1.1 集合的概念与表示
第一课时 集合的概念
1.若集合A只含有元素a，则下列各式正确的是（ ）
A.0∈A B.a A
C.a∈A D.a＝A
2.下列对象能构成集合的是（ ）
①所有很高的山峰；②方程x2＋3x－4＝0的实根；③所有小于10的自然数；④cos 60°，sin 45°，cos 45°.
A.①② B.②③
C.①④ D.③④
3.集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列正确的是（ ）
A.∈M B.0 M
C.1∈M D.－∈M
4.由实数－a，a，｜a｜，所组成的集合最多含有的元素个数是（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
5.设集合A含有两个元素x，y，B含有两个元素0，x2，若A＝B，则x＋y＝（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
6.（多选）下列说法正确的是（ ）
A.N＋中最小的数是1
B.若－a N＋，则a∈N＋
C.若a∈N＋，b∈N＋，则a＋b最小值是2
D.x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有2个元素
7.已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b A，ab A.（填“∈”或“ ”）
8.以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的根为元素的集合中共有 个元素.
9.已知集合A中元素满足2x＋a＞0，a∈R.若1 A，2∈A，则实数a的取值范围为 .
10.设A是方程x2－ax－5＝0的解组成的集合.
（1）0是否是集合A中的元素？
（2）若－5∈A，求实数a的值.
11.设集合A含有－2，1两个元素，B含有－1，2两个元素，定义集合A☉B，满足x1∈A，x2∈B，且x1x2∈A☉B，则A☉B中所有元素之积为（ ）
A.－8 B.－16
C.8 D.16
12.集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素（x，y）满足y＝x2＋1（A，B中x∈R，y∈R）.则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（ ）
A.2∈A，且2∈B
B.（1，2）∈A，且（1，2）∈B
C.2∈A，且（3，10）∈B
D.（3，10）∈A，且2∈B
13.（多选）已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（ ）
A.0 M B.2∈M
C.－4∈M D.4∈M
14.设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.
（1）求元素x应满足的条件；
（2）若－2∈A，求实数x的值.
15.设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2，5三个元素，Q中含有1，2，6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是 .
16.设集合A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A（a≠1）.求证：
（1）若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
（2）集合A不可能是单元素集.
第一课时 集合的概念
1.C 由题意知A中只有一个元素a，∴0 A，a∈A，元素a与集合A的关系不应该用“＝”，故选C.
2.B 对于①，“所有很高的山峰”没有一个明确的标准去判断哪座山峰是很高的，不符合集合中元素的确定性，“所有很高的山峰”不能构成集合；对于②，方程x2＋3x－4＝0在实数范围内的解是－4，1，是确定的，“方程x2＋3x－4＝0的实根”能构成集合；对于③，小于10的自然数是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，是确定的，“小于10的自然数” 能构成集合；对于④，因cos 60°＝，sin 45°＝，cos 45°＝，即sin 45°与cos 45°相同，不符合集合中元素的互异性，“cos 60°，sin 45°，cos 45°”不能构成集合.故选B.
3.D ＞1，故A错；－2＜0＜1，故B错；1不小于1，故C错；－2＜－＜1，故D正确.
4.B 当a＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，＝｜a｜＝所以一定与a或－a中的一个一致.故组成的集合中最多含有两个元素，故选B.
5.B 由题意得x≠0，即得故x＋y＝1.
6.AC N＋是正整数集，最小的正整数是1，故A正确；当a＝时，－a N＋，且a N＋，故B错误；若a∈N＋，则a的最小值是1，又b∈N＋，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故C正确；由集合元素的互异性知D是错误的.故选A、C.
7. ∈ 解析：∵a是偶数，b是奇数，∴a＋b是奇数，ab是偶数，故a＋b A，ab∈A.
8.3 解析：方程x2－5x＋6＝0的根是2，3，方程x2－x－2＝0的根是－1，2.根据集合中元素的互异性知，以两方程的根为元素的集合中共有3个元素.
9.－4＜a≤－2 解析：因为1 A，2∈A，所以即－4＜a≤－2.
10.解：（1）将x＝0代入方程，02－a×0－5＝－5≠0，所以0不是集合A中的元素.
（2）若－5∈A，则有（－5）2－（－5）a－5＝0，解得a＝－4.
11.C 集合A☉B中有2，－4，－1三个元素，故所有元素之积为8.
