21.1 圆的有关概念 课件(共31张PPT)2024-2025学年北京版九年级数学上册

(共31张PPT)
21.1与圆有关的概念
诗人笔下的圆
大漠孤烟直，
长河落日圆．
—— 唐·王维
《使至塞上》
小时不识月，
呼作白玉盘．
—— 唐·李白
《古朗月行》
海上生明月，
天涯共此时．
—— 唐·张九龄
情景引入
山地车车轱辘
奥运五环
餐桌桌面
圆
观察下列美丽的图片，你能发现什么图形？
圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象
情景导入
在平面内,线段OA绕固定的端点O旋转一周,另一个端点A所描出的封闭曲线叫做圆.
新知探索一
点O叫做圆心，连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径（通常用字母r来表示）。
圆心和半径是圆的两要素。
圆心
半径
一、圆的动态定义:
新知探索一
问题：
（1）一个圆有多少条半径？
（2）在同一个圆中，这些半径的长度都相等吗？
如图:以O为圆心的圆，
记作“⊙O”，读作“圆O”
二、圆的表示方法：
在同一个圆中，所有的半径都相等。
无数条
概念辨析
思考1：圆上各点到定点（圆心 O）的距离有什么规律？
思考2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；
（2）平面内到定点（圆心O）的距离等于定长（半径r）的所有点都在同一个圆上．
几何语言：
∵点A,B在⊙O上
∴OA=OB
几何语言：
∵OA=OB
∴点A,B在⊙O上
因此，圆可以看成是所有到定点（圆心O）的距离等于定长（半径r）的所有点组成的图形．
● O
（1）画一个半径等于5cm的⊙O。
（2）在⊙O上任取两点A、B,并连接
OA、OB，线段OA、OB的长是多少？
（3）如果OC=5厘米，你能找出点C在
在⊙O的什么位置吗？
（4）如果OM=7厘米，你能找出点M在
在⊙O的什么位置吗？
（5）如果ON=3厘米,你能找出点N在⊙O的什么位置吗？
●A
●
B
●
C
● M
● N
问：平面内的点与圆有几种位置？
形成性定义(动态)
集合性定义(静态)
概念辨析
在一个平面内,线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点P所形成的封闭曲线叫做圆．
圆心为 O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的所有点组成的图形．
r
战国时的《墨经》
就有“圆,一中同长也”
的记载.它的意思是圆
上各点到圆心的距离都
等于半径.
P
·
O
C
A
B
D
新知探索
探索圆的相关概念
阅读教材13页，请你找出弦、弧等相关概念.
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧（arc），简称弧，用符号“⌒”．以A、B为端点的弧记作 AB ，读作“圆弧AB”或“弧AB”．
(
弦:
连接圆上任意两点的线段（如图中的AB，CD）叫做弦（chord），经过圆心的弦（如图中的CD）叫做直径．（diameter）
1.弦和直径都是线段。
2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径。
3.同圆中所有的半径相等。
注意
注意
等弧:
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
想一想：长度相等的弧是等弧吗？
·
C
O
A
B
小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的AC ;
(
大于半圆的弧叫做优弧.如图中的ABC.
(
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
半圆、劣弧与优弧
有弦及其所对的弧所组成的图形叫弓形。如图中弦AC分别与AC及ABC组成两个不同的弓形。
(
(
如图.
(1) 请写出以点A为端点的优弧及劣弧;
弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径.
（3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.
答案不唯一，如：弦AF,它所对的弧是 .
A
B
C
E
F
D
O
劣弧：
优弧：
AF,
(
AD,
(
AC,
(
AE.
(
AFE,
(
AFC,
(
AED,
(
AEF.
(
AF
(
(2) 请写出以点A为端点的弦及直径
1.根据圆的定义,“圆”指的是“圆周”,而不是“圆面”.
2.直径是圆中最长的弦.
推理验证：
·
C
O
A
B
连接OC,
在△AOC中，根据三角形三边关系有AO+OC>AC,
而AB=2OA,AO=OC,所以AB>AC.
重点强调
2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径.
归纳小结
5.同心圆：圆心相同，半径不同
等圆：半径相同，圆心不同
同圆：半径相同，圆心相同
1.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧（arc），简称弧，用符号“⌒”．以A、B为端点的弧记作 ，读作“圆弧AB”或“弧AB”．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
小于半圆的弧叫做劣弧.
大于半圆的弧(用三个字母表示)叫做优弧．
4.等弧：在同圆或等圆中，能过够完全重合的弧
3.有弦及其所对的弧所组成的图形叫弓形。
探 求 新 知
车轮为什么做成圆形
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变。因此，当车辆在平坦的路上行使时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理。
