(共63张PPT)
第二课时 集合的表示
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
语言是人与人之间相互联系的一种方式，同样的祝福又有着不同
的表示方法.例如，简体中文中的“生日快乐”，繁体中文为“生日
快樂”，英文为“Happy Birthday”……
【问题】 对于一个集合，有哪些不同的表示
方法呢？
知识点一 列举法
列举法是把集合中的元素 出来写在花括号“{}”内表示
集合的方法，一般可将集合表示为{ a ， b ， c ，…}.
提醒 用列举法表示集合时的注意点：①元素与元素之间必须用
“，”隔开；②集合中的元素必须是明确的；③集合中的元素不
能重复.
一一列举
知识点二 描述法
通过描述元素 表示集合的方法叫作描述法.一般可
将集合表示为{ x 及 x 的范围｜ }，即在花括号内先写
出集合中元素的一般符号及范围，再画一条竖线“｜”，在竖线后写
出集合中元素所具有的 .
满足的条件
x 满足的条件
共同特征
提醒 用描述法表示集合的注意点：①写清该集合中元素的代表符
号，如{ x ｜ x ＞1}不能写成{ x ＞1}；②用简明、准确的语言进行描
述，如方程、不等式、几何图形等；③不能出现未被说明的字母，如
{ x ∈Z｜ x ＝2 m }中 m 未被说明，故此集合中的元素是不确定的；④
所有描述的内容都要写在花括号内，如“{ x ∈Z｜ x ＝2 m }， m ∈N
＋”不符合要求，应为{ x ∈Z｜ x ＝2 m ， m ∈N＋}；⑤多层描述时，
应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如{ x ｜ x ＜
－1，或 x ＞1}.
知识点三 集合的分类
集合
【想一想】
{0}与 相同吗？
提示：不相同.{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而
表示空集，其不含有任何元素，故{0}与 不相同.
知识点四 区间及相关概念
1. 区间的概念及记法
设 a ， b 是两个实数，且 a ＜ b ，我们规定：
集合表示 名称 符号表示 数轴表示
{ x ｜ a ≤ x ≤
b } 闭区间
{ x ｜ a ＜ x ＜
b } 开区间
[ a ， b ]
（ a ， b ）
集合表示 名称 符号表示 数轴表示
{ x ｜ a ≤ x ＜
b } 半开半闭区
间
{ x ｜ a ＜ x ≤
b } 半开半闭区
间
[ a ， b ）
（ a ， b ]
2. 无穷大
符号“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋
∞”读作“正无穷大”，实数集R可以表示为 .
（－∞，＋∞）
3. 特殊区间的表示
集合表示 符号表示 数轴表示
{ x ｜ x ≥ a }
{ x ｜ x ＞ a }
{ x ｜ x ≤ b }
{ x ｜ x ＜ b }
[ a ，＋∞）
（ a ，＋∞）
（－∞， b ]
（－∞，b ）
提醒 区间表示实数集的三个原则：①连续的数集；②左端点必须
小于右端点；③开或闭不能混淆.
1. 方程 x2－4 x ＋3＝0的所有实数根组成的集合为（ ）
A. {1，3} B. {1}
C. { x2－4 x ＋3＝0} D. { x ＝1， x ＝3}
解析： 由 x2－4 x ＋3＝0，得 x ＝1或 x ＝3，∴用列举法表示实
根的集合为{1，3}.
2. 不等式4 x －5＜3的解集用集合表示为 .
解析：由4 x －5＜3得 x ＜2.所以不等式4 x －5＜3的解集用集合表
示为{ x ｜ x ＜2}.
3. 用区间表示下列数集：
（1）{ x ｜ x ≥1}＝ ；
（2）{ x ｜2＜ x ≤3}＝ ；
（3）{ x ｜ x ＞－1且 x ≠2}＝ .
{ x ｜ x ＜2}
[1，＋∞）
（2，3]
（－1，2）∪（2，＋∞）
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 用列举法表示集合
【例1】 用列举法表示下列集合：
（1）方程 x2－1＝0的解组成的集合；
解：方程 x2－1＝0的解为 x ＝－1或 x ＝1，所求集合用列举法表
示为{－1，1}.
（2）单词“see”中的字母组成的集合；
解：单词“see”中有两个互不相同的字母，分别为
“s”“e”，所求集合用列举法表示为{s，e}.
（3）所有正整数组成的集合；
解：正整数有1，2，3，…，所求集合用列举法表示为{1，2，
3，…}.
（4）直线 y ＝ x 与 y ＝2 x －1的交点组成的集合.
解：方程组的解是所求集合用列举法表示
为{（1，1）}.
通性通法
用列举法表示集合的3个步骤
（1）求出集合的元素；
（2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
（3）用花括号括起来.
