10.5 分式方程 教学课件(共30张PPT)2025-2026学年北京版数学八年级上册

(共30张PPT)
10.5 分式方程
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等.设江水的流速为x千米/时，根据题意可列方程 .
这个方程是我们以前学过的方程吗？它与一元一次方程有什么区别？
复习引入
1、理解分式方程的概念;
2、掌握列分式方程的基本方法和步骤.
学习目标
合作探究一：分式方程的概念
新知生成
分母中含有未知数的方程叫做分式方程
小组交流：分式方程与整式方程的区别与联系？
探索新知
分式方程的概念
定义：
此方程的分母中含有未知数x，像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.
方法总结
方法总结:判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π不是未知数)．
掌握列分式方程的基本方法和步骤
甲、乙两地相距 1400 km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用 9 h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的 2.8 倍．
（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
①列车的速度×行驶时间=1400
②乘特快列车的行驶时间﹣乘高铁列车行驶时间=9
③高铁列车的平均速度=特快列车平均速度× 2.8
（2）如果设特快列车的平均行驶速度为x km/h，
那么 x 满足怎样的方程？
行驶路程 行驶速度 行驶时间
高铁列车 1400 2.8x
特快列车 1400 x
乘特快列车的行驶时间-乘高铁列车行驶时间=9
（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需y h，那么 y 满足 怎样的方程？
行驶路程 行驶时间 行驶速度
高铁列车 1400 y
特快列车 1400 y+9
高铁列车的平均速度=2.8× 特快列车平均速度
你能试着解这个分式方程吗？
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？
（4）这样做的依据是什么？
（1）如何把它转化为整式方程呢？
探索新知
分式方程的解法
解分式方程最关键的问题是什么？
“去分母”
解：方程①两边同乘(30+x)(30-x)，得
90(30-x)=60(30+x)
解得 x=6
x=6是原分式方程的解吗？
探索新知
检验：将x=6代入原分式方程中，左边= =右边，
因此x=6是原分式方程的解.
方程各分母最简公分母是：(30+x)(30-x)
解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母” 即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.
归纳总结
解：方程两边同乘(x+5)(x-5)，得
x+5=10
x=5
x=5是原分式方程的解吗？
探索新知
解分式方程
方程各分母最简公分母是什么
(x+5)(x-5)
检验：将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程 的解，实际上，这个分式方程无解.
想一想：
上面两个分式方程中，为什么 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？
探索新知
真相揭秘：分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的 解与分式方程的解相同.
我们再来观察去分母的过程:
探索新知
90(30-x)=60(30+x)
两边同乘(30+x)(30-x)
当x=6时,(30+x)(30-x)≠0
真相揭秘：分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解.
x+5=10
探索新知
两边同乘(x+5)(x-5)
当x=5时,(x+5)(x-5)=0
检验方法：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验．
探索新知
分式方程解的检验------必不可少的步骤
简记为：“一化二解三检验”.
“去分母法”解分式方程的步骤
探索新知
1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母.
2.解这个整式方程.
3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值
不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去.
4.写出原方程的根.
解：方程两边乘x(x-3),得
2x=3x-9
解得
x=9
检验：当x=9时，x(x-3)≠0,
∴分式方程的解为x=9
典例精析
例1 解方程
∴x=9是原分式方程的解
解：方程两边乘(x-1)(x+2),得
x(x+2)-(x-1)(x+2)=3
解得
x=1
检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0,
所以，原分式方程无解.
典例精析
例2 解方程
因此x=1不是原分式方程的解.
方法总结
分式方程
整式方程
去分母
x =a
解整式方程
把x=a代入最简公分母是否为零？
检验
x=a不是
分式方程的解
x=a是
分式方程的解
为零
非零
例3 关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是 ．
a＜－1且a≠－2
典例精析
【解析】
2x＋a＝x－1
解得x＝－a－1
∵关于x的方程 的解是正数
∴x＞0且x≠1
解得a＜－1且a≠－2
∴a的取值范围是a＜－1且a≠－2
方程两边同乘(x－1)，得:
∴
－a－1＞0
－a－1≠1
方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.
典例精析
例4 若关于x的分式方程 无解，求m的值．
解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)得:
2(x＋2)＋mx＝3(x－2)
①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1；
②方程有增根，则x＝2或x＝－2，
∴m的值是1，－4或6.
解得：
当x＝2时，代入 ，m＝－4；
当x＝－2时，代入 ，解得m＝6，
分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样
方法总结
分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．
随堂练习
下列方程是分式方程的是（ ）
A. B.
C. D. 2x+1=3x
B
D
2. 要把方程 化为整式方程，方程两边可以同乘（ ）
A. 3y-6 B. 3y
C. 3 (3y-6) D. 3y (y-2)
1.下列关于x的方程中，是分式方程的是(　　)
A. B.
C. D.
D
3．解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是（ ）
A.2(x-8)+5x=16(x-7) B.2(x-8)+5x=8
C.2(x-8)-5x=16(x-7) D.2(x-8)-5x=8
A
4．若关于x的分式方程 无解，则m的值为 ( )
A．－1，5 B．1
C．－1.5或2 D．－0.5或－1.5
D
课堂小结