20.5 测量与计算(解直角三角形的应用)课件(共24张PPT)2024-2025学年北京版九年级数学上册

文档属性

名称 20.5 测量与计算(解直角三角形的应用)课件(共24张PPT)2024-2025学年北京版九年级数学上册
格式 pptx
文件大小 2.4MB
资源类型 教案
版本资源 北京版
科目 数学
更新时间 2025-10-09 16:14:49

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文档简介

(共24张PPT)
20.5 测量与计算
1. 正确理解方向角、坡度的概念.
2. 能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题;能够掌握综合性较强的题型、融会贯通地运用相关的数学知识,进一步提高运用解直角三角形知识分析解决问题的综合能力.
重点
难点
学习目标
导入新课
以正南或正北方向为准,正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角,叫做方位角. 如图所示:
30°
45°
B
O
A

西


方位角
45°
45°
西南
O
东北

西


西北
东南
北偏东30°
南偏西45°
引入
(1)正东,正南,正西,正北
(2) 西北方向:_________
西南方向:__________
东南方向:__________
东北方向:__________
利用解直角三角形解决实际问题的一般过程:
1.将实际问题抽象为数学问题;
2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;
画出平面图形,转化为解直角三角形的问题
3.得到数学问题的答案;
4.得到实际问题的答案.
解直角三角形的应用问题的思路是怎样的?
例1 如图,一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65° 方向,距离灯塔 80 n mile的 A 处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔 P 的南偏东34° 方向上的 B 处,这时,海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远(精确到0.01n mile)?
65°
34°
P
B
C
A
新知学习
解:如图 ,在 Rt△APC 中,
PC = PA · cos(90°-65°) = 80 × cos 25° ≈ 72.505.
在 Rt△BPC 中,∠B = 34°,
∵ sin B = ,
∴ PB = ≈ 129.66(n mile) .
因此,当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向时,它距离灯塔 P 大约 129.66n mile.
65°
34°
P
B
C
A
归纳
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题);
(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数等解直角三角形;
(3)得到数学问题的答案;
(4)得到实际问题的答案.
某探险者某天到达如图所示的点A处时,他准备估算出离他的目的地——海拔为3500 m的山峰顶点B处的水平距离.他能想出一个可行的办法吗?
通过这节课的学习,相信你也行.
新知探究
A
B
如图,在进行测量时,从下往上看,视线在水平线的上方,视线与水平线上方的夹角叫做仰角;从上往下看,视线在水平线的下方,视线与水平线下方的夹角叫做俯角.
新知探究


线
视线
水平线
视线
仰角
俯角
如图所示,在离上海东方明珠塔1000 m的A处,用仪器测得塔顶的仰角为25°,仪器距地面高为1.7 m.求上海东方明珠塔的高BD.
(结果精确到1 m,参考数据:sin25°≈0.42,
cos25°≈0.91,tan25°≈0.47)
新知探究
如图,在Rt△ABC中,∠BAC =25°,AC =1000m,
因此
答:上海东方明珠塔的高度BD为468 m.
从而 BC=1000×tan25°≈466.3(m)
因此,上海东方明珠塔的高度
BD=466.3+1.7=468(m)
例1 热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋高楼底部的俯角为60°,热气球与高楼的水平距离为120m,这栋高楼有多高(结果取整).
新知探究
B
D
A
C
Rt△ABD中,α=30°,AD=120,所以利用解直角三角形的知识求出BD的长度;
Rt△ACD中,β=60°,AD=120,所以利用解直角三角形的知识求出CD的长度;
进而求出BC的长度,即求出这栋楼的高度.
例2 如图,海中有一个小岛 A,它周围 8n mile 内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在点 B 处测得海岛 A 位于北偏东 60° 方向上,航行 12n mile 到达点 C 处,又测得海岛 A 位于北偏东 30° 方向上,如果渔船不改变航向继续向东航行,有没有触礁的危险?


A
C
B
60°
30°
D
E
F


A
C
B
60°
30°
D
E
200km
解:过点 P 作 PC⊥AB,C 是垂足.
则 ∠APC = 30°,∠BPC = 45°, AC = PC · tan 30°,BC = PC · tan 45°.
∵AC + BC = AB,
∴PC · tan 30°+PC · tan 45° = 200,
即 PC+PC = 200,解得 PC ≈ 126.8km>100km.
答:计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区.
200km
C
如图,从山脚到山顶有两条路 AB 与 BC,问哪条路比较陡?
思考
A
B
C
很明显 BC 更陡!
1. 坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作 α .
2. 坡度 ( 或坡比 )
如图所示,坡面的铅垂高度 (h) 和水平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比),记作 i, 即 i = h : l .坡度通常写成 1∶m 的形式,如 i =1∶6.
3. 坡度与坡角的关系
α
l
h
坡面
水平面
i = h : l
1. 如图,一山坡的坡度为 i = 1:2. 小刚从山脚 A 出发,沿山坡向上走了 240m到达点 C. 这座山坡的坡角是多少度?小刚上升了多少米(角度精确到 0.01°,长度精确到 0.1m )?
i=1:2
针对训练
解:用 α 表示坡角的大小,由题意可得 tan α = = 0.5,因此 α ≈ 26.57° .
在 Rt△ABC 中,∠B = 90°,∠A = 26.57°,AC = 240 m,
因此 sin α = = ,从而 BC = 240 × sin 26.57° ≈ 107.3 (m).
答:这座山坡的坡角约为 26.57°,小刚上升了约 107.3 m.
i = 1:2
A
C
B
2.为满足广大滑板爱好者的需求,某广场修建了一个小型滑板场,如图,爱好者们从 A 处滑下,经缓冲区 EF 之后,滑向 C 处,已知 AB⊥BD 于点 B,CD⊥BD 于点 D,AB =2CD,BD = 13 m,缓冲区EF =3 m,斜坡轨道 AE 的坡度 i =1:2,斜坡轨道 FC 的坡角为 37°,其中 B,E,F,D 在同一直线上,则 AB 的长度约为( )
(参考数据:tan37°≈0.75,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80)
A.3.55 m B.3.75 m
C.3.95 m D.4.15 m
A
D
C
B
E
F
B
A
D
C
B
E
F