提醒 二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点
的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”
隔开.如{（2，3），（5，－1）}.
【跟踪训练】
1. 若集合 A ＝{（1，2），（3，4）}，则集合 A 中元素的个数是
（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 集合 A ＝{（1，2），（3，4）}中有两个元素（1，2）
和（3，4）.
2. 用列举法表示下列给定的集合：
（1）不大于10的非负偶数组成的集合 A ；
解：不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，所以 A ＝
{0，2，4，6，8，10}.
（2）小于8的质数组成的集合 B ；
解：小于8的质数有2，3，5，7，所以 B ＝{2，3，5，7}.
（3）方程2 x2－ x －3＝0的实数根组成的集合 C ；
解：方程2 x2－ x －3＝0的实数根为－1， ，所以 C ＝{－1， }.
（4）一次函数 y ＝ x ＋3与 y ＝－2 x ＋6的图象的交点组成的集合 D .
解：由得
所以一次函数 y ＝ x ＋3与 y ＝－2 x ＋6的图象的交点为（1，
4），所以 D ＝{（1，4）}.
题型二 用描述法表示集合
【例2】 用描述法表示下列集合：
（1）函数 y ＝－ x 的图象上的点组成的集合；
解： {（ x ， y ）｜ y ＝－ x }.
（2）数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合；
解：数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于
3的实数组成的集合，则数轴上离原点的距离大于3的点组成的
集合用描述法表示为{ x ∈R｜｜ x ｜＞3}.
（3）不等式 x －2＜3的解组成的集合.
解：不等式 x －2＜3的解是 x ＜5，则不等式 x －2＜3的解组成的
集合用描述法表示为{ x ｜ x ＜5}.
通性通法
描述法表示集合的2个步骤
【跟踪训练】
选择适当的方法表示下列集合：
（1）大于1且小于8的有理数；
解：大于1且小于8的有理数有无数个，用描述法表示为{ x
∈Q｜1＜ x ＜8}.
（2）不等式2 x －3＜5的解组成的集合；
解：不等式2 x －3＜5的解组成的集合可表示为{ x ｜2 x －3＜
5}，即{ x ｜ x ＜4}.
（3）二次函数 y ＝ x2＋2 x －10的图象上所有的点组成的集合.
解：二次函数 y ＝ x2＋2 x －10的图象上所有的点组成的集合中，
代表元素为点（ x ， y ），其中 x ， y 满足 y ＝ x2＋2 x －10，由于
点有无数个，则用描述法表示为{（ x ， y ）｜ y ＝ x2＋2 x －10}.
题型三 用区间表示集合
【例3】 用区间表示下列集合：
（1）{ x ｜ x ＞－1}＝ ；
解析：集合{ x ｜ x ＞－1}可用开区间表示为（－1，＋∞）；
（2）{ x ｜2＜ x ≤5}＝ ；
解析：集合{ x ｜2＜ x ≤5}可用半开半闭区间表示为（2，5]；
（－1，＋∞）
（2，5]
（3）{ x ｜ x ≤－3}＝ ；
解析：集合{ x ｜ x ≤－3}可用半开半闭区间表示为（－∞，－3]；
（4）{ x ｜2≤ x ≤4}＝ .
解析：集合{ x ｜2≤ x ≤4}可用闭区间表示为[2，4].
（－∞，－3]
[2，4]
通性通法
用区间表示数集的方法
（1）区间左端点值小于右端点值；
（2）区间两端点之间用“，”隔开；
（3）含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号；
（4）以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号.
【跟踪训练】
1. 区间（－3，2]用集合可表示为（ ）
A. {－2，－1，0，1，2} B. { x ｜－3＜ x ＜2}
C. { x ｜－3＜ x ≤2} D. { x ｜－3≤ x ≤2}
解析： 由区间和集合的关系，可得区间（－3，2]可表示为
{ x ｜－3＜ x ≤2}，故选C.
2. 已知区间（4 p －1，2 p ＋1）为一确定区间，则 p 的取值范围
为 .
解析：由题意，得4 p －1＜2 p ＋1，所以 p ＜1.
（－∞，1）
题型四 集合与方程的综合问题
【例4】 若集合 A ＝{ x ｜ kx2－8 x ＋16＝0}只有一个元素，试求实数
k 的值，并用列举法表示集合 A .
解：当 k ＝0时，原方程变为－8 x ＋16＝0， x ＝2.
此时集合 A ＝{2}.
当 k ≠0时，则关于 x 的一元二次方程 kx2－8 x ＋16＝0有两个相等实数
根，只需Δ＝64－64 k ＝0，即 k ＝1.
此时方程的解为 x1＝ x2＝4，集合 A ＝{4}，满足题意.
