第25章 锐角的三角比 单元复习卷（含解析）沪教版（五四制）数学九年级上册

第25章《锐角的三角比》单元复习卷
一、单选题
1．在锐角 ABC中，如果各边长都缩小为原来的，那么的正弦值（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的
C．大小不变 D．不能确定
2．在中，，于点D，下列式子表示B错误的是　　
A． B． C． D．
3．已知为锐角，且，那么的正切值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，若它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（ ）
A．6米 B．米 C．米 D． 米
5．如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1， ABC的顶点都在网格的交点处，则的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若，则BC的长是（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
7．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边，（，点A、B、C、D、O在同一平面内），已知，，∠DCF=x.则点A到OC的距离等于（ ）
A． B． C． D．
8．将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形，连接，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．
10．在△ABC中，若∠C＝90°，cosA＝，则tanA＝ .
11．在中，，，，则BC的长是 .
12．等腰三角形两条边长分别是，则等腰三角形的底角的余弦值是 ．
13．如图，在 ABC中，，是斜边上的高，若，则 ．
14．如图，在中，，点在上，已知，．则 ．
15．如图，在中，，，是 ABC的中线，E是的中点，连接，，若，垂足为E，则的长为 ．
16．如图，已知是平行四边形的边上一点，将沿直线折叠，点落在平行四边形内的点处，且，如果，，，那么的长为 ．
三、解答题
17．计算：．
18．计算：．
19．如图，在 ABC中，，点在边上，，．

(1)求的长；
(2)求的值．
20．如图，在中，是边的中点，，垂足为点E．已知．

(1)求线段的长；
(2)求的值．
21．如图，在 ABC中，，为边上的中线，点是 ABC的边上的一点，且，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的余弦值．
22．如图，已知平面直角坐标系，直线的经过点和点．
(1)求m、n的值；
(2)设点P在平面直角坐标系内，过点P作，垂足为A，且，求点P的坐标．
(3)设点Q在直线上，且在第一象限内，直线与y轴的交点为点D，如果，求点Q的坐标．
23．如图，已知正方形，点H是边上的一个动点（不与点B、C重合），点E在上，满足，延长交于点F．
(1)求：；
(2)点M、N分别是边、的中点，已知点P在线段上，连结、，此时，求：；
(3)连结．如果是以为腰的等腰三角形，求的正切值．
参考答案
一、单选题
1．C
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据锐角三角函数的定义，即可得到答案．
【解析】解：在锐角中，每个边都缩小为原来的，那么每个角的大小都不变，
∴的正弦值不变，
故选：C ．
2．D
【分析】根据三角函数的定义解答即可．
【解析】解：在中，于点D，
∴∠B=∠ACD
sin∠ACD=
，
故选D．
3．A
【分析】首先根据求出，然后根据求解即可．
【解析】∵，为锐角，
∴，
∴．
故选：A．
4．C
【分析】过点B作于点C，构造直角求出的长即可．
【解析】解：过点B作于点C，
∵传送带和地面所成斜坡的坡度为，
∴ ，
∴米，
在中，，由勾股定理得米 ，
故选：C．
5．D
【分析】根据表格可知，连接AD，则，利用正弦的定义即可求解．
【解析】解：根据表格可知，
连接AD，则，
∴，
故选：D．
6．A
【分析】根据垂直平分线的性质得出BD=AD，再利用，即可求出CD的长，再利用勾股定理求出BC的长．
【解析】解：∵∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，
∴BD=AD，
∴CD+BD=8cm，
∵，
∴，
解得：CD=3cm，BD=5cm，
∴BC=4cm．
故选：A．
7．C
【分析】根据矩形的性质可得BC＝AD＝b，∠ABC＝90°，再根据三角函数可得答案.
【解析】过点A作AE⊥OB于点E，
因为四边形ABCD是矩形，且AB＝a，AD＝b
所以BC＝AD＝b，∠ABC＝90°
所以∠BAE＝∠CBO＝x
因为，
所以，
所以点A到OC的距离
故选C.
8．C
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，解题的关键是掌握以上知识点．设等腰直角的直角边为，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根据正切的定义即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性质是解题的关键．
【解析】解：如图，设等腰直角的直角边为，则，小正方形的边长为，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，过点作的延长线于点，则，，
由图（）可得，，，
∴，，
∴，
∴．
故选：C．
二、填空题
9．
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数，
根据，再计算即可.
【解析】解：原式.
故答案为：.
10．
【解析】∠A=60°，故tanA=
11．
【分析】由，可设BC=x，AC=2x，根据勾股定理即可求出x的值.
【解析】∵，
∴可设BC=x，AC=2x，
由勾股定理得
x2+4x2=25,
∴x=,即BC的长是.
故答案为.
12．
【分析】本题考查等腰三角形的性质，求正弦，画出图形根据等腰三角形三线合一的性质和正弦的定义求解即可．
【解析】解：∵，，
∴腰长为，
如图， ABC为等腰三角形，，，为底边上的高，
∴，
其底角的余弦值，
故答案为：．
13．
【分析】此题考查的是锐角三角函数的定义及互余角的三角函数值，正确得出各边之间的关系是解决问题的关键．
【解析】解：如图：∵垂足为，，
令，，则，
∵，
∴，
∴
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值的计算，掌握锐角三角函数值的计算是关键．
根据题意可得，，运用特殊角的三角函数值的计算得到，，则，，由，即可求解．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
15．
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，证明是等边三角形，解直角三角形得出结果即可．
【解析】解：∵，
∴，
∵点D是的中点，，
∴，，
∵，E是的中点，
∴，
∴，
∴ ADE是等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，三角函数等，如图，过点作于，过点作于，交于，可证四边形是矩形，可得，，利用勾股定理求出的长，再由勾股定理即可求出的长，添加恰当的辅助线是解题的关键．
【解析】解：如图，过点作于，过点作于，交于，
∵四边形是平行四边形 ，
∴，，，，
∵，，，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵将沿直线折叠，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
故答案为：．
三、解答题
17．解：
18．解：
19．（1）解：，
，
又，
．
又，
，
．
，，
．
（2）过点作的垂线，垂足为，

，
，
．
在中，，
．
20．（1）解：∵，
∴，
∴，
∵ ABC为直角三角形，D是边的中点，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∵ ABC为直角三角形，D是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．（1）证明：∵在 ABC中，，为边上的中线，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解；在 ABC中，，为边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．（1）解：把点A、B的坐标分别代入中，得：，
解得：，
即，；
（2）解：过点P作轴于点C，过点B作轴于点D，连接，如图，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由A、B的坐标知，，，，
∴，即，
∴，
当点C在点A的左侧时，，点P在x轴上方，则点P的坐标为；
当点C在点A的右侧时，，点P在x轴下方，则点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或；
（3）解：由（1）知，直线解析式为：，
上式中，令，得，
则，；
因点Q在直线上，故设点，
∵，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，，，
∴，
解得：或（舍去），
∴点Q的坐标为．
23．（1）解：∵四边形为正方形，，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：由题可得，连接交于点，作，，如图：
设正方形的边长为2，
∵点M、N分别是边、的中点，
∴为等腰直角三角形，
∴，,
∵，
∴,
∵，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴．
（3）解：由题可得，①当是等腰三角形，且，如图：
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
作于点，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在上取一点，连接，使，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
②是等腰三角形，且，如图：
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点在正方形的对角线上，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述：的正切值为或．