22.2 圆的切线 课件(共31张PPT) 2024-2025学年北京版数学九年级上册

(共31张PPT)
22.2圆的切线
直线与圆的 位置关系 相离 相切 相交
图形
公共点个数 0个 1个 2个
公共点名称 切点 交点
直线名称 切线 割线
圆心到直线距离 d>r d=r d学习准备
导入新课
问题1 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？
直线与圆的 位置关系
图形
公共点个数
公共点名称
直线名称
2个
交点
割线
1个
切点
切线
0个
相离
相切
相交
位置关系
公共点个数
填一填
直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线（如图直线l），这个唯一的公共点叫做切点。
A
l
O
知识要点
数学中的切线
O
d
r
l
定义：
直线和圆只有一个公共点，这条直线叫做圆的切线.
数学中的切线
O
d=r
l
A
（1）作圆O的半径OA
（2）过半径的外端O作OA的垂线l
画切线：
你能说出这样画切线的依据吗？
∵d=r
∴直线l为圆O的切线
P
O
如图，你能借助三角板过圆外一点P作圆的切线吗？如果能，作切线的依据是什么？
探究新知：
·
在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长
O
P
A
思考： 切线和切线长这两个概念有何区别？
探究新知：
圆是轴对称图形，连接OP，沿OP折叠找出点A的
对称点B,连接OB，作出PB所在直线有什么发现？
·
P
O
A
B
PA=PB，∠APO=∠BPO
如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B.沿着直线PO将图形对折、发现PA=PB，∠APO=∠BPO ，改变圆半径或点P位置呢？
可以进行几何证明吗？
探究新知：
如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A 、B，
求证：PA=PB，∠APO=∠BPO
证明：如图，连接OA，OB
∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB
即∠OAP=∠OBP=90°
又OA=OB，OP=OP
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
探究新知：
B
P
O
A
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
你能用语言文字表述这一结论吗？
切线长定理为证明角相等和线段相等提供了新的方法
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。（文字语言）
几何语言：
∵PA、PB分别切⊙O于A、B
∴PA = PB ∠OPA=∠OPB
切线长定理
B
P
O
A
请同学们阅读教材P99探究内容，理解并识记定理内容，稍后提问展示。
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线；
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时,直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
l
A
l
O
l
r
d
数学中的切线
O
d
r
l
反过来，如果直线l是圆O的切线，切点为A，则半径OA一定垂直于直线l.
切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
A
证明：假设OA与l不垂直,过点O作OM⊥l,垂足为M,
则OM < OA=r(垂线段最短)
∴圆心到直线l的距离OM小于⊙O的半径OA
∴l与⊙O相交.
这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾.
∴AB⊥l垂直.
切线性质定理的证明（反证法）：
四、判定切线
从图可以看出来，对直线 l 上除点 A 外的任一点 P，必有 OP＞OA，即点 P 位于圆外，从而可知直线与圆只有一个公共点，所以直线 l 是圆的切线.
P
l
如图，画一个圆 O 及半径 OA，经过 ☉O 的半径 OA 的外端点 A 画一条直线 l 垂直于这条半径，这条直线与圆有几个公共点？
切线的判定定理
做一做
A
O
P
P
经过圆的半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
OA 为⊙O 的半径
OA⊥l 于点 A
直线 l 为⊙O 的切线
切线的判定定理
应用格式
要点归纳
l
A
O
在此定理中，“经过圆的半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线
下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？
(1) 不是，因为没有垂直.
(2) (3) 不是，因为没有经过圆的半径的外端点 A.
判一判
O.
A
O.
A
B
A
O
(1)
(2)
(3)
注意
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1. 定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线；
2. 数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即 d = r)时，直线与圆相切；
3. 判定定理：经过圆的半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
l
A
l
O
l
r
d
要点归纳
O
O
例1 如图，线段 AB 是☉O 的直径，直线 AC 与 AB 交于点 A，∠ABC = 45°，且 AB = AC.
求证：AC 是☉O 的切线.
分析：直线 AC 经过半径的一端，因此只要证 OA 垂直于 AC 即可.
证明：∵ AB = AC，∠ABC = 45°，
∴∠ACB =∠ABC = 45°.
∴∠BAC = 180° -∠ABC -∠ACB = 90°，
即 AB⊥AC.
∵ AB 是☉O 的直径，
∴ AC 是☉O 的切线.
A
O
C
B
例2 已知直线 AB 经过 ⊙O 上的点 C，并且 OA = OB，
CA = CB. 求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线.
O
B
A
C
证明：连接 OC.
∵ OA ＝ OB，CA ＝ CB，
∴ OC 是等腰△OAB 底边 AB 上的中线.
∴ OC⊥AB.
∵ OC 是 ⊙O 的半径，
∴ AB 是 ⊙O 的切线.
分析：由于 AB 过⊙O 上的点 C，所以连接 OC，只要
证明 AB⊥OC 即可.
例3 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，O 是 BC 的中点，⊙O 与 AB 相切于 E.求证：AC 是⊙O 的切线．
B
O
C
E
A
分析：根据切线的判定定理，要证明 AC 是⊙O 的切线，只要证明由点 O 向 AC 所作的垂线段 OF 是⊙O 的半径就可以了，而 OE 是⊙O 的半径，因此只需要证明 OF = OE.
F
.O
.O
.O
.O
.O
1.看图判断直线l与⊙O的位置关系？
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
相离
相交
相切
相交

注意：直线是可以无限延伸的．
当堂练习
相交
2．直线和圆相交，圆的半径为r,且圆心到直线的距离为5，则有（ ）
A. r < 5 B. r > 5 C. r = 5 D. r ≥ 5
3. ⊙O的最大弦长为8，若圆心O到直线l的距离为d=5，则直线l与⊙O .
4. ⊙O的半径为5,直线l上的一点到圆心O的距离是5，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A. 相交或相切 B. 相交或相离
C. 相切或相离 D. 上三种情况都有可能
B
相离
A
5.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．45°
C
第5题
P
O
D
A
B
C
6.如图，已知AB是⊙ O的切线，半径OC的延长线与AB相交于点B，且OC=BC。
（1）求证： AC= OB. （2）求∠B的度数.
(1)证明：∵AB是⊙ O的切线，OA为半径，
∴∠OAB=90°，
在Rt△OAB中，∵OC=CB，
∴AC=OC= OB.
过半径外端+垂直=切线
已知半径（直径）
则证垂直即可.
无半径
圆上有点
连半径
证垂直
圆上无点
作垂直
证半径
同学们，再见！