12.C 集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点（x，y），且满足y＝x2＋1，经验证，（3，10）∈B，故选C.
13.CD x，y，z同为正数时，代数式的值为4，所以4∈M；当x，y，z中只有一个负数或有两个负数时，代数式的值为0；当x，y，z同为负数时，代数式的值为－4，显然A、B错误，故选C、D.
14.解：（1）由集合元素的互异性可得x≠3，x2－2x≠x，且x2－2x≠3，解得x≠－1，x≠0，且x≠3.
（2）若－2∈A，则x＝－2或x2－2x＝－2.由于方程x2－2x＋2＝0无实数解，所以x＝－2.经检验，知x＝－2时集合中的元素满足互异性.故x＝－2.
15.8 解析：若a∈P，b∈Q，则a＋b的取值分别为1，2，3，4，6，7，8，11，则组成的集合P＋Q中有8个元素.
16.证明：（1）若a∈A，则∈A.
∵2∈A，∴＝－1∈A.
∵－1∈A，∴＝∈A.
∵∈A，∴＝2∈A.
∴A中必还有另外两个元素，且为－1，.
（2）若A为单元素集，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无解.
∴a≠，∴集合A不可能是单元素集.
2 / 21.1 集合的概念与表示
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系 数学抽象、逻辑推理
2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合 数学抽象
第一课时 集合的概念
9月1日上午，学校通知：全体高一学生下午6点钟开始在班级进行开学教育，之后偶数班去一楼大厅领取数学教辅书《三维设计》.
【问题】 （1）这个通知的对象有哪些？
（2）这些对象能构成一个集合吗？
知识点一 集合与元素
1.集合
2.元素
提醒 一个集合中的任何两个元素都不相同，也就是说集合中的元素没有重复.
3.同一个集合
只要构成两个集合的元素 ，无关顺序，我们就称这两个集合是同一个集合.
提醒 集合中的元素具有三个特性：①确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的，不确定的对象不能构成集合；②互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的；③无序性：构成集合的元素无先后顺序之分.
【想一想】
某班所有的高个子男生能否构成一个集合？
知识点二 元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果元素a 集合A中，就说元素a 集合A a属于集合A
不属于 如果元素a 集合A中，就说元素a不属于集合A a不属于集合A
提醒 符号“∈”“ ”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向.
知识点三 常见的数集及符号表示
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集
符号
【想一想】
N与N＋（N*）有何区别？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）我校今年入学的爱好数学的学生可以组成一个集合.（ ）
（2）元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是同一个集合.（ ）
（3）0是自然数.（ ）
（4）单词“Good”的构成字母组成的集合中有4个元素.（ ）
2.方程x2－1＝0所有实数解组成的集合中共有 个元素.
3.用“∈”或“ ”填空：
N； －3 Z； Q； R.
题型一 集合的基本概念
【例1】 （1）（多选）下列所给对象能构成集合的是（ ）
A.平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点
B.高中数学必修第一册课本上的所有难题
C.比较接近1的整数的全体
D.某校高一年级的16岁以下的学生
（2）集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若P＝Q，则a＝ .
尝试解答
通性通法
1.判断一组对象能构成集合的条件
（1）能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素；
（2）任何两个对象都是不同的；
（3）对元素出现的顺序没有要求.
2.判断两个集合是同一个集合的注意点
若两个集合是同一个集合，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等.
【跟踪训练】
1.（多选）下列各组对象能组成集合的是（ ）
A.大于6的所有整数
B.高中所有学习好的同学
C.被3除余2的所有整数
D.函数y＝图象上所有的点
2.设a，b是两个实数，集合A中含有0，b，三个元素，集合B中含有1，a，a＋b三个元素，且集合A与集合B是同一个集合，则a＋2b＝ .
题型二 元素与集合的关系
【例2】 （1）下列五个关系中，正确的个数为（ ）
①∈R；② Q；③｜－3｜ N；④－∈Z.
A.1 B.2 C.3 D.4
（2）若集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为 .
尝试解答
通性通法
判断元素与集合关系的2种方法
（1）直接法：如果集合中的元素直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可；
（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.
【跟踪训练】
1.（多选）由不超过5的实数组成集合A，a＝＋，则（ ）
A.a∈A B.a2∈A
C.∈A D.a＋1∈A
2.用∈， 填空：
已知集合A中的元素x是被3除余2的整数，则有：17 A，－5 A.