综上所述，实数 k 的值为0或1.
当 k ＝0时， A ＝{2}；当 k ＝1时， A ＝{4}.
【母题探究】
1. （变条件）若集合 A 中有2个元素，求 k 的取值集合.
解：由题意得
解得 k ＜1，且 k ≠0.故实数 k 的取值集合为{ k ｜ k ＜1，且 k ≠0}.
2. （变条件）若集合 A 中至多有一个元素，求 k 的取值集合.
解：①当集合 A 中含有1个元素时，由例题知， k ＝0或 k ＝1；
②当集合 A 中没有元素时，方程 kx2－8 x ＋16＝0无解，
即解得 k ＞1.
综上，实数 k 的取值集合为{ k ｜ k ＝0或 k ≥1}.
通性通法
集合与方程的综合问题的解题策略
（1）弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合
中的元素就是方程的实数根；
（2）当方程中含有参数时，一般要根据方程实数根的情况来确定参
数的值或取值范围，必要时要分类讨论；
（3）求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互
异性.
【跟踪训练】
已知集合 A ＝{ x ｜ x2－ ax ＋ b ＝0}，若 A ＝{2，3}，求 a ， b 的值.
解：由 A ＝{2，3}，知方程 x2－ ax ＋ b ＝0的根为2，3，由根与系数的
关系得因此 a ＝5， b ＝6.
1. 集合{ x ∈N＋｜ x ＜6}的另一种表示方法是（ ）
A. {0，1，2，3，4} B. {1，2，3，4}
C. {0，1，2，3，4，5} D. {1，2，3，4，5}
解析： 易知集合用列举法表示为{1，2，3，4，5}.故选D.
2. 下列集合的表示方法正确的是（ ）
A. 第二、四象限内的点集可表示为{（ x ， y ）｜ xy ≤0， x ∈R， y
∈R}
B. 不等式 x －1＜4的解集为{ x ＜5}
C. {全体整数}
D. 实数集可表示为R
解析： 选项A中应是 xy ＜0；选项B的本意是想用描述法表示，
但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素
x ；选项C的“{}”与“全体”意思重复.
3. （多选）下列说法错误的是（ ）
A. 0∈ B. ＝{0}
C. 中元素的个数为0 D. ∈{0}
解析： 空集是不含任何元素的集合， 中元素的个数为0，
其他表述都不正确.
4. 若（ a ，3 a －1]为一确定区间，则实数 a 的取值范围是
.
解析：∵（ a ，3 a －1]为一确定区间，∴ a ＜3 a －1.解得 a ＞ ，
∴实数 a 的取值范围是 .
：
5. 用描述法表示图中阴影部分（包含边界）的点构成的集合
为 .
解析：由题意得，图中的阴影部分（包含边界）的点构成的集合是
点集，即{（ x ， y ）｜0≤ x ≤2且0≤ y ≤1}.
{（ x ， y ）｜0≤ x ≤2且0≤ y ≤1}
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 不等式 x －2≥0的所有解组成的集合表示成区间是（ ）
A. （2，＋∞） B. [2，＋∞）
C. （－∞，2） D. （－∞，2]
解析： 不等式 x －2≥0的所有解组成的集合为{ x ｜ x ≥2}，表
示成区间为[2，＋∞）.
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2. 集合{ x ∈N｜ x －2＜3}用列举法表示是（ ）
A. {1，2，3，4} B. {1，2，3，4，5}
C. {0，1，2，3，4，5} D. {0，1，2，3，4}
解析： 由题知{ x ∈N｜ x －2＜3}＝{ x ∈N｜ x ＜5}＝{0，1，
2，3，4}，故选D.
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3. 对集合{1，5，9，13，17}用描述法表示，其中正确的是（ ）
A. { x ｜ x 是小于18的正奇数}
B. { x ｜ x ＝4 k ＋1， k ∈Z，且 k ＜5}
C. { x ｜ x ＝4 t －3， t ∈N，且 t ≤5}
D. { x ｜ x ＝4 s －3， s ∈N＋，且 s ≤5}
解析： A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有
3，7，11，15；B中除给定集合中的元素外，还有－3，－7，
－11，…；C中 t ＝0时， x ＝－3，不属于给定的集合；只有D
是正确的.
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4. 集合 A ＝ ，则集合 A 中的元素个数为（ ）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
解析： 因为 ∈N＋，所以5－ n 为12的正约数，故 A ＝{－7，
－1，1，2，3，4}，故集合 A 中的元素有6个，故选C.
