15.3 第2课时 角的平分线的性质与判定 课件(共18张PPT) 沪科版（2024）数学八年级上册

(共18张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.3 第2课时 角的平分线的性质与判定
课堂小结
随堂演练
获取新知
知识回顾
例题精讲
知识回顾
作角平分线的方法:
(1)折纸法;(2)度量法;(3)尺规作图法.
1.过直线上一点作已知直线的垂线就是作以已知点为顶点的平角的__________.
2.过直线外一点作已知直线的垂线就是作已知直线上一条线段的______________.
平分线
垂直平分线
1.操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：
2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论：__________.
PD PE
第一次
第二次
第三次
C
O
B
A
PD=PE
P
D
E
实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点
猜想：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
获取新知
已知：如图所示，OE平分∠AOB，P是OE上的任一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D.
求证：PC=PD.
验证猜想
角的平分线上的点到角两边的距离相等
E
【证明】∵OP平分∠AOB，（已知）
∴∠AOP=∠BOP.（角平分线定义）
又∵PC⊥OA,PD⊥OB,(已知)
∴∠PCO=∠PDO=90°.（垂直的定义）
在△PCO和△PDO中,
∴△PCO≌△PDO.(AAS)
∴PC=PD.
E
角平分线性质定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等.
几何语言：
∵OP 是∠AOB的平分线，
∴PC = PD
（角平分线上的点到角两边的距离相等）.
推理的条件有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
PC⊥OA,PD⊥OB，
知识要点
P
A
O
B
C
D
E
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
思考：交换角的平分线的性质定理中的条件和结论，你能得到什么命题？
角平分线上的点到角两边的距离相等.
思考：这个结论正确吗？
逆
命
题
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：
作射线OP，
∴点P在∠AOB 的平分线上.
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
（全等三角形的对应角相等）.
OP=OP（公共边），
PD= PE（已知 ），
B
A
D
O
P
E
∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP
证明猜想
角平分线判定定理：
角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
定理应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE，
∴点P 在∠AOB的平分线上.
知识要点
几何语言：
图形
已知 条件
结论
角平分线的性质
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
P
C
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
P
C
角平分线的判定
归纳总结
例题精讲
例1 如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BE=FC.求证:BD=DF.
∵ AD平分∠BAC,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴ DC=DE.
在△DCF和△DEB中,
∵
证明: ∵ ∠C=90°,
∴ DC⊥AC.
∴ △DCF≌△DEB.(SAS)
∴ BD=DF.
应用角平分线的性质解题时的“两点注意”:
(1)应用角平分线性质定理的三个条件:一平分,两垂直,缺一不可;
(2)利用角平分线的性质定理可以直接得到线段相等,无须证明两个直角三角形全等,这是证线段相等的方法之一.
例2 如图所示,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC.
求证:AE平分∠DAB.
[解析] 要证AE平分∠DAB,只需证明点E在∠DAB的平分线上即可.过点E作EF⊥AD于点F,由条件可得EF=EB,则点E在∠DAB的平分线上,即AE平分∠DAB.
F
证明:过点E作EF⊥AD于点F.
∵AB∥CD,∠B=90°, ∴ EC⊥DC.
∵ DE平分∠ADC,EC⊥DC,EF⊥AD,
∴ EC=EF.(角平分线上的点到角两边的距离相等)
∵ E是BC的中点, ∴ BE=EC.
∴ BE=EF.
又∵ EF⊥AD,BE⊥AB,
∴AE平分∠DAB.
F
随堂演练
1．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长度是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
D
2．如图所示，M，N分别是OA，OB边上的点，点P在射线OC上，则下列条件不能说明OC平分∠AOB的是(　　)
A．PM⊥OA，PN⊥OB，PM＝PN
B．PM⊥OA，PN⊥OB，OM＝ON
C．PM＝PN，OM＝ON
D．PM＝PN
D
3．已知：如图，BD平分∠ABC，∠A＝∠C，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M，N为垂足．
求证：PM＝PN.
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD.
又∵∠A＝∠C，
∴∠ADB＝∠CDB.
∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN.
课堂小结
角的平分线
性质定理
逆定理
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
角平分线上的点到角两边的距离相等.