题型三 集合中元素特性的应用
【例3】 已知集合A含有三个元素a－2，2a2＋5a，12，且－3∈A，求a的值.
尝试解答
【母题探究】
1.（变设问）本例集合A中含有三个元素，实数a的取值是否有限制？
2.（变设问）本例集合A中能否只有一个元素？
通性通法
根据集合中元素的特性求参数取值的3个步骤
【跟踪训练】
1.已知集合S中的三个元素a，b，c是△ABC的三条边长，那么△ABC一定不是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
2.已知集合A中含有三个元素1，a，a－2，且3∈A，则实数a的值为（ ）
A.3 B.5
C.3或5 D.无解
1.下列说法正确的是（ ）
A.某班中年龄较小的同学能够组成一个集合
B.由1，2，3和 ，1，组成的集合不是同一个集合
C.不超过20的非负数组成一个集合
D.方程（x－1）（x＋1）2＝0的所有实数解组成的集合中有3个元素
2.若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是（ ）
A.矩形 B.平行四边形
C.菱形 D.梯形
3.（多选）下列说法正确的有（ ）
A.N与N＋是同一个集合
B.N中的元素都是Z中的元素
C.Q中的元素都是Z中的元素
D.Q中的元素都是R中的元素
4.已知集合P中元素x满足：x∈N，且2＜x＜a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝ .
5.已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，则实数a的值为 .
第一课时 集合的概念
【基础知识·重落实】
知识点一
1.某些对象 2.每个对象 3.相同
想一想
提示：某班所有的高个子男生不能构成集合，因为高个子男生没有明确的标准.
知识点二
在 属于 a∈A 不在 a A
知识点三
N N＋或N* Z Q R R＋
想一想
提示：N＋（N*）是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N＋（N*）多一个元素0.
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）√ （4）×
2.2 解析：由x2－1＝0，得x＝±1，故集合中共有2个元素1和－1.
3. ∈ ∈
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）AD （2）±2 解析：（1）A中的对象能构成集合，因为有确定标准，元素是“到原点的距离等于1的点”；B、C中的对象不能构成集合，因为“难题”“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；D中的对象能构成集合，因为有确定标准，元素是“某校高一年级的16岁以下的学生”，故选A、D.
（2）由题意得a2＝4，即a＝±2.
跟踪训练
1.ACD 选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性；而选项B中，“学习好”没有明确标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合.
2.1 解析：由题意知a＋b＝0，所以＝－1，所以b＝1，a＝－1，所以a＋2b＝1.
【例2】 （1）C （2）2，1，0 解析：（1）由于∈R，－∈Z，是无理数，故①②④正确，因为｜－3｜＝3是自然数，所以③错误.故选C.
（2）由题意可得x为自然数，所以可以为6，3，2，因此x的值为2，1，0.因此A中元素为2，1，0.
跟踪训练
1.ACD a＝＋＜＋＝4＜5，所以a∈A.a＋1＜＋＋1＝5，所以a＋1∈A，a2＝（）2＋2×＋（）2＝5＋2＞5，所以a2 A，＝＝＝－＜5，所以∈A.
2.∈ 解析：由题意可设x＝3k＋2，k∈Z，令3k＋2＝17，得k＝5∈Z.所以17∈A.令3k＋2＝－5，得k＝－ Z.所以－5 A.
【例3】 解：因为－3∈A，所以a－2＝－3或2a2＋5a＝－3，解得a＝－1或a＝－.
当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，不满足集合元素的互异性，所以舍去.
当a＝－时，经检验，符合题意.故a＝－.
母题探究
1.解：有限制.
由元素的互异性可得
解得
所以实数a不能取四个值：14，，－4，－1.
2.解：若该集合中只有一个元素，则有a－2＝2a2＋5a＝12.
由a－2＝12，解得a＝14，此时2a2＋5a＝2×142＋5×14＝462≠12.所以该集合中不可能只含有一个元素.
跟踪训练
1.D 因为集合中的元素必须是互异的，所以三角形的三条边长两两不相等，故选D.
2.B 因为3∈A，所以a－2＝3或a＝3.当a－2＝3，即a＝5时，满足题意；当a＝3时，a－2＝1，不满足集合中元素的互异性，故舍去.综上可得a的值为5，故选B.
随堂检测
1.C A项中元素不确定.B项中两个集合元素相同，因为集合中的元素具有无序性，所以两个集合是同一个集合.D项中方程的实数解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素.