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5. （多选）大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为（ ）
A. { x ｜ x ＝2 k －1， k ∈N}
B. { x ｜ x ＝2 k ＋1， k ∈N， k ≥2}
C. { x ｜ x ＝2 k ＋3， k ∈N}
D. { x ｜ x ＝2 k ＋5， k ∈N}
解析： 对于A：{ x ｜ x ＝2 k －1， k ∈N}＝{－1，1，3，…}；对于B：{ x ｜ x ＝2 k ＋1， k ∈N， k ≥2}＝{5，7，9，…}；对于C：{ x ｜ x ＝2 k ＋3， k ∈N}＝{3，5，7，…}；对于D：{ x ｜ x ＝2 k ＋5， k ∈N}＝{5，7，9，…}，故选B、D.
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6. （多选）设集合 M ＝{大于0且小于1的有理数}， N ＝{小于1050的
正整数}， P ＝{定圆 C 的内接三角形}， Q ＝{能被7整除且小于1
000的正数}，其中无限集是（ ）
A. M B. N
C. P D. Q
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解析： 大于0且小于1的有理数有无数个，所以 M 是无限集；
小于1050的正整数是1，2，3，…，1050－1，共计（1050－1）个，
是有限的，所以 N 是有限集；定圆 C 的内接三角形有无数个，所以
P 是无限集；能被7整除且小于1 000的正数为7，2×7，3×7，…，
142×7，有142个，所以 Q 是有限集.
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7. 反比例函数 y ＝ 的自变量组成的集合为 .
解析：∵反比例函数 y ＝ 的自变量为 x ，∴反比例函数 y ＝ 的自
变量组成的集合为{ x ｜ x ≠0}.
{ x ｜ x ≠0}
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8. 已知集合 P ＝{－2，－1，0，1}，集合 Q ＝{ y ｜ y ＝｜ x ｜， x ∈
P }，则 Q ＝ .
解析：将 x ＝－2，－1，0，1分别代入 y ＝｜ x ｜中，得到 y ＝2，
1，0，故 Q ＝{2，1，0}.
{2，1，0}
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9. 两边长分别为3，5的三角形中，第三条边可取的整数的集合用列举
法表示为 ，用描述法表示为
.
解析：设三角形第三边长度为 x ，根据三角形三边长度的关系得：
x ＞5－3， x ＞2； x ＜5＋3， x ＜8，所以 x 的取值范围为：2＜ x ＜
8.又由第三条边长是整数，故第三条边可取的整数的集合用列举法
表示为{3，4，5，6，7}，用描述法表示为{ x ｜2＜ x ＜8， x ∈Z}.
{3，4，5，6，7}
{ x ｜2＜ x ＜8， x
∈Z}
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10. 选择适当的方法表示下列集合：
（1）由方程 x （ x2－2 x －3）＝0的所有实数根组成的集合；
解：方程的实数根为－1，0，3，故可
以用列举法表示为{－1，0，3}，当然也可以
用描述法表示为{ x ｜ x （ x2－2 x －3）＝0}.
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（2）大于2且小于6的有理数；
解：由于大于2且小于6的有理数有无数
个，故不能用列举法表示该集合，但可以用
描述法表示该集合为{ x ∈Q｜2＜ x ＜6}.
（3）图中阴影部分的点（含边界）的集合.
解：题图中阴影部分的点（含边界）的集合可表示为 .
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11. 定义集合A*B＝{ z ｜ z ＝ xy ， x ∈ A ， y ∈ B }.若 A ＝{1，2}， B ＝
{0，2}，则集合A*B的所有元素之和为（ ）
A. 0 B. 2
C. 3 D. 6
解析： 根据题意， A ＝{1，2}， B ＝{0，2}，则集合 A * B 中
的元素可能为0，2，0，4，又由集合元素的互异性，得 A * B ＝
{0，2，4}，其所有元素之和为6.故选D.
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12. （多选）已知 a ∈Z， A ＝{（ x ， y ）｜ ax － y ≤3}，且（2，1）
∈ A ，（1，－4） A ，则 a 取值可能为（ ）
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
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解析： 选项A：当 a ＝－1时，－2－1≤3，－1－（－4）
≤3，故（2，1）∈ A ，（1，－4）∈ A ，A错误；选项B：当 a ＝
0时，－1≤3，－（－4）＞3，故（2，1）∈ A ，（1，－4）
A ，B正确；选项C：当 a ＝1时，2－1≤3，1－（－4）＞3，故
（2，1）∈ A ，（1，－4） A ，C正确；选项D：当 a ＝2时，
2×2－1≤3，2×1－（－4）＞3，故（2，1）∈ A ，（1，－4）
A ，D正确.故选B、C、D.
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13. 若区间[ a －1， a ]关于原点对称，则 a ＝ ，此时区间为
解析：由已知得 a －1＝－ a ，解得 a ＝ .此时区间为 .
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14. 用适当的方法表示下列集合：
（1）所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；
解：小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别
为3，5，7，11，可用列举法表示为{3，5，7，11}.
