13.1.3 反证法 教学课件(共16张PPT)-初中数学华东师大版（2024）八年级上册
文档属性
| 名称 | 13.1.3 反证法 教学课件(共16张PPT)-初中数学华东师大版（2024）八年级上册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-06 17:19:03 | ||
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文档简介
(共16张PPT)
第13章 勾股定理
13.1 勾股定理及其逆定理
3. 反证法
知识关联 探究与应用 课堂小结与检测
知识关联
如图，当一个三角形的三边长a、b、c（a≤b≤c）满足关系a2 +b2 =c2时，这个三角形一定是直角三角形吗？
c
a
b
A
C
B
解析：由a2 +b2 ＝c2 ，根据勾股定理的逆定理可知∠C=90°，这个三角形一定是直角三角形.
如果此时a2+b2 ≠c2,那么这个三角形是否一定不是直角三角形呢？
【探究】反证法
【做一做】
探究与应用
作出以如下各组数为边长的三角形，算算较短的两边长的平方和是否等于最长边的平方，再观察它们的图形，你发现了什么？
(1)a =1.0, b =2.4,c =2.6；
(2)a=2, b =3,c=4；
(3) a =2, b =2.5,c =3.
(1)
(2)
(3)
【探究】反证法
探究与应用
我们可以发现,第一组恰好满足a2 +b2= c2,由勾股定理的逆定理可知,组成的三角形是直角三角形,与所作图形一致.而另外两个三角形较短的两边长的平方和都不等于最长边的平方,所作图形都不是直角三角形.
(1)
(2)
(3)
由此,可以得到什么样猜想呢？
(1)a = 1.0, b =2.4,c =2.6；
(2)a=2, b =3,c=4；
(3) a = 2, b =2.5,c =3.
【探究】反证法
探究与应用
分析：想从已知条件a2 +b2≠c2(a≤b≤c)出发,
直接经过推理得出结论,十分困难.我们可以换一种思
维方式,用如下方法证明这个结论:
探究：（1）假设它是直角三角形;
（2）根据勾股定理，一定有a2 +b2 ＝c2，与已知条件a2 +b2 ≠ c2矛盾；
（3）因此假设不成立，即它不是直角三角形.
猜想：当一个三角形的三边长a、b、c (a≤b≤c)存在关系a2 +b2≠c2时,这个三角形不是直角三角形.
怎样证明这个猜想是正确的呢？
这种证明方法叫做“反证法”.
a
b
c
C
A
B
【探究】反证法
探究与应用
【步骤】
先假设结论的反面是正确的，然后通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原结论正确.
反证法：
回想一下，以前用过类似的方法吗？
【探究】反证法
【思考】
探究与应用
在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C≠90°， 那么a +b ≠c 是真命题吗？
解（反证法）：假设a +b =c ，
则有 ∠C=90°，
这与条件∠C≠90°矛盾，
所以假设不成立，
可知结论a +b ≠c 成立.
【探究】反证法
【应用】
探究与应用
例1 证明:两条直线相交只有一个交点.
已知:两条相交直线l1与l2.
求证: l1与l2只有一个交点.
证明：假设两条相交直线 l1与l2不止一个交点，不妨假设 l1与l2有两个交点A和B.
这样过点A和点B就有两条直线l1和l2.这与“两点确定一条直线”，即“经过点A和点B的直线只有一条”这个基本事实矛盾.
所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点.
分析：想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出发,经过推理,得出结论“l1与l2只有一个交点”是很困难的,因此可以考虑用反证法.
【探究】反证法
【应用】
探究与应用
例2 证明:在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
已知：△ABC.
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于 60°，
即∠A> 60°， ∠B > 60°， ∠C> 60°.
于是∠A + ∠B + ∠C > 60° + 60° + 60° = 180°,
这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾.
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
【探究】反证法
探究与应用
运用反证法证明命题时，常见的结论词的否定形式有：
结论词 是 都是 大(小) 于 能 相等 至少 有一个 至少 有n个 至多 有一个 负数
否定 形式 不是 不都是 不大 (小)于 不能 不相等 一个也 没有 至多有 (n－1)个 至少 有两个 非负数
课堂小结
课堂小结与检测
反证法
反证法的概念
反证法的证明步骤：
假设命题不成立→正确的推理,得出矛盾→肯定待定命题的结论.
达标检测
课堂小结与检测
1.试说出下列说法的反面：
（1）a是实数;
（2）a大于2;
（3）a小于2;
（4）至少有2个;
（5）最多有一个.
a不是实数
a小于或等于2
a大于或等于2
最多有1个
一个也没有
达标检测
课堂小结与检测
2.用反证法证明“若a2≠b2,则a≠b”的第一步是 .
3.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角
形不是等腰三角形”的第一步 .
假设a=b
假设这个三角形是等腰三角形
达标检测
课堂小结与检测
4. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤：
①则∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设三角形的三个内角∠A，∠B，∠C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
正确的顺序应为( )
A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①②
D
达标检测
课堂小结与检测
5.用反证法证明：等腰三角形的底角一定是锐角．
已知：在△ABC中 ，AB＝AC.