2.D 由集合中的元素具有互异性可知a，b，c，d互不相等，而梯形的四条边可以互不相等，故选D.
3.BD 因为N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以A、C中的说法不正确，B、D中的说法正确，故选B、D.
4.6 解析：∵x∈N，2＜x＜a，且集合P中恰有三个元素，易知a＝6.
5.0或－1 解析：若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意.综上所述，实数a的值为0或－1.
4 / 4(共58张PPT)
第一课时 集合的概念
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的
属于关系 数学抽象、逻辑
推理
2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础
上，用符号语言刻画集合 数学抽象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
9月1日上午，学校通知：全体高一学生下午6点钟开始在班级进
行开学教育，之后偶数班去一楼大厅领取数学教辅书《三维设计》.
（2）这些对象能构成一个集合吗？
【问题】 （1）这个通知的对象有哪些？
知识点一 集合与元素
1. 集合
2. 元素
提醒 一个集合中的任何两个元素都不相同，也就是说集合中的元
素没有重复.
3. 同一个集合
只要构成两个集合的元素 ，无关顺序，我们就称这两个集
合是同一个集合.
提醒 集合中的元素具有三个特性：①确定性：作为一个集合中的
元素，必须是确定的，不确定的对象不能构成集合；②互异性：对
于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的；③无序性：构成
集合的元素无先后顺序之分.
【想一想】
某班所有的高个子男生能否构成一个集合？
相同
提示：某班所有的高个子男生不能构成集合，因为高个子男生没有
明确的标准.
知识点二 元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法
属
于 如果元素 a 集合 A 中，就说元素 a 集合 A a 属于集合 A
不
属
于 如果元素 a 集合 A 中，就说元素 a 不属于集合 A a 不属于集合 A
在
属于
a ∈ A
不在
a A
提醒 符号“∈”“ ”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合
之间的从属关系，注意开口方向.
知识点三 常见的数集及符号表示
数集 自然数
集 正整数
集 整数集 有理数
集 实数集 正实数
集
符号
【想一想】
N与N＋（N*）有何区别？
提示：N＋（N*）是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整
数组成的集合，所以N比N＋（N*）多一个元素0.
N
N＋或N*
Z
Q
R
R＋
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）我校今年入学的爱好数学的学生可以组成一个集合.
（ × ）
（2）元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是同一个集合.
（ √ ）
（3）0是自然数. （ √ ）
（4）单词“Good”的构成字母组成的集合中有4个元素.
（ × ）
×
√
√
×
2. 方程 x2－1＝0所有实数解组成的集合中共有 个元素.
解析：由 x2－1＝0，得 x ＝±1，故集合中共有2个元素1和－1.
3. 用“∈”或“ ”填空：
N； －3 Z； Q； R.
2
∈
∈
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 集合的基本概念
【例1】 （1）（多选）下列所给对象能构成集合的是（ AD ）
AD
A. 平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点
B. 高中数学必修第一册课本上的所有难题
C. 比较接近1的整数的全体
D. 某校高一年级的16岁以下的学生
解析：A中的对象能构成集合，因为有确定标准，元素是“到原点的
距离等于1的点”；B、C中的对象不能构成集合，因为“难题”“比
较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；D中的
对象能构成集合，因为有确定标准，元素是“某校高一年级的16岁以
下的学生”，故选A、D.
（2）集合 P 中含有两个元素1和4，集合 Q 中含有两个元素1和 a2，若
P ＝ Q ，则 a ＝ .
解析：由题意得 a2＝4，即 a ＝±2.
±2
通性通法
1. 判断一组对象能构成集合的条件
（1）能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定
它是不是给定集合的元素；
（2）任何两个对象都是不同的；
（3）对元素出现的顺序没有要求.
2. 判断两个集合是同一个集合的注意点
若两个集合是同一个集合，则这两个集合的元素相同，但是要注意
其中的元素不一定按顺序对应相等.
【跟踪训练】
1. （多选）下列各组对象能组成集合的是（ ）
A. 大于6的所有整数
B. 高中所有学习好的同学
C. 被3除余2的所有整数
解析： 选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性；而选项B中，“学习好”没有明确标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合.
2. 设 a ， b 是两个实数，集合 A 中含有0， b ， 三个元素，集合 B 中
含有1， a ， a ＋ b 三个元素，且集合 A 与集合 B 是同一个集合，则
a ＋2 b ＝ .