（2）方程 x2－2 x ＋1＝0的实数根组成的集合；
解：方程 x2－2 x ＋1＝0的实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{ x ∈R｜ x2－2 x ＋1＝0}.
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（3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合.
解：集合的代表元素是点，可用描述法表示为{（ x ，
y ）｜ x ＜0且 y ＞0}.
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15. 甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4
个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的
试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果甲最终的得分为
27分，那么乙的所有可能的得分组成的集合为 .
{24，27，30}
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解析：∵甲最终的得分为27分，∴甲答对了10道题目中的9道，
∵甲和乙都解答了所有的试题，∴甲必然有一道题目答错了，不
妨设为第一题.∵甲和乙都解答了所有的试题，且只有1道题的选
项不同，如果是第一道题，则乙可能答错，也可能答对，此时乙
可得27分或30分.如果是第一道题以外的一个题目，则乙一定答
错，而第一道题乙也一定答错，此时乙可得24分.综上可得：乙的
所有可能的得分组成的集合为{24，27，30}.
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16. 若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒
数集”.
（1）判断集合 A ＝{－1，1，2}是否为可倒数集；
解：由于2的倒数为 不在集合 A 中，故集合 A 不是可倒数集.
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（2）试写出一个含3个元素的可倒数集.
解：若 a ∈ A ，则必有 ∈ A ，现已知集合 A 中含有3个元素，故必有一个元素有 a ＝ ，即 a ＝±1，故可以取集合 A ＝ 或 或 等（写出一个即可）.
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谢 谢 观 看！
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16第二课时 集合的表示
1.不等式x－2≥0的所有解组成的集合表示成区间是（ ）
A.（2，＋∞） B.[2，＋∞）
C.（－∞，2） D.（－∞，2]
2.集合{x∈N｜x－2＜3}用列举法表示是（ ）
A.{1，2，3，4} B.{1，2，3，4，5}
C.{0，1，2，3，4，5} D.{0，1，2，3，4}
3.对集合{1，5，9，13，17}用描述法表示，其中正确的是（ ）
A.{x｜x是小于18的正奇数}
B.{x｜x＝4k＋1，k∈Z，且k＜5}
C.{x｜x＝4t－3，t∈N，且t≤5}
D.{x｜x＝4s－3，s∈N＋，且s≤5}
4.集合A＝，则集合A中的元素个数为（ ）
A.4 B.5
C.6 D.7
5.（多选）大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为（ ）
A.{x｜x＝2k－1，k∈N}
B.{x｜x＝2k＋1，k∈N，k≥2}
C.{x｜x＝2k＋3，k∈N}
D.{x｜x＝2k＋5，k∈N}
6.（多选）设集合M＝{大于0且小于1的有理数}，N＝{小于1050的正整数}，P＝{定圆C的内接三角形}，Q＝{能被7整除且小于1 000的正数}，其中无限集是（ ）
A.M B.N
C.P D.Q
7.反比例函数y＝的自变量组成的集合为 .
8.已知集合P＝{－2，－1，0，1}，集合Q＝{y｜y＝｜x｜，x∈P}，则Q＝ .
9.两边长分别为3，5的三角形中，第三条边可取的整数的集合用列举法表示为 ，用描述法表示为 .
10.选择适当的方法表示下列集合：
（1）由方程x（x2－2x－3）＝0的所有实数根组成的集合；
（2）大于2且小于6的有理数；
（3）图中阴影部分的点（含边界）的集合.
11.定义集合A*B＝{z｜z＝xy，x∈A，y∈B}.若A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合A*B的所有元素之和为（ ）
A.0 B.2
C.3 D.6
12.（多选）已知a∈Z，A＝{（x，y）｜ax－y≤3}，且（2，1）∈A，（1，－4） A，则a取值可能为（ ）
A.－1 B.0
C.1 D.2
13.若区间[a－1，a]关于原点对称，则a＝ ，此时区间为 .
14.用适当的方法表示下列集合：
（1）所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；
（2）方程x2－2x＋1＝0的实数根组成的集合；
（3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合.
15.甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果甲最终的得分为27分，那么乙的所有可能的得分组成的集合为 .
16.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”.
（1）判断集合A＝{－1，1，2}是否为可倒数集；
（2）试写出一个含3个元素的可倒数集.
第二课时 集合的表示
1.B 不等式x－2≥0的所有解组成的集合为{x｜x≥2}，表示成区间为[2，＋∞）.
2.D 由题知{x∈N｜x－2＜3}＝{x∈N｜x＜5}＝{0，1，2，3，4}，故选D.
3.D A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3，7，11，15；B中除给定集合中的元素外，还有－3，－7，－11，…；C中t＝0时，x＝－3，不属于给定的集合；只有D是正确的.
