21.3 圆的对称性 同步课件(共24张PPT)-2025-2026学年北京版数学九年级上册

(共24张PPT)
21.3 圆的对称性
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？
情境引入
问题1 圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是
什么？你能找到多少条对称轴？
问题2 你是怎么得出结论的？
圆的对称性：
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.
用折叠的方法
● O
探究归纳
圆的对称性
问题3 将圆绕圆心旋转 180° 后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
我们探索发现圆是一个旋转对称图形，绕圆心旋转 180 度还是多少度后，它都能与自身重合，
对称中心即为圆心.
.
O
A
B
180°
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性.
探究归纳
O
α
·
剪下一个圆形纸片，把它绕着圆心旋转180°，所得图形与原图形重合吗？把它绕着圆心任意旋转一个角度呢？再将其折叠你发现了什么？由此你得到什么结论？
◆圆的中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心为圆心；
旋转180°
◆圆的旋转不变性：圆是旋转对称图形，具有旋转不变性；
◆圆的轴对称性：圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线.
·
旋转任意角度
探究新知
圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角；
如图，∠AOB就是一个圆心角
再探新知
B
A
O
判一判：判别下列各图中的角是不是圆心角？
①
②
③
④
圆内角
圆外角
圆周角




在同圆中探究
在⊙O中，如果两个圆心角∠AOB=∠COD，
那么，两条弧AB与CD有什么关系？
两条弦弦AB与弦CD有什么关系？
⌒
⌒
O
A
B
D
再探新知
圆心角、弧、弦之间的关系
C
归纳：由圆的旋转不变性，我们发现：
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，
那么，AB = CD ，弦AB=弦CD
⌒ ⌒
在等圆中探究
归纳：通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，
那么，AB = CD ，弦AB=弦CD
⌒ ⌒
再探新知
圆心角、弧、弦之间的关系
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO D，
你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
O ′
O
A
B
C
D
总结归纳
圆心角、弧、弦的关系定理及推论
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
①∠AOB=∠COD
② AB = CD
⌒ ⌒
③ AB = CD
几何语言：
∵∠AOB=∠COD
∴
AB = CD
⌒ ⌒
AB = CD
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
知一推二
(1) 在一张半透明的纸片上画一个圆，标出它的圆心 O，再任意作出一条直径AB将O沿直径AB折叠，你发现了什么
(2) 再任意作一条直径，重复 (1)中的操作，还有同样的结论吗？
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴.
●O
C
D
A
B
E└
连接OC，OD.
因为OC ＝ OD，OE ⊥ CD，
所以CE ＝ DE.
从而可知点 C与点D关于直线AB对称.
新知归纳
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
（1）直径
（2）垂直于弦
｝
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
｛
已知
结论
●O
C
D
A
B
E└
●O
C
D
A
B
E└
如图∵ AB是直径,（直径 ）
AB⊥CD, （垂直于弦）
∴CE=DE, （平分弦）
⌒
⌒
AC =AD,
（平分劣弧）
⌒
⌒
CB=DB.
（平分优弧）
新知归纳
符号语言：
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
A
B
D
C
O
思 考
A
D
例 如图，AB，DE是⊙O 的直径，C是⊙O 上的一点，且AD=CE.
BE和CE的大小有什么关系？为什么？
⌒ ⌒
典例精析
·
E
B
C
O
解: BE=CE.
理由：
⌒ ⌒
⌒ ⌒
∵ ∠AOD=∠BOE，
∴ AD=BE.
又∵ AD=CE，
∴ BE=CE.
∴ BE=CE.
⌒ ⌒
·
A
B
C
O
例 如图，在⊙O中， AB=AC ,∠ACB=60°,
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
⌒ ⌒
证明：
∴ AB=AC
又∠ACB=60°，
∴ △ABC是等边三角形, AB=BC=AC.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
∵AB=AC，
⌒ ⌒
典例精析
归纳小结
弧、弦、圆心角之间的关系．
命题 题设 结论 几何语言
定理 在同圆或等圆中 圆心角相等 圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等 在⊙O中
推论1 弧相等 弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等
推论2 弦相等 弦所对应的圆心角相等 弦所对应的优弧相等 弦所对应的劣弧相等
∠AOB=∠A1OB1
AB=A1B1
∵
∴
∠AOB=∠A1OB1
AB=A1B1
∵
∴
∠AOB=∠A1OB1
AB=A1B1
∵
∴
归纳小结
注意
1.强调在同圆或等圆中，该条件不能缺少.
2.三者之间相互转换（知一推二）
3.定理还能推导出其他相等的几何量（扇形或弓形面积，弦心距，弓形高等）
牛刀小试
O
A
B
C
D
　如图，AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径.
求证：AB=BC=CD=DA;
AB=BC=CD=DA.
⌒
⌒
⌒
⌒
∴ AB=BC=CD=DA
⌒
⌒
⌒
⌒
证明: ∵AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径,
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90
AB=BC=CD=DA(圆心角定理)
学以致用
题型一：证明几何图形相等
例2 如图，在⊙O中， ，∠ACB=60°.
求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.
证明：∵ ，
∴AB=AC,△ABC是等腰三角形.
又∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA.
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC.
这节课你学到了什么？
谈谈你的收获吧！
2. 圆心角
弧
弦定理
1. 圆对称性
课堂小结
轴对称图形
中心对称图形
圆心角相等
弧相等
弦相等
知一推二
同圆或等圆中
旋转不变性