解析：由题意知 a ＋ b ＝0，所以 ＝－1，所以 b ＝1， a ＝－1，所
以 a ＋2 b ＝1.
1
题型二 元素与集合的关系
【例2】 （1）下列五个关系中，正确的个数为（ C ）
① ∈R；② Q；③｜－3｜ N；④－ ∈Z.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析：由于 ∈R，－ ∈Z， 是无理数，故①②④正确，因为｜
－3｜＝3是自然数，所以③错误.故选C.
C
（2）若集合 A 中的元素 x 满足 ∈N， x ∈N，则集合 A 中的元素
为 .
解析：由题意可得 x 为自然数，所以 可以为6，3，2，因此 x
的值为2，1，0.因此 A 中元素为2，1，0.
2，1，0
通性通法
判断元素与集合关系的2种方法
（1）直接法：如果集合中的元素直接给出，只要判断该元素在已知
集合中是否出现即可；
（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否
满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合
中的元素具有什么特征.
【跟踪训练】
1. （多选）由不超过5的实数组成集合 A ， a ＝ ＋ ，则（ ）
A. a ∈ A B. a2∈ A
D. a ＋1∈ A
解析： a ＝ ＋ ＜ ＋ ＝4＜5，所以 a ∈ A . a ＋1
＜ ＋ ＋1＝5，所以 a ＋1∈ A ， a2＝（ ）2＋2 × ＋
（ ）2＝5＋2 ＞5，所以 a2 A ， ＝ ＝
＝ － ＜5，所以 ∈ A .
2. 用∈， 填空：
已知集合 A 中的元素 x 是被3除余2的整数，则有：17 A ，－5 A .
解析：由题意可设 x ＝3 k ＋2， k ∈Z，令3 k ＋2＝17，得 k ＝5∈Z.
所以17∈ A . 令3 k ＋2＝－5，得 k ＝－ Z. 所以－5 A .
∈
题型三 集合中元素特性的应用
【例3】 已知集合 A 含有三个元素 a －2，2 a2＋5 a ，12，且－3∈
A ，求 a 的值.
解：因为－3∈ A ，所以 a －2＝－3或2 a2＋5 a ＝－3，解得 a ＝－1或 a
＝－ .
当 a ＝－1时， a －2＝－3，2 a2＋5 a ＝－3，不满足集合元素的互异
性，所以舍去.
当 a ＝－ 时，经检验，符合题意.故 a ＝－ .
【母题探究】
1. （变设问）本例集合 A 中含有三个元素，实数 a 的取值是否有
限制？
解：有限制.
由元素的互异性可得
解得
所以实数 a 不能取四个值：14， ，－4，－1.
2. （变设问）本例集合 A 中能否只有一个元素？
解：若该集合中只有一个元素，则有 a －2＝2 a2＋5 a ＝12.
由 a －2＝12，解得 a ＝14，此时2 a2＋5 a ＝2×142＋5×14＝
462≠12.所以该集合中不可能只含有一个元素.
通性通法
根据集合中元素的特性求参数取值的3个步骤
【跟踪训练】
1. 已知集合 S 中的三个元素 a ， b ， c 是△ ABC 的三条边长，那么△
ABC 一定不是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
解析： 因为集合中的元素必须是互异的，所以三角形的三条边
长两两不相等，故选D.
2. 已知集合 A 中含有三个元素1， a ， a －2，且3∈ A ，则实数 a 的值
为（ ）
A. 3 B. 5
C. 3或5 D. 无解
解析： 因为3∈ A ，所以 a －2＝3或 a ＝3.当 a －2＝3，即 a ＝5
时，满足题意；当 a ＝3时， a －2＝1，不满足集合中元素的互异
性，故舍去.综上可得 a 的值为5，故选B.
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 某班中年龄较小的同学能够组成一个集合
C. 不超过20的非负数组成一个集合
D. 方程（ x －1）（ x ＋1）2＝0的所有实数解组成的集合中有3个元素
解析： A项中元素不确定.B项中两个集合元素相同，因为集合
中的元素具有无序性，所以两个集合是同一个集合.D项中方程的
实数解分别是 x1＝1， x2＝ x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个
元素.
2. 若 a ， b ， c ， d 为集合 A 的四个元素，则以 a ， b ， c ， d 为边长构
成的四边形可能是（ ）
A. 矩形 B. 平行四边形
C. 菱形 D. 梯形
解析： 由集合中的元素具有互异性可知 a ， b ， c ， d 互不相
等，而梯形的四条边可以互不相等，故选D.