4.C 因为∈N＋，所以5－n为12的正约数，故A＝{－7，－1，1，2，3，4}，故集合A中的元素有6个，故选C.
5.BD 对于A：{x｜x＝2k－1，k∈N}＝{－1，1，3，…}；对于B：{x｜x＝2k＋1，k∈N，k≥2}＝{5，7，9，…}；对于C：{x｜x＝2k＋3，k∈N}＝{3，5，7，…}；对于D：{x｜x＝2k＋5，k∈N}＝{5，7，9，…}，故选B、D.
6.AC 大于0且小于1的有理数有无数个，所以M是无限集；小于1050的正整数是1，2，3，…，1050－1，共计（1050－1）个，是有限的，所以N是有限集；定圆C的内接三角形有无数个，所以P是无限集；能被7整除且小于1 000的正数为7，2×7，3×7，…，142×7，有142个，所以Q是有限集.
7.{x｜x≠0} 解析：∵反比例函数y＝的自变量为x，∴反比例函数y＝的自变量组成的集合为{x｜x≠0}.
8.{2，1，0} 解析：将x＝－2，－1，0，1分别代入y＝｜x｜中，得到y＝2，1，0，故Q＝{2，1，0}.
9.{3，4，5，6，7} {x｜2＜x＜8，x∈Z}
解析：设三角形第三边长度为x，根据三角形三边长度的关系得：x＞5－3，x＞2；x＜5＋3，x＜8，所以x的取值范围为：2＜x＜8.又由第三条边长是整数，故第三条边可取的整数的集合用列举法表示为{3，4，5，6，7}，用描述法表示为{x｜2＜x＜8，x∈Z}.
10.解：（1）方程的实数根为－1，0，3，故可以用列举法表示为{－1，0，3}，当然也可以用描述法表示为{x｜x（x2－2x－3）＝0}.
（2）由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x∈Q｜2＜x＜6}.
（3）题图中阴影部分的点（含边界）的集合可表示为.
11.D 根据题意，A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合A*B中的元素可能为0，2，0，4，又由集合元素的互异性，得A*B＝{0，2，4}，其所有元素之和为6.故选D.
12.BCD 选项A：当a＝－1时，－2－1≤3，－1－（－4）≤3，故（2，1）∈A，（1，－4）∈A，A错误；选项B：当a＝0时，－1≤3，－（－4）＞3，故（2，1）∈A，（1，－4） A，B正确；选项C：当a＝1时，2－1≤3，1－（－4）＞3，故（2，1）∈A，（1，－4） A，C正确；选项D：当a＝2时，2×2－1≤3，2×1－（－4）＞3，故（2，1）∈A，（1，－4） A，D正确.故选B、C、D.
13. 解析：由已知得a－1＝－a，解得a＝.此时区间为.
14.解：（1）小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3，5，7，11，可用列举法表示为{3，5，7，11}.
（2）方程x2－2x＋1＝0的实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x∈R｜x2－2x＋1＝0}.
（3）集合的代表元素是点，可用描述法表示为{（x，y）｜x＜0且y＞0}.
15.{24，27，30} 解析：∵甲最终的得分为27分，∴甲答对了10道题目中的9道，∵甲和乙都解答了所有的试题，∴甲必然有一道题目答错了，不妨设为第一题.∵甲和乙都解答了所有的试题，且只有1道题的选项不同，如果是第一道题，则乙可能答错，也可能答对，此时乙可得27分或30分.如果是第一道题以外的一个题目，则乙一定答错，而第一道题乙也一定答错，此时乙可得24分.综上可得：乙的所有可能的得分组成的集合为{24，27，30}.
16.解：（1）由于2的倒数为不在集合A中，故集合A不是可倒数集.
（2）若a∈A，则必有∈A，现已知集合A中含有3个元素，故必有一个元素有a＝，即a＝±1，故可以取集合A＝或或等（写出一个即可）.
2 / 2第二课时 集合的表示
语言是人与人之间相互联系的一种方式，同样的祝福又有着不同的表示方法.例如，简体中文中的“生日快乐”，繁体中文为“生日快樂”，英文为“Happy Birthday”……
【问题】 对于一个集合，有哪些不同的表示方法呢？
知识点一 列举法
列举法是把集合中的元素 出来写在花括号“{}”内表示集合的方法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}.
提醒 用列举法表示集合时的注意点：①元素与元素之间必须用“，”隔开；②集合中的元素必须是明确的；③集合中的元素不能重复.
知识点二 描述法
通过描述元素 表示集合的方法叫作描述法.一般可将集合表示为{x及x的范围｜ }，即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围，再画一条竖线“｜”，在竖线后写出集合中元素所具有的 .