求证：∠B，∠C一定是锐角．
证明：假设∠B，∠C不是锐角，则∠B，∠C是直角或钝角，即∠B≥90°， ∠C≥90°，
所以∠B+∠C ≥90+90°=180°，
故∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形的内角和定理矛盾．
所以∠B，∠C不是直角或钝角，即∠B，∠C是锐角．
谢谢
第13章 勾股定理
13.1 勾股定理及其逆定理
3. 反证法
知识关联 探究与应用 课堂小结与检测
知识关联
如图，当一个三角形的三边长a、b、c（a≤b≤c）满足关系a2 +b2 =c2时，这个三角形一定是直角三角形吗？
c
a
b
A
C
B
解析：由a2 +b2 ＝c2 ，根据勾股定理的逆定理可知∠C=90°，这个三角形一定是直角三角形.
如果此时a2+b2 ≠c2,那么这个三角形是否一定不是直角三角形呢？
【探究】反证法
【做一做】
探究与应用
作出以如下各组数为边长的三角形，算算较短的两边长的平方和是否等于最长边的平方，再观察它们的图形，你发现了什么？
(1)a =1.0, b =2.4,c =2.6；
(2)a=2, b =3,c=4；
(3) a =2, b =2.5,c =3.
(1)
(2)
(3)
【探究】反证法
探究与应用
我们可以发现,第一组恰好满足a2 +b2= c2,由勾股定理的逆定理可知,组成的三角形是直角三角形,与所作图形一致.而另外两个三角形较短的两边长的平方和都不等于最长边的平方,所作图形都不是直角三角形.
(1)
(2)
(3)
由此,可以得到什么样猜想呢？
(1)a = 1.0, b =2.4,c =2.6；
(2)a=2, b =3,c=4；
(3) a = 2, b =2.5,c =3.
【探究】反证法
探究与应用
分析：想从已知条件a2 +b2≠c2(a≤b≤c)出发,
直接经过推理得出结论,十分困难.我们可以换一种思
维方式,用如下方法证明这个结论:
探究：（1）假设它是直角三角形;
（2）根据勾股定理，一定有a2 +b2 ＝c2，与已知条件a2 +b2 ≠ c2矛盾；
（3）因此假设不成立，即它不是直角三角形.
猜想：当一个三角形的三边长a、b、c (a≤b≤c)存在关系a2 +b2≠c2时,这个三角形不是直角三角形.
怎样证明这个猜想是正确的呢？
这种证明方法叫做“反证法”.
a
b
c
C
A
B
【探究】反证法
探究与应用
【步骤】
先假设结论的反面是正确的，然后通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原结论正确.
反证法：
回想一下，以前用过类似的方法吗？
【探究】反证法
【思考】
探究与应用
在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C≠90°， 那么a +b ≠c 是真命题吗？
解（反证法）：假设a +b =c ，
则有 ∠C=90°，
这与条件∠C≠90°矛盾，
所以假设不成立，
可知结论a +b ≠c 成立.
【探究】反证法
【应用】
探究与应用
例1 证明:两条直线相交只有一个交点.
已知:两条相交直线l1与l2.
求证: l1与l2只有一个交点.
证明：假设两条相交直线 l1与l2不止一个交点，不妨假设 l1与l2有两个交点A和B.
这样过点A和点B就有两条直线l1和l2.这与“两点确定一条直线”，即“经过点A和点B的直线只有一条”这个基本事实矛盾.
所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点.
分析：想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出发,经过推理,得出结论“l1与l2只有一个交点”是很困难的,因此可以考虑用反证法.
【探究】反证法
【应用】
探究与应用
例2 证明:在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
已知：△ABC.
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于 60°，
即∠A> 60°， ∠B > 60°， ∠C> 60°.
于是∠A + ∠B + ∠C > 60° + 60° + 60° = 180°,
这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾.
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
【探究】反证法
探究与应用
运用反证法证明命题时，常见的结论词的否定形式有：
结论词 是 都是 大(小) 于 能 相等 至少 有一个 至少 有n个 至多 有一个 负数
否定 形式 不是 不都是 不大 (小)于 不能 不相等 一个也 没有 至多有 (n－1)个 至少 有两个 非负数
课堂小结
课堂小结与检测
反证法
反证法的概念
反证法的证明步骤：
假设命题不成立→正确的推理,得出矛盾→肯定待定命题的结论.
达标检测
课堂小结与检测
1.试说出下列说法的反面：
（1）a是实数;
（2）a大于2;
（3）a小于2;
（4）至少有2个;
（5）最多有一个.
a不是实数
a小于或等于2
a大于或等于2
最多有1个
一个也没有
达标检测
课堂小结与检测
2.用反证法证明“若a2≠b2,则a≠b”的第一步是 .
3.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角
形不是等腰三角形”的第一步 .
假设a=b
假设这个三角形是等腰三角形
达标检测
课堂小结与检测
4. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤：
①则∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设三角形的三个内角∠A，∠B，∠C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
正确的顺序应为( )
A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①②
D
达标检测
课堂小结与检测
5.用反证法证明：等腰三角形的底角一定是锐角．
已知：在△ABC中 ，AB＝AC.
求证：∠B，∠C一定是锐角．
证明：假设∠B，∠C不是锐角，则∠B，∠C是直角或钝角，即∠B≥90°， ∠C≥90°，
所以∠B+∠C ≥90+90°=180°，
故∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形的内角和定理矛盾．
所以∠B，∠C不是直角或钝角，即∠B，∠C是锐角．
谢谢