3. （多选）下列说法正确的有（ ）
A. N与N＋是同一个集合
B. N中的元素都是Z中的元素
C. Q中的元素都是Z中的元素
D. Q中的元素都是R中的元素
解析： 因为N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数
集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以A、C中的说法不正确，
B、D中的说法正确，故选B、D.
4. 已知集合 P 中元素 x 满足： x ∈N，且2＜ x ＜ a ，又集合 P 中恰有三
个元素，则整数 a ＝ .
解析：∵ x ∈N，2＜ x ＜ a ，且集合 P 中恰有三个元素，易知 a ＝6.
5. 已知集合 A 中含有两个元素 a －3和2 a －1，若－3∈ A ，则实数 a 的
值为 .
解析：若－3＝ a －3，则 a ＝0，此时集合 A 中含有两个元素－3，
－1，符合题意；若－3＝2 a －1，则 a ＝－1，此时集合 A 中含有两
个元素－4，－3，符合题意.综上所述，实数 a 的值为0或－1.
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0或－1
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若集合 A 只含有元素 a ，则下列各式正确的是（ ）
A. 0∈ A B. a A
C. a ∈ A D. a ＝ A
解析： 由题意知 A 中只有一个元素 a ，∴0 A ， a ∈ A ，元素 a
与集合 A 的关系不应该用“＝”，故选C.
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2. 下列对象能构成集合的是（ ）
①所有很高的山峰；②方程 x2＋3 x －4＝0的实根；③所有小于10
的自然数；④ cos 60°， sin 45°， cos 45°.
A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④
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解析： 对于①，“所有很高的山峰”没有一个明确的标准去判
断哪座山峰是很高的，不符合集合中元素的确定性，“所有很高的
山峰”不能构成集合；对于②，方程 x2＋3 x －4＝0在实数范围内
的解是－4，1，是确定的，“方程 x2＋3 x －4＝0的实根”能构成
集合；对于③，小于10的自然数是0，1，2，3，4，5，6，7，8，
9，是确定的，“小于10的自然数” 能构成集合；对于④，因 cos
60°＝ ， sin 45°＝ ， cos 45°＝ ，即 sin 45°与 cos 45°相
同，不符合集合中元素的互异性，“ cos 60°， sin 45°， cos
45°”不能构成集合.故选B.
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3. 集合 M 是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列正确的是（ ）
B. 0 M
C. 1∈ M
解析： ＞1，故A错；－2＜0＜1，故B错；1不小于1，故C
错；－2＜－ ＜1，故D正确.
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4. 由实数－ a ， a ，｜ a ｜， 所组成的集合最多含有的元素个数
是（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 当 a ＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元
素0.当 a ≠0时， ＝｜ a ｜＝所以一定与 a 或－ a
中的一个一致.故组成的集合中最多含有两个元素，故选B.
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5. 设集合 A 含有两个元素 x ， y ， B 含有两个元素0， x2，若 A ＝ B ，
则 x ＋ y ＝（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析： 由题意得 x ≠0，即得故 x ＋ y ＝1.
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6. （多选）下列说法正确的是（ ）
A. N＋中最小的数是1
B. 若－ a N＋，则 a ∈N＋
C. 若 a ∈N＋， b ∈N＋，则 a ＋ b 最小值是2
D. x2＋4＝4 x 的实数解组成的集合中含有2个元素
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解析： N＋是正整数集，最小的正整数是1，故A正确；当 a ＝
时，－ a N＋，且 a N＋，故B错误；若 a ∈N＋，则 a 的最小值
是1，又 b ∈N＋， b 的最小值也是1，当 a 和 b 都取最小值时， a ＋ b
取最小值2，故C正确；由集合元素的互异性知D是错误的.故选
A、C.
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7. 已知集合 A 是由偶数组成的，集合 B 是由奇数组成的，若 a ∈ A ， b
∈ B ，则 a ＋ b A ， ab A . （填“∈”或“ ”）
解析：∵ a 是偶数， b 是奇数，∴ a ＋ b 是奇数， ab 是偶数，故 a ＋
b A ， ab ∈ A .
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8. 以方程 x2－5 x ＋6＝0和方程 x2－ x －2＝0的根为元素的集合中共
有 个元素.