一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．
确定一个圆的要素
想一想：1.以1cm为半径能画几个圆，以点O为圆心能画几个圆？
无数个圆
无数个圆
2.如何画一个确定的圆？
学以致用
例：矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.
分析：
问题1 如果点A,B,C,D在同一个圆上，那么这些点到圆心O的距离相等吗？由此可得：要证明四点共圆，只需证明 。
问题2 你想到了哪些方法去证明 ？
问题3 你能自己写出证明过程吗？
.
问题1：观察下图，其中点和圆的位置关系有哪几种？
.
o
.
C
.
.
.
. B
.
.A
点与圆的位置关系有三种：
点在圆内，点在圆上，点在圆外.
点和圆的位置关系
再探新知
问题2：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？
点P在⊙O内
点P在⊙O上
点P在⊙O外
d
d
d
r
P
d
P
r
d
P
r
d
＜
r
r
=
＞
r
反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？
r
P
d
P
r
d
P
r
d
R
r
P
点P在⊙O内
d点P在⊙O上
d=r
点P在⊙O外
d>r
点P在圆环内
r＜d＜R
数形结合：
位置关系
数量关系
点和圆的位置关系
归纳总结
一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．
同心圆
等圆
半径相同，圆心不同
圆心相同，半径不同
确定一个圆的要素
矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O.
求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC，OB=OD.
典例精析
又∵AC=BD，
∴OA=OB=OC=OD.
∴A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上.
弦：AF,AB,AC.其中弦AB又是直径.
（3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.
A
B
C
E
F
D
O
如图.
(1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧
答案不唯一，如：弦AF,它所对的弧是 .
AF
(
典例精析
优弧：
(2)请写出以点A为端点的弦及直径
ABE
DEA
劣弧：
AF
EA
例题：如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.
（1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？
解：AD=4=r，故D点在⊙A上
AB=3AC=5>r，故C点在⊙A外
1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在 ；点B在 ；点C在 .
圆内
圆上
圆外
2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP= ，则点P在（ ）
A.大圆内 B.小圆内
C.小圆外 D.大圆内，小圆外
o
D
练一练：
例：如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.
（1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？
解：D点在⊙A上,B点在⊙A内
C点在⊙A外
（2）若以A点为圆心作⊙A，使点B在圆内，点C在圆外，求⊙A的半径r的取值范围？（直接写出答案）
3变式：如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2,1），P是x轴上一点，要使△PAO为等腰三角形，满足条件的P有几个？求出点P的坐标.
课内练习二
1、如图，在⊙O中，点A,O,D在一条直线上，
点B,O,C在一条直线上，那么图中有弦（ ）
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
2、如图，圆中有____条直径，____条弦，
劣弧有____条，以A为一个端点的优弧
有_____条。
B
1
2
5
2
A
A
O
M
B
C
3.下列说法正确的是（ ）
A.直径不是圆的弦
B.半圆不是弧
C.等于半径两倍的线段叫弦
D.过圆内一点可以做无数条弦
D
4.如图，⊙O的半径为3，点P是圆内一点，则过点P的最长弦的长度为（ ）
A.4 B.3 C.6 D.5
O

P
C
5.平面内一点P,到⊙O上的最大距离为9cm，最小距离为4cm，求⊙O的半径。
O

P
● A
B
B
● A
●
O
P
解:（1）当点P在圆内时，如图①.
∵点P到圆上的最小距离为4cm
点P到圆上的最大距离为9cm
∴PA=4,PB=9
∴直径AB=13（cm)
∴半径r=6.5（cm)
图①
图②
（2）当点P在圆外时，如图②.
∵点P到圆上的最小距离为4cm
点P到圆上的最大距离为9cm
∴PA=4,PB=9
∴直径AB=5（cm)
∴半径r=2.5（cm)
∴由①②得半径为6.5cm或2.5cm
圆上任意两点A，B之间的部分叫做圆弧，
简称弧，记作 ，
平面上，一条线段OA绕着它固定的一个端点O，
旋转一周，另一个端点A形成的图形叫做圆。
固定的端点O称为圆心。
读作“圆弧AB或“弧AB”。
由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB
所组成的图形叫做扇形。
顶点在圆心的角叫做圆心角。
认识圆