提醒 用描述法表示集合的注意点：①写清该集合中元素的代表符号，如{x｜x＞1}不能写成{x＞1}；②用简明、准确的语言进行描述，如方程、不等式、几何图形等；③不能出现未被说明的字母，如{x∈Z｜x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的；④所有描述的内容都要写在花括号内，如“{x∈Z｜x＝2m}，m∈N＋”不符合要求，应为{x∈Z｜x＝2m，m∈N＋}；⑤多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如{x｜x＜－1，或x＞1}.
知识点三 集合的分类
集合
【想一想】
{0}与 相同吗？
知识点四 区间及相关概念
1.区间的概念及记法
设a，b是两个实数，且a＜b，我们规定：
集合表示 名称 符号表示 数轴表示
{x｜a≤x≤b} 闭区间
{x｜a＜x＜b} 开区间
{x｜a≤x＜b} 半开半闭区间
{x｜a＜x≤b} 半开半闭区间
2.无穷大
符号“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”，实数集R可以表示为 .
3.特殊区间的表示
集合表示 符号表示 数轴表示
{x｜x≥a}
{x｜x＞a}
{x｜x≤b}
{x｜x＜b}
提醒 区间表示实数集的三个原则：①连续的数集；②左端点必须小于右端点；③开或闭不能混淆.
1.方程x2－4x＋3＝0的所有实数根组成的集合为（ ）
A.{1，3} B.{1}
C.{x2－4x＋3＝0} D.{x＝1，x＝3}
2.不等式4x－5＜3的解集用集合表示为 .
3.用区间表示下列数集：
（1）{x｜x≥1}＝ ；
（2）{x｜2＜x≤3}＝ ；
（3）{x｜x＞－1且x≠2}＝ .
题型一 用列举法表示集合
【例1】 用列举法表示下列集合：
（1）方程x2－1＝0的解组成的集合；
（2）单词“see”中的字母组成的集合；
（3）所有正整数组成的集合；
（4）直线y＝x与y＝2x－1的交点组成的集合.
尝试解答
通性通法
用列举法表示集合的3个步骤
（1）求出集合的元素；
（2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
（3）用花括号括起来.
提醒 二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开.如{（2，3），（5，－1）}.
【跟踪训练】
1.若集合A＝{（1，2），（3，4）}，则集合A中元素的个数是（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
2.用列举法表示下列给定的集合：
（1）不大于10的非负偶数组成的集合A；
（2）小于8的质数组成的集合B；
（3）方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C；
（4）一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.
题型二 用描述法表示集合
【例2】 用描述法表示下列集合：
（1）函数y＝－x的图象上的点组成的集合；
（2）数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合；
（3）不等式x－2＜3的解组成的集合.
尝试解答
通性通法
描述法表示集合的2个步骤
【跟踪训练】
选择适当的方法表示下列集合：
（1）大于1且小于8的有理数；
（2）不等式2x－3＜5的解组成的集合；
（3）二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合.
题型三 用区间表示集合
【例3】 用区间表示下列集合：
（1）{x｜x＞－1}＝ ；
（2）{x｜2＜x≤5}＝ ；
（3）{x｜x≤－3}＝ ；
（4）{x｜2≤x≤4}＝ .
尝试解答
通性通法
用区间表示数集的方法
（1）区间左端点值小于右端点值；
（2）区间两端点之间用“，”隔开；
（3）含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号；
（4）以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号.
【跟踪训练】
1.区间（－3，2]用集合可表示为（ ）
A.{－2，－1，0，1，2} B.{x｜－3＜x＜2}
C.{x｜－3＜x≤2} D.{x｜－3≤x≤2}
2.已知区间（4p－1，2p＋1）为一确定区间，则p的取值范围为 .
题型四 集合与方程的综合问题
【例4】 若集合A＝{x｜kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
尝试解答
【母题探究】
1.（变条件）若集合A中有2个元素，求k的取值集合.
2.（变条件）若集合A中至多有一个元素，求k的取值集合.
通性通法
集合与方程的综合问题的解题策略
（1）弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的实数根；
（2）当方程中含有参数时，一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，必要时要分类讨论；
（3）求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性.
【跟踪训练】
已知集合A＝{x｜x2－ax＋b＝0}，若A＝{2，3}，求a，b的值.
1.集合{x∈N＋｜x＜6}的另一种表示方法是（ ）
A.{0，1，2，3，4} B.{1，2，3，4}
C.{0，1，2，3，4，5} D.{1，2，3，4，5}
2.下列集合的表示方法正确的是（ ）
A.第二、四象限内的点集可表示为{（x，y）｜xy≤0，x∈R，y∈R}
B.不等式x－1＜4的解集为{x＜5}
C.{全体整数}
D.实数集可表示为R
3.（多选）下列说法错误的是（ ）
A.0∈ B. ＝{0}
C. 中元素的个数为0 D. ∈{0}
4.若（a，3a－1]为一确定区间，则实数a的取值范围是 .