解析：方程 x2－5 x ＋6＝0的根是2，3，方程 x2－ x －2＝0的根是－
1，2.根据集合中元素的互异性知，以两方程的根为元素的集合中
共有3个元素.
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9. 已知集合 A 中元素满足2 x ＋ a ＞0， a ∈R. 若1 A ，2∈ A ，则实数
a 的取值范围为 .
解析：因为1 A ，2∈ A ，所以即－4＜ a ≤－2.
－4＜ a ≤－2
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10. 设 A 是方程 x2－ ax －5＝0的解组成的集合.
（1）0是否是集合 A 中的元素？
解：将 x ＝0代入方程，02－ a ×0－5＝－5≠0，所以0
不是集合 A 中的元素.
（2）若－5∈ A ，求实数 a 的值.
解：若－5∈ A ，则有（－5）2－（－5） a －5＝0，解
得 a ＝－4.
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11. 设集合 A 含有－2，1两个元素， B 含有－1，2两个元素，定义集
合 A ☉ B ，满足 x1∈ A ， x2∈ B ，且 x1 x2∈ A ☉ B ，则 A ☉ B 中所有
元素之积为（ ）
A. －8 B. －16 C. 8 D. 16
解析： 集合 A ☉ B 中有2，－4，－1三个元素，故所有元素之
积为8.
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12. 集合 A 的元素 y 满足 y ＝ x2＋1，集合 B 的元素（ x ， y ）满足 y ＝ x2
＋1（ A ， B 中 x ∈R， y ∈R）.则下列选项中元素与集合的关系
都正确的是（ ）
A. 2∈ A ，且2∈ B
B. （1，2）∈ A ，且（1，2）∈ B
C. 2∈ A ，且（3，10）∈ B
D. （3，10）∈ A ，且2∈ B
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解析： 集合 A 中的元素为 y ，是数集，又 y ＝ x2＋1≥1，故2∈
A ，集合 B 中的元素为点（ x ， y ），且满足 y ＝ x2＋1，经验证，
（3，10）∈ B ，故选C.
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13. （多选）已知 x ， y ， z 为非零实数，代数式 ＋ ＋
＋ 的值所组成的集合是 M ，则下列判断正确的是
（ ）
A. 0 M B. 2∈ M
C. －4∈ M D. 4∈ M
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解析： x ， y ， z 同为正数时，代数式的值为4，所以4∈ M ；
当 x ， y ， z 中只有一个负数或有两个负数时，代数式的值为0；当
x ， y ， z 同为负数时，代数式的值为－4，显然A、B错误，故选
C、D.
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14. 设 x ∈R，集合 A 中含有三个元素3， x ， x2－2 x .
（1）求元素 x 应满足的条件；
解：由集合元素的互异性可得 x ≠3， x2－2 x ≠ x ，且
x2－2 x ≠3，解得 x ≠－1， x ≠0，且 x ≠3.
（2）若－2∈ A ，求实数 x 的值.
解：若－2∈ A ，则 x ＝－2或 x2－2 x ＝－2.由于方程
x2－2 x ＋2＝0无实数解，所以 x ＝－2.经检验，知 x ＝－2时
集合中的元素满足互异性.故 x ＝－2.
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15. 设 P ， Q 为两个非空实数集合， P 中含有0，2，5三个元素， Q 中
含有1，2，6三个元素，定义集合 P ＋ Q 中的元素是 a ＋ b ，其中 a
∈ P ， b ∈ Q ，则 P ＋ Q 中元素的个数是 .
解析：若 a ∈ P ， b ∈ Q ，则 a ＋ b 的取值分别为1，2，3，4，6，
7，8，11，则组成的集合 P ＋ Q 中有8个元素.
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16. 设集合 A 为实数集，且满足条件：若 a ∈ A ，则 ∈ A （ a
≠1）.求证：
（1）若2∈ A ，则 A 中必还有另外两个元素；
证明：若 a ∈ A ，则 ∈ A .
∵2∈ A ，∴ ＝－1∈ A .
∵－1∈ A ，∴ ＝ ∈ A .
∵ ∈ A ，∴ ＝2∈ A .
∴ A 中必还有另外两个元素，且为－1， .
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（2）集合 A 不可能是单元素集.
证明： 若 A 为单元素集，则 a ＝ ，
即 a2－ a ＋1＝0，方程无解.
∴ a ≠ ，∴集合 A 不可能是单元素集.
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谢 谢 观 看！
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