，c=a÷sinA
只要知道其中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其它3个未知的元素。