5.用描述法表示图中阴影部分（包含边界）的点构成的集合为 .
第二课时 集合的表示
【基础知识·重落实】
知识点一
一一列举
知识点二
满足的条件 x满足的条件 共同特征
知识点三
不含任何 有限个 无限个
想一想
提示：不相同.{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而 表示空集，其不含有任何元素，故{0}与 不相同.
知识点四
1.[a，b] （a，b） [a，b） （a，b] 2.（－∞，＋∞） 3.[a，＋∞） （a，＋∞） （－∞，b] （－∞，b）
自我诊断
1.A 由x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3，∴用列举法表示实根的集合为{1，3}.
2.{x｜x＜2} 解析：由4x－5＜3得x＜2.所以不等式4x－5＜3的解集用集合表示为{x｜x＜2}.
3.（1）[1，＋∞） （2）（2，3] （3）（－1，2）∪（2，＋∞）
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）方程x2－1＝0的解为x＝－1或x＝1，所求集合用列举法表示为{－1，1}.
（2）单词“see”中有两个互不相同的字母，分别为“s”“e”，所求集合用列举法表示为{s，e}.
（3）正整数有1，2，3，…，所求集合用列举法表示为{1，2，3，…}.
（4）方程组的解是所求集合用列举法表示为{（1，1）}.
跟踪训练
1.B 集合A＝{（1，2），（3，4）}中有两个元素（1，2）和（3，4）.
2.解：（1）不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，所以A＝{0，2，4，6，8，10}.
（2）小于8的质数有2，3，5，7，所以B＝{2，3，5，7}.
（3）方程2x2－x－3＝0的实数根为－1，，所以C＝{－1，}.
（4）由得
所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点为（1，4），
所以D＝{（1，4）}.
【例2】 解：（1）{（x，y）｜y＝－x}.
（2）数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合，则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合用描述法表示为{x∈R｜｜x｜＞3}.
（3）不等式x－2＜3的解是x＜5，则不等式x－2＜3的解组成的集合用描述法表示为{x｜x＜5}.
跟踪训练
解：（1）大于1且小于8的有理数有无数个，用描述法表示为{x∈Q｜1＜x＜8}.
（2）不等式2x－3＜5的解组成的集合可表示为{x｜2x－3＜5}，即{x｜x＜4}.
（3）二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为点（x，y），其中x，y满足y＝x2＋2x－10，由于点有无数个，则用描述法表示为{（x，y）｜y＝x2＋2x－10}.
【例3】 （1）（－1，＋∞） （2）（2，5] （3）（－∞，－3] （4）[2，4]
解析：（1）集合{x｜x＞－1}可用开区间表示为（－1，＋∞）；（2）集合{x｜2＜x≤5}可用半开半闭区间表示为（2，5]；（3）集合{x｜x≤－3}可用半开半闭区间表示为（－∞，－3]；（4）集合{x｜2≤x≤4}可用闭区间表示为[2，4].
跟踪训练
1.C 由区间和集合的关系，可得区间（－3，2]可表示为{x｜－3＜x≤2}，故选C.
2.（－∞，1） 解析：由题意，得4p－1＜2p＋1，所以p＜1.
【例4】 解：当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.
此时集合A＝{2}.
当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实数根，只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意.
综上所述，实数k的值为0或1.
当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}.
母题探究
1.解：由题意得
解得k＜1，且k≠0.故实数k的取值集合为{k｜k＜1，且k≠0}.
2.解：①当集合A中含有1个元素时，由例题知，k＝0或k＝1；
②当集合A中没有元素时，方程kx2－8x＋16＝0无解，
即解得k＞1.
综上，实数k的取值集合为{k｜k＝0或k≥1}.
跟踪训练
解：由A＝{2，3}，知方程x2－ax＋b＝0的根为2，3，由根与系数的关系得因此a＝5，b＝6.
随堂检测
1.D 易知集合用列举法表示为{1，2，3，4，5}.故选D.
2.D 选项A中应是xy＜0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{}”与“全体”意思重复.
3.ABD 空集是不含任何元素的集合， 中元素的个数为0，其他表述都不正确.
4. 解析：∵（a，3a－1]为一确定区间，∴a＜3a－1.解得a＞，∴实数a的取值范围是.
5.{（x，y）｜0≤x≤2且0≤y≤1} 解析：由题意得，图中的阴影部分（包含边界）的点构成的集合是点集，即{（x，y）｜0≤x≤2且0≤y≤1}.
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