15.4 第3课时 等腰三角形的判定 课件(共21张PPT) 沪科版（2024）数学八年级上册

(共21张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.4 第3课时 等腰三角形的判定
课堂小结
例题讲解
获取新知
随堂演练
知识回顾
情景导入
图形 等腰三角形
　 性 质
每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合
三个角都相等，且都是60
3条对称轴
等边三角形
1条对称轴
两个底角相等
底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合
两条边相等
三条边都相等
知识回顾
A
B
C
如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
情景导入
已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系
C
A
B
AB=AC
你能验证你的结论吗？
获取新知
活动1 如图，在△ABC 中，∠B=∠C.
B
C
D
A
(B)
(1)请你作出∠BAC的平分线AD.
(2)将△ABC沿AD所在直线折叠，△ABC
被直线AD分成的两部分能够重合吗？
(3)由上面的操作，你是否发现了边 AB
和边AC之间的数量关系
AB=AC
证明：过点A作AD⊥BC,D点为垂足，
∴∠ADB=∠ADC=90°.（垂直定义）
在△ADB和△ADC中，
∴△ADB≌△ADC.(AAS)
∴AB=AC.(全等三角形的对应边相等)
活动2 运用所学知识，证明你的猜想.
已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C.求证：AB=AC.
还可以怎么做？
A
B
C
已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C.
求证：AB=AC.
证明：作∠A的平分线，交BC于点D.
在△ABD和△ACD中，
∠B=∠C，
∠1=∠2，
AD=AD，
∴ △ABD ≌ △ACD，∴AB=AC.
D
1
2
∴ AB=AC. ( )
即△ABC为等腰三角形.
∵∠B=∠C， ( )
等腰三角形的判定定理
有两个角相等的三角形是等腰三角形.（简称“等角对等边”）
已知
等角对等边
在△ABC中，
几何语言
B
C
A
(
(
归纳
由上述定理可以直接得到：
推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形.
推论2 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，延长BC到点D，使CD=BC.连接AD, 则△ACD≌△ACB.
A
B
C
D
∴ AD=AB，∠BAC=∠DAC=30°，∠BAD=60°.
由推论2，得△ABD是等边三角形，
∴ BD=AB
∴ BC= BD= AB.
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
探 究
例1 如图，一艘船上午8：00从A处出发，以10n mile/h的速度向正北航行，从A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上.这艘船上午10：00到达B处，并测得礁石C在北偏西60°的方向上.
A
B
C
60°
30°
（1）画出礁石C的位置；
解：（1）以B为顶点，向北偏西60°作角，这角一边与AC交于点C，则点C为礁石所在地.
例题精讲
A
B
C
60°
30°
解：∵ ∠ACB=60°-30°=30°，（三角形的外角性质）
（2）求从B处到礁石C的距离；
又∵ ∠BAC=30°，
∴ ∠ACB=∠BAC,
∴ BC=BA.
∵ BA=10×（10-8）=20（n mile），
∴ BC=20 n mile .
即从B处到礁石C的距离是20 n mile.
A
B
C
60°
30°
如图，过点C作CF⊥AB，垂足为点F.
（3）这艘船继续向正北方向航行多少海里与礁石C的距离最小？；
∵∠CBF=60°，∠CFB=90°，
∴ ∠BCF=30°
∵ BF=
答这艘船继续向正北方向航行10n mile
与礁石的距离最小.
F
例2 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＋BC＝12 cm，则AB的长为多少？
解：设BC的长为x cm.
在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝ AB，
故AB＝2x cm.
又AB＋BC＝12 cm，则可列方程x＋2x＝12，
解得x＝4.则AB＝2x＝8.∴AB的长为8 cm.
例3 已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.
求证：AB=AD.
B
A
D
C
证明：∵ AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC.
∵ BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD.
总结：平分角+平行=等腰三角形
判定等腰三角形的两种方法:
(1)定义法:当三角形有两条边相等时,应用等腰三角形的定义来判定;
(2)等腰三角形的判定定理:当三角形中有两个角相等时,应用“等角对等边”来判定.
随堂演练
1．如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形有(　　)
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
D
2．有下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有(　　)
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④
D
3.如图，已知OC平分∠AOB,CD∥OB,若OD=8 cm，则CD等于( )
A.8 cm
B.4 cm
C.15 cm
D.20 cm
A
4．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，∠A＝30°，BD＝2，求AD的长．
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°.
∵CD是斜边AB上的高，
∴∠BDC＝90°.
∴∠BCD＝90°－∠B＝30°.
∴BC＝2BD＝4.
∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴AB＝2BC＝8.
∴AD＝AB－BD＝8－2＝6.
等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理
有两个角相等的三角形是等腰三角形
等边三角形的判定定理
三边法三边相等的三角形是等边三角形
三个角为60°的三角形是等边三角形
有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
课堂小结
有两条边相等的三角形是等腰三角形